Valor de una fracción decimal periódica.

.       0.18111…

Una fracción decimal periódica es la suma de una progresión geométrica decreciente infinita, y su valor puede hallarse por la fórmula S = a/1-r

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Procedimiento:

1) El número decimal del cual queremos obtener su valor, se descompone en una progresión geométrica decreciente infinita.

2) El primer término será una fracción equivalente a la posición que ocupe la primera cifra decimal en el número dado. ( 0.344 ≡ ³/₁₀)

3) El segundo término será una fracción equivalente a la posición que ocupe la segunda cifra decimal en el número dado. (0.344 ≡ ⁴/₁₀₀.  Y así sucesivamente hasta la última cifra que tenga el decimal dado.

4) Con las fracciones encontradas se forma una progresión geométrica decreciente infinita aplicando la respectiva fórmula para la suma.

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Ejemplos:

a) Hallar el valor de  0.333….

> Descomponiendo las cifras del decimal en fracciones:

0.333…. = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ….

> Formando un progresión geométrica decreciente infinita:

÷÷ ³/₁₀:³/₁₀₀:³/₁₀₀₀:….

> Elementos:  a= ³/₁₀   ;  r= ³/₁₀₀ ÷ ³/₁₀ = ¹/₁₀

>Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ³/₁₀/(1 - ¹/₁₀)

S = (³/₁₀) / (⁹/₁₀)

S = ⅓      Es el valor de 0.333….

b) Hallar el valor de 0.31515

> Descomponiendo las cifras del decimal en fracciones:

0.31515….  = ³/₁₀ + ¹⁵/₁₀₀₀ + ¹⁵/₁₀₀₀₀₀ + ….

> Formando una progresión geométrica decreciente infinita:

÷÷ ³/₁₀:¹⁵/₁₀₀₀:¹⁵/₁₀₀₀₀₀: ….

> En este caso ³/₁₀ no se toma como elemento de la progresión, porque no es cifra decimal periódica; pero a partir del segundo término en adelante si son cifras decimales periódicas (¹⁵/₁₀₀₀ y ¹⁵/₁₀₀₀₀₀);  y son estas fracciones las que se toman como términos para resolver la  progresión.

> Elementos:  a= ¹⁵/₁₀₀₀  ;  r = ¹⁵/₁₀₀₀₀₀ ÷ ¹⁵/₁₀₀₀ = ¹/₁₀₀

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ¹⁵/₁₀₀₀ / (1 - ¹/₁₀₀)

S = (¹⁵/₁₀₀₀) / (⁹⁹/₁₀₀)

S = ¹/₆₆  Es la suma del ¹⁵/₁₀₀₀+¹⁵/₁₀₀₀₀₀

> Entonces sumamos el valor de las fracciones periódicas con el valor de la fracción no periódica:

 ³/₁₀ + ¹/₆₆ = ⁵²/₁₆₅   es el valor de  0.31515….

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Ejercicio 296.

Hallar por la suma al infinito, el valor de los números decimales:

1) 0.666….

> Descomponiendo las cifras decimales en fracciones:

> 6/10 + 6/100 + 6/1000 + ….

> Formando una progresión geométrica decreciente infinita:

÷÷ ⁶/₁₀: ⁶/₁₀₀: ⁶/₁₀₀₀ : ….

> Elementos:  a= ⁶/₁₀  ;  r= ⁶/₁₀₀÷⁶/₁₀ = ¹/₁₀

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ⁶/₁₀ /(1-¹/₁₀)

S = (⁶/₁₀) / (⁹/₁₀)

S = ⅔    es el valor de 0.666

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2) 0.1212 ….

> Descomponiendo las cifras decimales en fracciones:

> 12/100 + 12/10000 + ….

> Formando una progresión geométrica decreciente infinita:

÷÷ ¹²/₁₀₀ :¹²/₁₀₀₀₀: ….

> Elementos:  a= ¹²/₁₀₀  ;  r= ¹²/₁₀₀₀₀÷¹²/₁₀₀= ¹/₁₀₀

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ¹²/₁₀₀ /(1 - ¹/₁₀₀)

S = (¹²/₁₀₀) /(⁹⁹/₁₀₀)

S = ⁴/₃₃    <-- Valor del número decimal 0.1212 ….

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7)  0.18111….

> Cambiando las cifras decimales periódicas y no periódicas a fracciones:

> ¹⁸₁₀₀ + ¹/₁₀₀₀ + ¹/₁₀₀₀₀ + ¹/₁₀₀₀₀₀ ….

> Formando una progresión geométrica infinita:

Se toma para la progresión geométrica a partir de ¹/₁₀₀₀, porque ahí es

donde empieza la cifra periódica:

÷÷¹/₁₀₀₀: ¹/₁₀₀₀₀; ¹/₁₀₀₀₀₀: ….

> Elementos:  a= ¹/₁₀₀₀  ;  r= ¹/₁₀₀₀₀÷¹/₁₀₀₀= ¹/₁₀

> Aplicando la fórmula a para la suma:

S = a/1-r

S= ¹/₁₀₀₀ /(1- ¹/₁₀)

S = (¹/₁₀₀₀)/(⁹/₁₀)

S = ¹/₉₀₀

Entonces se suma la fracción no periódica más la suma de

del valor de las fracciones periódica encontrada:

 ¹⁸/₁₀₀ + ¹/₉₀₀ = ¹⁶³/₉₀₀  <-- Es el valor de la cifra decimal dada.

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Suma de una progresión geométrica decreciente infinita-

.       S = a / 1-r

Esta se da cuando el número de términos de la progresión geométrica es infinito.

Cabe mencionar que la suma de este tipo de progresión tiende a un valor límite, pero la suma de los términos, nunca llega a ser igual al límite.  Aunque cuanto mayor sea el número de términos, más se aproxima la suma al valor límite.

Esta fórmula puede utilizarse para hallar el valor de una fracción decimal periódica (0.31515), que se verá en un tema posterior a este.

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Fórmula:

S = a/1-r  (Para una progresión geométrica infinita)

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Ejemplos:

a) Hallar la suma de la progresión ÷÷4:2:1….

> Elementos:  a=4  ;  r=2÷4= ½ ;  u=∞  ; n=∞

> Aplicando la fórmula respectiva:

S = a/1-r

S = 4/(1-½)

S = 4/½

S = 8  Solución.  (Límite de la suma)

b) Hallar la suma de la progresión infinita ÷÷5:-³/₂:⁹/₂₀….

> Elementos:  a=5  ;  r=-³/₂÷5=-³/₁₀  ;  u=∞  n=∞

> Aplicando la fórmula respectiva:

S = a/1-r

S = 5/[1-(-³/₁₀)]

S = 5/(1+³/₁₀)

S = 5/(¹³/₁₀)

S = ⁵⁰/₁₃

S = 3 ¹¹/₁₃   Solución. (Límite de la suma)

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Ejercicio 295.

Hallar la suma de las progresiones infinitas:

1) ÷÷2:½:⅛….

> Elementos:  a=2  ;  r= ½÷2= ¼   u=∞  ;  n=∞

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = 2/(1-¼)

S = 2/¾

S = ⁸/₃ = 2⅔  Límite de la suma.

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2) ÷÷½:¹/₆:¹/₁₈….

> Elementos:  a= ½  ;  r=¹/₆÷ ½= ⅓  ;  u=∞  ;  n=∞

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ½/(1- ⅓)

S = ½ /⅔

S = ¾   Límite de la suma.

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3)  ÷÷-5:-2:-⅘….

> Elementos:  a = -5  ;  r=-2÷-5= ⅖  u=∞  ;  n=∞

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = -5/(1-⅖)

S = -5/⅗

S = -²⁵/₃ = -8⅓   Límite de la suma.

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Interpolación de medios geométricos.

. ÷÷96:?:?:?:?:3

Interpolar medios geométricos entre dos números es formar una progresión geométrica cuyos extremos sean los números dados.

Procedimiento:

1) Se encuentra la razón por medio de su fórmula.

2) Se calculan los medios geométricos que sean pedidos, multiplicando el primer término por la razón para encontrar el segundo término; luego se multiplica el segundo término por la razón para encontrar el tercer término, y así sucesivamente hasta encontrar los medios que se piden.

3) Se interpolan los medios geométricos encontrados entre los extremos dados, para formar la progresión geométrica.

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Ejemplo:

a) Interpolar 4 medios geométricos entre 96 y 3:

> Elementos:   a=96  ;  u=3  ;  n=4+2=6  ;  r=?

> Encontrando la razón (r):

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(3/96)

r = ⁵√(¹/₃₂)

r = ½ 

> Calculando los medios geométricos:

96(½) = 48

48(½) = 24

24(½) = 12

12(½) = 6

> Interpolando los medios encontrados:

÷÷96:48:24:12:6:3   Solución.

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Ejercicio 294.

1) Interpolar 3 medios geométricos entre 5 y 3125:

> Elementos:  a=5  ;  u= 3125  ;  n=3+2=5  ;  r=?

> Encontrando la razón:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁵⁻¹√(3125/5)

r = ⁴√625

r = 5

> Calculando los medios geométricos:

5(5) = 25

25(5) = 125

125(5) = 625

> Interpolando los medios geométricos:

÷÷5:25:125:625:3125   Solución.

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2) Interpolar 4 medios geométricos entre -7 y -224

> Elementos:  a=-7  ;  u=-224  ;  n=4+2=6  ;  r=?

> Encontrando la razón:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(-224/-7)

r = ⁵√32

r = 2

> Calculando los medios geométricos:

-7(2) = -14

-14(2) = -28

-28(2) = -56

-56(2) = -112

> Interpolando los medios geométricos:

÷÷-7:-14:-28:-56:-112:-224   Solución.

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4) Interpolar 4 medios geométricos entre 4 ¹/₂ y ¹⁶/₂₇

> Elementos:  a=4¹/₂=⁹/₂  ;  u =¹⁶/₂₇  :  n=4+2=6  ;  r=?

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(¹⁶/₂₇ / ⁹/₂)

r = ⁵√(³²/₂₄₃)

r = ⅔

> Calculando los medios geométricos:

(⁹/₂)(⅔) = 3

3(⅔) = 2

2(⅔) = ⁴/₃

(₄/₃)(⅔) = ⁸/₉

> Interpolando los medios geométricos:

÷÷4½:3:2:1⅓:⁸/₉:¹⁶/₂₇   Solución.

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Suma de los términos de una Progresión Geométrica.

.Fórmula:  S = ur-a /r-1

Procedimiento:

1) Se realizan las operaciones que sean necesarias para simplificar las cantidades de los términos.

2) Se encuentran los elementos que falten para aplicar la fórmula de la suma.

3) Se aplica la fórmula de la Suma.

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Fórmula:  S = ur-a /r-1

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Ejemplos:

a) Hallar la suma de los 6 primeros términos de 4:2:1….

> Elementos:  a = 4  ;  n = 6  ;  r =2÷4= ½  ;  u = ?

> Encontrando “u”

u = arⁿ⁻¹

u = 4(½)⁶⁻¹

u = 4(½)⁵

u = 4(¹/₃₂)

u =¹/₈

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = ur-a /r-1

S = (¹/₈)(½)-4 /½-1

S = (¹/₁₆)-4 /-½

S = (-⁶³/₁₆)/(-½)

S = ⁶³/₈ = 7 ⁷/₈  Solución.

b) Hallar la suma de los 8 primeros términos de 9:-3:1….

> Elementos: a = 9  ;  n = 8  ;  r=-3÷9=-⅓  ;  u = ?

> Encontrando “u”

u = arⁿ⁻¹

u = 9(-⅓)⁸⁻¹

u = 9(-⅓)⁷

u = 9(-¹/₂₁₈₇)

u = -¹/₂₄₃

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = ur-a /r-1

S = (-¹/₂₄₃)(-⅓)-9 /-⅓-1

S = (¹/₇₂₉)-9 /(-⁴/₃)

S = (-⁶⁵⁶⁰/₇₂₉)/(-⁴/₃)

S = 6 ¹⁸²/₂₄₃   Solución.

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Ejercicio 293.

1) Hallar la suma de los 5 primeros términos de 6:3:1½….

> Elementos:  a = 6  ;  n = 5  ;  r=3÷6= ½  ;  u =?

>Encontrando “u”

u = arⁿ⁻¹

u = 6(½)⁵⁻¹

u = 6(½)⁴

u = 6(¹/₁₆) = ⅜

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = ur-a /r-1

S = (⅜)(½)-6 / ½ -1

S = (³/₁₆)-6 / ½ -1

S = (-⁹³/₁₆)/(-½)

S = 11 ⁵/₈  Solución.

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2) Hallar la suma de los 6 primeros términos de 4:-8:16….

> Elementos:  a = 4  ;  n = 6  r=-8÷4= -2  ;  u =?

> Encontrando “u”:

u = arⁿ⁻¹

u = 4(-2)⁶⁻¹

u = 4(-2)⁵

u = 4(-32)

u = -128

> Aplicando la fórmula de  suma:

S = ur-a /r-1

S = (-128)(-2)-4 /(-2-1)

S = (256-4)/-3

S = 252/-3

S = -84  Solución.

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3) Hallar los 7 primeros términos de 12:4:1⅓….

> Elementos:  a=12  ;  n=7  ;  r=4÷12= ⅓  ; u=?

> Encontrando “u”:

u = arⁿ⁻¹

u = 12(⅓)⁷⁻¹

u = 12(⅓)⁶

u = (12)(¹/₇₂₉)

u = ⁴/₂₄₃

> Aplicando la fórmula de suma:

S = ur-a /r-1

S = (⁴/₂₄₃)(⅓)-12 /⅓-1

S = ⁴/₇₂₉ -12 /-²/₃

S = (-⁸⁷⁴⁴/₇₂₉)/-²/₃

S = 17 ²⁴¹/₂₄₃  Solución.

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4) Hallar los 10 primeros términos de ¼:½:1….

> Elementos:  a= ¼ ;  n=10  ;  r=½÷¼=2  ;  u=?

u = arⁿ⁻¹

u = ¼ (2)¹⁰⁻¹

u = ¼ (2)⁹

u = (¼)(512)

u = 128

> Aplicando la fórmula de suma:

S = ur-a /r-1

S = (128)(2)-¼ /2-1

S = 256-¼ /1

S = (¹⁰²³/₄)/1

S = 255 ³/₄  Solución.

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