Ecuación
binomia es la que consta de dos términos, de los cuales uno
es independiente de la incógnita. (xⁿ
± A = 0).
Algunas
de estas ecuaciones se pueden resolver por factorización y/o por la Fórmula General..
El
grado de una ecuación indica el número de raíces que esta tiene.
La ecuación de tercer grado tiene una raíz real y dos imaginarias.
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Procedimiento:
1)
Se factoriza la expresión dada.
2)
Se igualan a cero los factores resultantes.
3)
Se simplifican los resultados para encontrar las raíces.
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Ejemplos:
a)
Resolver x⁴ – 16 = 0
>
Factorizando x⁴–16 = 0 :
(x²-4)(x²+4)
= 0
>
Igualando las ecuaciones a cero y simplificando:
1ª)
x²-4 = 0 → x²
= 4 → x = ±√4
→ x = ±2
→ x
= 2 y x = -2
2ª)
x²+4
= 0 → x²
= -4 →
x =
±√-4
= ±√4√-1
= ±√2²i
= ±
2i
→ x
= 2i y x = -2i
Solución:
2, -2, 2i ,-2i
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b)
Resolver x³ -27
>
Factorizando x³ -27:
(x-3)(x²
+(x)(3)
+3²)
(x-3)(x²
+3x
+9)
>
Igualando las ecuaciones a cero y simplificando:
1ª)
x-3 = 0 → x
= 3
2ª)
x²
+3x
+9 = 0
→ Aplicando
la fórmula general:
x
= -(3) ±√(3)²
-4(1)(9)
/ 2(1)
x
= -3 ±√9
-36
/ 2
x
=
3
±√-27
/ 2
x
=
3±√3²(3)(-1)
/ 2
x
= 3±3√3i
/ 2
→
x
= 3
+3√3i
/ 2 , x
= 3
-3√3i
/ 2
Solución:
3, 3
+3√3i
/ 2 , 3 -3√3i
/ 2
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Ejercicio
282.
Resolver
las ecuaciones:
1)
x⁴
-1
>
Factorizando;
(x²-1)(x²+1)
= 0
>
Igualando a cero:
x²-1=
0 → x² = 1 → x = ±√1
→ x
= ± 1
x²+1=
0 → x² = -1 → x = ±√-1
→
x
= ±i
Solución:
1, -1, i , -i
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2)
x³
+1
>
Factorizando:
(x+1)(x²
-(x)(1) +1²)
= 0
(x+1)(x²
-x +1) = 0
>
Igualando a cero:
x+1
= 0 → x
= -1
x²
-x +1 = 0 →
x
= -(-1)±√(-1)²
-4(1)(1) / 2(1)
x
= 1 ±√1
-4 / 2
x
= 1 ±√-3
/ 2
x
= 1 ±√3√-1
/ 2
x
= 1 ±√3i
/ 2
x
= 1 ±i√3
/ 2
→
x
= 1
+i√3
/ 2
, 1
-i√3
/ 2
Solución:
-1,
1
+i√3
/ 2
, 1
-i√3
/ 2
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3)
x⁴
= 81
→
x⁴
-81 = 0
>
Factorizando:
(x²-9)(x²+9)
= 0
>
Igualando a cero:
(x²-9)
= 0 → x² = 9 → x = ±√9
→ x
= ±3
∴:
x = 3 , x = -3
(x²+9)
= 0 → x² = -9 → x = ±√-9
→
x
= ±√9√-1-→
x
= ±3√-1
=
±3i
→
x
= 3i , x = -3i
Solución:
3, -3, 3i, -3i
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8)
x⁶
-729
>
Factorizando:
(x³-27)(x³+27)
= 0
→
1ª)
x³-27
=
(x-3)(x²+3x
+9)
>
Igualando a cero:
x-3
=
0 → x
= 3
x²+3x
+9 = 0
x
=
-(3)±√(3)²
-4(1)(9) /2(1)
x
=
-3
±√9
-36)
/2
x
=
-3
±√-27)
/2
x
=
-3
±√3²(3)√1)
/2
x
=
-3
±3√3i
/2
→
x
= -3 +3√3i
/2 , x
= -3 -3√3i
/2
2ª)
x³+27
=
(x+3)(x²-3x
+9)
>
Igualando a cero:
x+3
= 0 → x
= -3
x²-3x
+9 =
0
x
= -(-3)±√(-3)²
-4(1)(9) /2(1)
x
= 3
±√9
-36
/2
x
= 3
±√-27
/2
x
= 3
±√27√-1
/2
x
=
3
±√3²(3)√1)
/2
x
=
3
±3√3i
/2
→
x
=
3
+3√3i
/2 , x
=
3
-3√3i
/2
Solución:
3, -3, -3
+3√3i
/2, -3
-3√3i
/2, 3
+3√3i
/2, 3
-3√3i
/2
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