Ejercicios del Álgebra de Baldor: Ejercicio 188

. $\begin{bmatrix} a_{1} && b_{1} && c_{1} \\\\\ a_{2} && b_{2} && c_{2} \\\\\ a_{3} && b_{3} && c_{3} \end{bmatrix}$

Procedimiento:

1) Se halla el valor de la determinante del sistema (D₃), por el método de Sarrus, que será el denominador del valor de cada una de las incógnitas (x, y, z).

2) Se halla el valor de “x”

3) Se halla el valor de “y”

4) Se halla el valor de “z”

5) Se escribe la solución del sistema, que será las soluciones de “x” ,”y”, “z”

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Ejemplo a) Resolver por determinantes el siguiente sistema:

x y z ti (variables x, y, z, ti = término independiente)
2x + y - 3 z = 12

5x - 4y +7z = 27

10x +3y - z = 40

1) Determinante del sistema (D₃)

x y z
. |2 1 -3|

. |5 -4 7|

D₃ = |10 3 -1| = (8-45+70)-(120+42-5) = 33-(157) = 33-15.7 = -124

. |2 1 -3|

. |5 -4 7|

2) Hallar el valor de “x”:

ti y z
. |12 1 -3|

. |27 -4 7| (12)(-4)(-1)+(27)(3)(-3)+(40)(1)(7) - (-3)(-4)(40)-(7)(3)(12)-(-1)(1)(27) =

x = |40 3 -1| = 48-243+280-480-252+27 = -620

. |12 1 -3| Entonces -620/-124 = 5 <– Solución

. |27 -4 7|

3) Hallar el valor de “y”:

x ti z
. |2 12 -3|

. |5 27 7| (2)(27)(-1)+(5)(40)(-3)+(10)(12)(7) - (-3)(27)(10)-(7)(40)(2)-(-1)(12)(5) =

y = |10 40 -1| = -54-600+840+810-560+60 = 496

. |2 12 -3| Entonces 496/-124 = -4 <– Solución

. |5 27 7|

4) Hallar el valor de “z”:

x y ti
. |2 1 12|

. |5 -4 27| (2)(-4)(40)+(5)(3)(12)+(10)(1)(27)-(12)(-4)(10)-(27)(3)(2)-(40)(1)(5) =

z = |10 3 40| = -320+180+270+480-162-200 = 248

. |2 1 12| Entonces 248/-124 = -2 <– Solución

. |5 -4 27|

Solución del sistema es: x = 5 , y =-4 , z = -2

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Ejemplo b) Resolver por determinantes el siguiente sistema:

x y z ti
x + y + z = 4

2x - 3y +5z = - 5

3x +4y + z = 10

1) Determinante del sistema (D3)

x y z
. |1 1 1|

. |2 -3 5| (1)(-3)(7)+(2)(4)(1)+(3)(1)(5)-(1)(-3)(3)-(5)(4)(1)-(7)(1)(2) =

D3 = |3 4 7| = -21+8+15+9-20-14 = –23

. |1 1 1|

. |2 -3 5||

2) Hallar el valor de “x”:

ti y z
. |4 1 1|

. |-5 -3 5| (4)(-3)(7)+(-5)(4)(1)+(10)(1)(5)-(1)(-3)(10)-(5)(4)(4)-(7)(1)(-5) =

x = |10 4 7| = -84-20+50+30-80+35 = -69

. |4 1 1| Entonces -69/-23 = 3 <– Solución

. |-5 -3 5|

3) Hallar el valor de “y”:

x ti z
. |1 4 1|

. |2 -5 5| (1)(-5)(7)+(2)(10)(1)+(3)(4)(5)-(1)(-5)(3)-(5)(10)(1)-(7)(4)(2) =

y = |3 10 7| = -35+20+60+15-50-56 = -46

. |1 4 1| Entonces -46/-23 = 2 <– Solución

. |2 -5 5|

4) Hallar el valor de “z”:

x y ti
. |1 1 4|

. |2 -3 -5| (1)(-3)(10)+(2)(4)(4)+(3)(1)(-5)-(4)(-3)(3)-(-5)(4)(1)-(10)(1)(2) =

z = |3 4 10| = -30+32-15+36+20-20 = 23

. |1 1 4| Entonces 23/-23 = -1 <– Solución

. |2 -3 -5|

Solución del sistema es: x = 3 , y = 2 , z = -1

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Ejercicio 188.

1) Resolver por determinantes:

x y z ti
x + y + z = 11

x - y +3z = 13

2x +2y - z = 7

a) Determinante del sistema (D₃):

x y z
. |1 1 1|

. |1 -1 3|

D₃ = |2 2 -1| = 1+2+6+2-6+1 = 6

. |1 1 1|

. |1 -1 3|

b) Valor de “x” :

ti y z
. |11 1 1|

. |13 -1 3|

x = |7 2 -1| = 11+26+21+7-66+13 = 12

. |11 1 1| Entonces 12/6 = 2 <– Solución

. |13 -1 3|

c) Valor de “y”

x ti z
. |1 11 1|

. |1 13 3|

y = |2 7 -1| = -13+7+66-26-21+11 = 24

. |1 11 1| Entonces 24/6 = 4 <– Solución

. |1 13 3|

d) Valor de “z” :

x y ti
. |1 1 11|

. |1 -1 13|

z = |2 2 7| = -7+22+26+22-26-7 = 30

. |1 1 11| Entonces 30/6 = 5 <– Solución

. |1 -1 13|

La Solución del sistema es: x = 2 , y = 4 , z = 5

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2) Resolver por determinantes :

x y z ti
x + y + z = -6

2x+ y - z = -1

x -2y +3z = -6

a) Determinante del sistema (D₃) :

x y z
. |1 1 1|

. |2 1 -1|

D₃ = |1 -2 3| = 3-4-1-1-2-6 = -11

. |1 1 1|

. |2 1 -1|

b) Hallar valor de “x”:

ti y z
. |-6 1 1|

. |-1 1 -1|

x = |-6 -2 3| = -18+2+6+6+12+3 = 11

. |-6 1 1| Entonces 11/-11 = -1 <– Solución

. |-1 1 -1|

c) Hallar valor de “y”:

x ti z
. |1 -6 1|

. |2 -1 -1|

y = |1 -6 3| = -3-12+6+1-6+36 = 22

. |1 -6 1| Entonces 22/-11 = -2 <– Solución

. |2 -1 -1|

d) Hallar el valor de “z”:

x y ti
. |1 1 -6|

. |2 1 -1|

z = |1 -2 -6| = -6+24-1+6-2+12 = 33

. |1 1 -6| Entonces 33/-11 = -3 <– Solución

. |2 1 -1|

La Solución del sistema es: x = -1 , y = -2 , z = -3

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3) Resolver por determinantes:

x y z ti
2x+3y+4z = 3

2x+6y+8z = 5

4x+9y-4z = 4

a) Determinante del sistema (D₃):
x y z

. |2 3 4|

. |2 6 8|

D₃ = |4 9 -4| = -48+72+96-96-144+24 = -96

. |2 3 4|

. |2 6 8|

b) Hallar valor de “x”:

ti y z

. |3 3 4|

. |5 6 8|

x = |4 9 -4| = -72+180+96-96-216+60 = -48

. |3 3 4| Entonces -48/-96 = 1/2 <– Solución

. |5 6 8|

c) Hallar el valor de “y”:

x ti z

. |2 3 4|

. |2 5 8|

y = |4 4 -4| = -40+32+96-80-64+24 = -32

. |2 3 4| Entonces -32/-96 = 1/3 <– Solución

. |2 5 8|

d) Hallar valor de “z”:

x y ti

. |2 3 3|

. |2 6 5|

z = |4 9 4| = 48+54+60-72-90-24 = -24

. |2 3 3| Entonces -24/-96 = ¼ <– Solución

. |2 6 5|

La Solución del sistema es: x = 1/2 , y = 1/3 , z = ¼

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4) Resolver por determinantes:

4x -y +z=4

2y-z+2x=2

6x+3z-2y=12

Se ordenan por x,y,z:

. x y z ti
4x – y + z = 4

2x+2y – z = 2

6x-2y +3z = 12

a) Determinante del sistema (D₃):

x y z
. |4 -1 1|

. |2 2 -1|

D₃ = |6 -2 3| = 24-4+6-12-8+6 = 12

. |4 -1 1|

. |2 2 -1|

b) Hallar valor de “x”:

ti y z
. |4 -1 1|

. |2 2 -1|

x = |12 -2 3| = 24-4+12-24-8+6 = 6

. |4 -1 1| Entonces 6/12 = ½ <– Solución

. |2 2 -1|

c) Hallar valor de “y”:

x ti z
. |4 4 1|

. |2 2 -1|

y = |6 12 3| = 24+24-24-12+48-24 = 36

. |4 4 1| Entonces 36/12 = 3 <– Solución

. |2 2 -1|

d) Hallar valor de “z”:

x y ti
. |4 -1 4|

. |2 2 2|

z = |6 -2 12| = 96-16-12-48+16+24 = 60

. |4 -1 4| Entonces 60/12 = 5 <– Solución

. |2 2 2|

La Solución del sistema es: x = ½ , y = 3 , z = 5

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miércoles, 14 de agosto de 2019

Resolución por determinantes de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.