Suma de una progresión geométrica decreciente infinita-

.       S = a / 1-r

Esta se da cuando el número de términos de la progresión geométrica es infinito.

Cabe mencionar que la suma de este tipo de progresión tiende a un valor límite, pero la suma de los términos, nunca llega a ser igual al límite.  Aunque cuanto mayor sea el número de términos, más se aproxima la suma al valor límite.

Esta fórmula puede utilizarse para hallar el valor de una fracción decimal periódica (0.31515), que se verá en un tema posterior a este.

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Fórmula:

S = a/1-r  (Para una progresión geométrica infinita)

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Ejemplos:

a) Hallar la suma de la progresión ÷÷4:2:1….

> Elementos:  a=4  ;  r=2÷4= ½ ;  u=∞  ; n=∞

> Aplicando la fórmula respectiva:

S = a/1-r

S = 4/(1-½)

S = 4/½

S = 8  Solución.  (Límite de la suma)

b) Hallar la suma de la progresión infinita ÷÷5:-³/₂:⁹/₂₀….

> Elementos:  a=5  ;  r=-³/₂÷5=-³/₁₀  ;  u=∞  n=∞

> Aplicando la fórmula respectiva:

S = a/1-r

S = 5/[1-(-³/₁₀)]

S = 5/(1+³/₁₀)

S = 5/(¹³/₁₀)

S = ⁵⁰/₁₃

S = 3 ¹¹/₁₃   Solución. (Límite de la suma)

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Ejercicio 295.

Hallar la suma de las progresiones infinitas:

1) ÷÷2:½:⅛….

> Elementos:  a=2  ;  r= ½÷2= ¼   u=∞  ;  n=∞

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = 2/(1-¼)

S = 2/¾

S = ⁸/₃ = 2⅔  Límite de la suma.

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2) ÷÷½:¹/₆:¹/₁₈….

> Elementos:  a= ½  ;  r=¹/₆÷ ½= ⅓  ;  u=∞  ;  n=∞

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ½/(1- ⅓)

S = ½ /⅔

S = ¾   Límite de la suma.

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3)  ÷÷-5:-2:-⅘….

> Elementos:  a = -5  ;  r=-2÷-5= ⅖  u=∞  ;  n=∞

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = -5/(1-⅖)

S = -5/⅗

S = -²⁵/₃ = -8⅓   Límite de la suma.

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