Resolución de ecuaciones binomias sencillas.

.          x⁴-625 = 0

Ecuación binomia es la que consta de dos términos, de los cuales uno es independiente de la incógnita. (xⁿ ± A = 0).

Algunas de estas ecuaciones se pueden resolver por factorización y/o por la Fórmula General..

El grado de una ecuación indica el número de raíces que esta tiene. La ecuación de tercer grado tiene una raíz real y dos imaginarias.

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Procedimiento:

1) Se factoriza la expresión dada.

2) Se igualan a cero los factores resultantes.

3) Se simplifican los resultados para encontrar las raíces.

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Ejemplos:

a) Resolver x⁴ – 16 = 0

> Factorizando x⁴–16 = 0 :

(x²-4)(x²+4) = 0

> Igualando las ecuaciones a cero y simplificando:

1ª) x²-4 = 0 → x² = 4 → x = ±√4 → x = ±2

→ x = 2 y x = -2

2ª) x²+4 = 0 → x² = -4 → x = ±√-4 = ±√4√-1 = ±√2²i = ± 2i

→ x = 2i y x = -2i

Solución: 2, -2, 2i ,-2i

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b) Resolver x³ -27

> Factorizando x³ -27:

(x-3)(x² +(x)(3) +3²)

(x-3)(x² +3x +9)

> Igualando las ecuaciones a cero y simplificando:

1ª) x-3 = 0 → x = 3

2ª) x² +3x +9 = 0

→ Aplicando la fórmula general:

x = -(3) ±√(3)² -4(1)(9) / 2(1)

x = -3 ±√9 -36 / 2

x = 3 ±√-27 / 2

x = 3±√3²(3)(-1) / 2

x = 3±3√3i / 2

→ x = 3 +3√3i / 2 , x = 3 -3√3i / 2

Solución: 3, 3 +3√3i / 2 , 3 -3√3i / 2

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Ejercicio 282.

Resolver las ecuaciones:

1) x⁴ -1

> Factorizando;

(x²-1)(x²+1) = 0

> Igualando a cero:

x²-1= 0 → x² = 1 → x = ±√1 → x = ± 1

x²+1= 0 → x² = -1 → x = ±√-1 → x = ±i

Solución: 1, -1, i , -i

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2) x³ +1

> Factorizando:

(x+1)(x² -(x)(1) +1²) = 0

(x+1)(x² -x +1) = 0

> Igualando a cero:

x+1 = 0 → x = -1

x² -x +1 = 0 →

x = -(-1)±√(-1)² -4(1)(1) / 2(1)

x = 1 ±√1 -4 / 2

x = 1 ±√-3 / 2

x = 1 ±√3√-1 / 2

x = 1 ±√3i / 2

x = 1 ±i√3 / 2

→ x = 1 +i√3 / 2 , 1 -i√3 / 2

Solución: -1, 1 +i√3 / 2 , 1 -i√3 / 2

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3) x⁴ = 81

→ x⁴ -81 = 0

> Factorizando:

(x²-9)(x²+9) = 0

> Igualando a cero:

(x²-9) = 0 → x² = 9 → x = ±√9 → x = ±3

∴: x = 3 , x = -3

(x²+9) = 0 → x² = -9 → x = ±√-9 → x = ±√9√-1-→ x = ±3√-1 = ±3i

→ x = 3i , x = -3i

Solución: 3, -3, 3i, -3i

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8) x⁶ -729

> Factorizando:

(x³-27)(x³+27) = 0

→

1ª) x³-27 = (x-3)(x²+3x +9)

> Igualando a cero:

x-3 = 0 → x = 3

x²+3x +9 = 0

x = -(3)±√(3)² -4(1)(9) /2(1)

x = -3 ±√9 -36) /2

x = -3 ±√-27) /2

x = -3 ±√3²(3)√1) /2

x = -3 ±3√3i /2

→ x = -3 +3√3i /2 , x = -3 -3√3i /2

2ª) x³+27 = (x+3)(x²-3x +9)

> Igualando a cero:

x+3 = 0 → x = -3

x²-3x +9 = 0

x = -(-3)±√(-3)² -4(1)(9) /2(1)

x = 3 ±√9 -36 /2

x = 3 ±√-27 /2

x = 3 ±√27√-1 /2

x = 3 ±√3²(3)√1) /2

x = 3 ±3√3i /2

→ x = 3 +3√3i /2 , x = 3 -3√3i /2

Solución: 3, -3, -3 +3√3i /2, -3 -3√3i /2, 3 +3√3i /2, 3 -3√3i /2

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