Ecuaciones inderterminadas, cuando se busca la Solución General.

 Otros ejemplos de ecuaciones indeterminadas cuando se condicionan los valores para la variable. Para encontrar la solución general.

a) Resolver 5x +7y = 128, para valores enteros y positivos ≠ 0.

Despejando x por tener el menor coeficiente:

x = 128 -7y / 5

Descomponemos 128  y  7y en dos sumandos cada uno, de los cuales uno sea el mayor múltiplo de 5 que contenga cada uno, y simplificamos:

x = 125+3 -5y -2y / 5

x = 125/5 -5y/5 + 3/5 -2y/5

x = 25 -y + 3-2y/5

Ahora se convierte (3-2y)/5 en una expresión entera:

Se multiplica el numerador 3-2y por un número tal que al dividir el coeficiente de "y" nos dé un residuo de 1y; en este caso multiplicamos por 3 el numerador:

3(3-2y)/5 = (9-6y)/5 

descomponemos los coeficientes 9  y  6y en dos sumandos cada uno, de tal manera que uno de cada sumando sea múltiplo de 5:

(5+4-5y-y)/5 = 5/5 -5y/5 +(4-y)/5 = 1-y + (4-y) /5

Si ya tenemos los valores enteros 1 y -y, necesitamos convertir a entero (4-y) /5; para ello nombramos esta fracción como "m" y despejamos:

4-y/5 = m

4-y = 5m

-y = 5m-4

-> y = 4-5m (1° resultado)

Sustituyendo el valor de "y" en la ecuación original:

5x+7y=128

5x+7(4-5m) = 128

5x +28 -35m = 128

5x = 128 -28 -35m

x = 100-35m / 5

x = 25 -7m  (2° resultado)

Con los resultados (1) y (2) tenemos:

 "m" es entero.

Damos valores a la "m" para obtener valores para "x" y "y".

Si algún valor de las variables da negativo, se desecha la solución.

Probando valores positivos para "m":

Si m = 0  -> 

x = 20+7m -> x = 20 +7(0) -> x = 20

y = 4-5m -> y = 4-5(0) -> y = 4        Solución (20 , 4)

Si m = 1   ->

x = 20+7m -> x = 20 +7(1) -> x = 27

y = 4-5m -> y = 4 -5(1) -> y = -1   ( se desecha m = 1, porque la "y" da negativa) 

Nota: Todos los valores para "m" mayores que 1 también serán negativos. 

Probando con valores negativos para "m":

Si m = -1 ->   

x = 20 +7m -> x = 20 +7(-1) -> x = 13

y = 4-5m -> y = 4 -5(-1) -> y = 9     Solución (13 , 9)

Si m = -2 ->

x = 20 +7m -> x = 20 +7(-2) -> x = 6

y = 4-5m -> y = 4 -5(-2) -> y = 14     Solución (6 , 14)

Si m = -3 ->

x = 20 +7m -> x = 20 +7(-3) -> x = -1

y = 4 -5m -> y = 4 -5(-3) -> y = 9          Se desecha porque el valor de x es negativo.   

La solución general para la ecuación 5x+7y=128 son [x=20, y=4,  ;  x=13, y=9  :  x=6, y=14]

b) Resolver 7x -12y = 17 para valores enteros y positivos.

Despejando x:

x = 17+12y / 7

Descomponiendo 17+12y /7

x = 14 +3 +7y +5y / 7

x = 14/7 +7y/7 +(3+5y) /7

Simplificando:

x = 2 +y + (3+5y)/7

x -2 -y = (3+5y)/7

Resolvemos (3+5y)/7 para convertirlo en entero:

Multiplicando el numerador por 3 para que el producto de 3(5y) sea divisible entre 7 y tenga un residuo de 1y:

3(3+5y) /7

(9 +15y) /7 -> 7/7 +14y/7 + 2/7 +1y/7 

-> 1 +2y + (y+2)/7

Para que la expresión y+2/7 sea entera la sustituimos por "m" y despejamos la nueva expresión:

y+2/7 = m

despejamos la "y"

y+2 = 7m

∴ y =7m-2  (resultado para y)

Sustituimos el valor de "y" en la ecuación 7x-12y=17 dada para encontrar un valor para "x":

-> 7x-12(7m-2)=17

7x -84m +24 = 17

7x = 84m +17-24

x = (84m -7) /7

x = 12m -1   (resultado para x)

Las soluciones parciales son: 

Buscamos solución general para "x" y "y" dando valores a "m":

Si m = -1 ->

x=12(-1)-1 -> x=-12-1 -> x = -13

y=7(-1)-2 -> y = -9  Se  (desechan estas soluciones.)

Si m = 0 ->

x=12(0)-1 -> x= -1

y=7(0)-2 -> y = -2     (se desechan estas soluciones)

Si m = 1 ->

x=12(1)-1 ->  x = 11

y=7(1)-2 -> y = 5        Solución (11 , 5)

Si m = 2 ->

x=12(2)-1 ->  x = 23

y=7(2)-2 -> y = 12       Solución (23 , 12)

Si m = 3 ->

x=12(3)-1 ->  x = 35

y=7(3)-2 -> y = 19        Solución (35 , 19)

Si m = 4 ->

x=12(4)-1 -> x = 47

y=7(4)-2 -> y = 26         Solución (47 , 26)

y así sucesivamente a valores positivos para "m".

La solución general es:

 [x=12m-1, y=7m-2  ;   x=11 , y=5  ;  x=23, y=12  ;  x=35, y=19  ;  x=47, y=26]

__________________________________

Ejercicio 173.

Hallar la solución general y los tres menores pares de valores enteros y positivos ≠ 0. 

19)  3x -4y = 5

x = 5 +4y /3

x = 3 +2 +3y +y /3

x = 3/3 +3y/3 + 2+y/3

⇒ 2+y/3 = m

2+y = 3m

∴ y = 3m -2    (resultado para la y)

⇒ Sustituyendo en 3x -4y = 5

3x -4(3m-2) = 5

3x -12m +8 = 5

x = 12m +5-8 /3

x = 12m -3 /3

x = 4m -1    (resultado para la x)

Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y"; 

Si m= 1 ⇒

En x = 4m-1  ⇒ x= 4(1) -1  ⇒ x= 3

En y =3m-2  ⇒ y = 3(1)-2  ⇒ y = 1

Si m = 2 ⇒

En x = 4m -1  ⇒ x = 4(2) -1  ⇒ x = 7

En y = 3m-2  ⇒ y = 3(2) -2  ⇒ y = 4

Si m = 3 ⇒

En x = 4m-1  ⇒ x= 4(3) -1  ⇒ x= 11

En y =3m-2  ⇒ y = 3(3)-2  ⇒ y = 7

Solución: 4m-1,  3m-2.  ;  x=3, y=1  ;   x=7, y=4  ;  x=11, y=7

____________________________

20) 5x -8y = 1

x = 1 +8y /5

x = 1 +5y +3y /5

x = 1/5 +5y/5 +3y/5

x = y + (1+3y)/5

⇒1+3y/5 = 2(1+3y)/5  ⇒ 2+6y /5  ⇒ 2 +5y +y /5   

⇒5y/5 +2+y/5  ⇒ y  + 2+y /5

2+y / 5 = m 

∴ y = 5m-2   Resultado para y

 Sustituyendo "y" en 5x-8y = 1

5x -8(5m-2) = 1

5x -40m +16 = 1

x = 40m +1-16 / 5

x = 8m -3   Resultado para x.

Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y"; 

Si m = 1 ⇒

x = 8m-3 ⇒ x = 8(1)-3 ⇒ x = 5

y = 5m-2 ⇒  5(1)-2  ⇒  y = 3

Si m = 2 ⇒

x = 8m-3  ⇒  x = 8(2)-3  ⇒  x = 13

y = 5m-2  ⇒  y = 5(2)-2  ⇒  y = 8

Si m = 3 ⇒

x = 8m-3  ⇒  x = 8(3)-3  ⇒  x = 21

y = 5m-2  ⇒  y = 5(3)-2  ⇒  y = 13

Solución:  8m-3, 5m-2  ;  x=5, y=3  ;  x=13, y=8  ;  x=21, y=13.

________________________________

22)  11x-12y = 0

x = 12y/11

⇒ x =11y+y /11 ⇒  x = 11y/11+y/11  ⇒ x = y + y/11

⇒ y/11 = m

∴ y = 11m    resultado para y

Sustituyendo "y" en 11x-12y = 0

11x -12(11m) = 0 

11x -132m = 0

x = 132m/11 

x = 12m    resultado para x

Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y"; 

Si m = 1 ⇒

x = 12m  ⇒  x = 12(1)  ⇒  x = 12

y = 11m  ⇒  y = 11(1)  ⇒  y = 11

Si m = 2 ⇒

x = 12m  ⇒  x = 12(2)  ⇒  x = 24

y = 11m  ⇒  y = 12(2)  ⇒  y = 22

Si m = 3 ⇒

x = 12m  ⇒  x = 12(3)  ⇒  x = 36

y = 11m  ⇒  y = 11(3)  ⇒  y = 33

Solución:  12m, 11m  ;  x=12, y=11  ;  x=24, y=22  ;  x=36, y=33.

____________________________

23)  14x -17y = 32

x = 32+17y /14

x = 28 +4 +14y +3y /14  ⇒  x = 28/14 +14y/14 + 4+3y/14

⇒ 2 +y + 4+3y /14

⇒ 4+3y /14 = 5(4+3y )/14 = 20 +15y /14

= 14 +6 +14y +y /14 = 14/14 + 14y/14 +6/14 +y/14

= 1 +y + 6+y /14

⇒ 6+y/14 = m 

∴ y = 14m-6   resultado para y

Sustituyendo "y" en 14x-17y = 32

14x -17(14m-6) = 32

14x -238m +102 =32

14x = 238m +32-102

x = 238m -70 /14

x = 17m -5   resultado para x

Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y"; 

Si m = 1 ⇒

x = 17m-5  ⇒  x = 17(1)-5  ⇒  x = 12

y = 14m-6  ⇒  y = 14(1)-6  ⇒  y = 8

Si m = 2 ⇒

x = 17m-5  ⇒  x = 17(2)-5  ⇒  x = 29

y = 14m-6  ⇒  y = 14(2)-6  ⇒  y = 22

Si m = 3 ⇒

x = 17m-5  ⇒  x = 17(3)-5  ⇒  x = 46

y = 14m-6  ⇒  y = 14(3)-6  ⇒  y = 36

Solución: x=17m-5, y=14m-6  ;  x=12, y=8  ;  x=29, y=22  ;  x=46, y=36.  

____________________________

24)  7x -11y = 83

x = 83 +11y / 7

x = 77 + 6 +7y +4y /7

x = 77/7 +7y/7 +6/7+ 4y/7

x = 11 +y + 6+4y /7

⇒ 6+4y /7 = 2(6+4y) /7 = 12 +8y /7 = 7+5 +7y +y /5

= 7/7 +7y/7 + 5/7 +y/5 = 1 +y + 5+y/7

⇒ 5+y/ 7 = m

∴  y = 7m -5   resultado para y

Sustituyendo "y" en 7x-11y=83

7x -11(7m-5) = 83

7x -77m +55 = 83

7x = 77m +83 -55

x = 77m +28 / 7

x = 11m +4   resultado para x.

Probando valores de "m" en los dos primeros resultados, para encontrar el valor de "x" y "y"; 

Si m = 1 ⇒

x = 11m+4  ⇒  x = 11(1) +4  ⇒  x = 15

y = 7m-5  ⇒  y = 7(1) -5  ⇒  y = 2

Si m = 2 ⇒

x = 11m+4  ⇒  x = 11(2) +4  ⇒  x = 26

y = 7m-5  ⇒  y = 7(2) -5  ⇒  y = 9

Si m = 3 ⇒

x = 11m+4  ⇒  x = 11(3) +4  ⇒  x = 37

y = 7m-5  ⇒  y = 7(3) -5  ⇒  y = 16

Solución: 11m+4, 7m-5  ;  x=15, y=2  ;  x=26, y=9  ;  x=37, y=16.

______________________________

Ecuaciones Indeterminadas.

Son todas las ecuaciones de 1er. grado con dos incógnitas; cuyas soluciones de las variables satisfacen la ecuación. Estas son ilimitadas.

Por ejemplo, sin condicionantes:  sea la ecuación  2x+3y=12

Despejamos en función de la variable "y":

3y = 12 -2x

y = 12-2x / 3

Sustituyendo el valor de "x" en la función  y = 12-2x / 3

Si x = 0 -> y =  12-2(0) /3 -> y = 12/3 -> y = 4     [(Solución (0, 4)]

Si x = 1 -> y = 12-2(1) /3 -> y = 10/3 -> y = 3¹/³  [Solución (1, 3¹/³)] 

Si x = 2 -> y = 12-2(2) /3 -> y = 8/3 -> y = 2²/³    [Solución (2, 2²/³)]

Si x = 3 -> y = 12 -2(3) / 3 -> y = 6/3 -> y = 2      [Solución (3, 2) ]

y así sucesivamente.

Todos los pares de soluciones deben satisfacer a la ecuación.

_____________________________________

a hora bien, si a las ecuaciones indeterninadas les fijamos condicionantes, como por ejemplo que sean enteras y positivas, el número de soluciones será:

Limitado; cuando en la ecuación original el término que contiene la "x" está conectado con el término que contiene la "y" por medio del signo +.

Ilimitado, cuando en la ecuación original el término que contiene la "x" está conectado con el término que contiene la y por medio del signo - .

Veamos un ejemplo de una ecuación indeterminada cuando está sujeta a una o varias condiciones:

1) Resolver  x + y = 4, para valores enteros y positivos ≠ 0, para la "x".

Despejamos "y":

y = 4 -x

En estos casos los valores para "x" no pueden ser iguales o mayores que el valor positivo constante (4)

Si x = 3 -> y = 4-(3) -> y = 1   Solución (3, 1)

Si x = 2 -> y = 4-(2) -> y = 2   Solución (2, 2)

Si x = 1 -> y = 4-(1) -> y = 3   Solución (1,  3)

________________________________________

Ejercicio 173.

Hallar las soluciones enteras y positivas, diferentes de cero:

1) x +y = 5

⇒ y = 5 -x

Si x = 1 ⇒

y = 5 - (1)

y = 4     Solución (1, 4)

Si x = 2 ⇒

y = 5 - (2)

y = 3     Solución (2, 3)

Si x = 3 ⇒

y = 5 - (3)

y = 2     Solución (3, 2)

Si x = 4 ⇒

y = 5 - (4) 

y = 1     Solución (4 , 1) 

____________________________

2) 2x +3y = 37

⇒ x = 37 - 3y /2

Si y = 1 ⇒

x = 37 - 3(1) / 2

x = 37 - 3 / 2

x = 34/2 = 17     Solución (17, 1)

Si y = 3 ⇒

x = 37  -3(3) / 2

x = 14                Solución (14, 3)

Si y = 5 ⇒

x = 37 - 3(5) /2

x = 11                 Solución (11, 5)

Si y = 7 ⇒

x = 37 - 3(7) /2

x = 8                    Solución (8, 7)

Si y = 9 ⇒

x = 37 - 3(9) /2

x = 5                    Solución (5, 9)

Si y = 11 ⇒

x = 37 - 3(11) /2

x = 2                   Solución (2, 11)

___________________________

3)  3x+5y = 43

x = 43 -5y /3

Si y = 2 ⇒

x = 43 -5(2) / 3

x = 11                 Solución (11, 2)

Si y = 5 ⇒

x = 43 -5(5) /3 

x = 6                   Solución (6, 5)

Si y = 8 ⇒

x = 43 -5(8) /3

x = 1                    Solución (1, 8)

___________________________

4)  x +3y = 9

x = 9 -3y

Si y = 1 ⇒

x = 9 -3(1)

x = 6              Solución (6, 1)

Si y = 2 ⇒

x = 9 -3(2)

x = 3               Solución (3, 2)

____________________________

5)  7x +8y = 115

x = 115 -8y /7

Si  y = 3 ⇒

x = 115 -8(3) /7

x = 13                 Solución (13, 3)

Si y = 10 ⇒

x = 115 -8(10) /7

x = 5                    Solución (5, 10)

_____________________________

6) 15x +7y = 136

y = 136 -15x /7

Si x = 3  ⇒

y = 136 -15(3) / 7

y = 136 -45 / 7

y = 13                    Solución (3, 13)

_____________________________

7)  x +5y = 24

x = 24 -5y

Si y = 1 ⇒

x = 24 -5(1)

x = 19             Solución (19, 1)

Si y = 2 ⇒

x = 24 -5(2)

x = 14             Solución (14, 2)

Si y = 3 ⇒

x = 24 -5(3)

x = 9                Solución (9, 3)

Si y = 4 ⇒

x = 24 -5(4)

x = 4                Solución (4, 4 )

_____________________________

8)  9x +11y = 203

x = 203 -11y / 9

Si y = 7 ⇒

x = 203 -11(7) /9

x = 14                    Solución (14, 7)

Si y = 16 ⇒

x = 203 -11(16) /9

x = 3                       Solución (3, 16)

_____________________________

9)  5x +2y = 73

y = 73 -5x /2

Si x = 1 ⇒

y = 73-5(1) / 2

y = 34                  Solución (1, 34)

Si x = 3 ⇒

y = 73 -5(3) /2

y = 29                  Solución (3, 29)

Si x = 5 ⇒

y = 73 -5(5) / 2

y = 24                   Solución (5, 24)

Si x = 7  ⇒

y = 73 -5(7) /2

y = 19                    Solución (7, 19)

Si x = 9 ⇒

y = 73 -5(9) /2

y = 14                    Solución (9, 14)

Si x = 11 ⇒

y = 73 -5(11) /2

y = 9                      Solución (11, 9)

Si x = 13 ⇒

y = 73 -5(13) /2

y = 4                      Solución (13, 4)

____________________________

10) 8x +13y = 162

x = 162 -13y /8

Si y = 2 ⇒

x = 162 -13(2) /8

x = 17                     Solución (17, 2) 

Si y = 10 ⇒

x = 162 -13(10) /8

x = 4                       Solución (4, 10)

_____________________________

11)  7x +5y = 104

y = 104 -7x / 5

Si x = 2 ⇒

y = 104 -7(2) / 5

y = 18                   Solución (2, 18)

Si x = 7 ⇒

y = 104 -7(7) / 5

y = 11                    Solución (7, 11)

Si x = 12 ⇒

y = 104 -7(12) /5

y = 4                      Solución (12, 4)

____________________________

12)  10x +y = 32

y = 32 -10x 

Si x = 1 ⇒

y = 32 -10(1)

y = 22                 Solución (1, 22)

Si x = 2 ⇒

y = 32- 10(2) 

y = 12                 Solución (2, 12)

Si x = 3 ⇒

y = 32 -10(3)

y = 2                   Solución (3, 2)

____________________________