Factorización por agrupación de términos. Casos Especiales.

Estos casos son aquellas expresiones como a(x²)ⁿ ±bxⁿ ±c ; ax²y² ±bxy ±c ; ax² ±bxy ±

cy²; -ax² ±bx ±c, de las cuales se presentan ejemplos para su comprensión.

Ejemplos:

a) Factorar 15x⁴-11x²-12

> Multiplicando por el coeficiente del 1^er. término todo el trinomio,

descomponiendo el exponente ⁴ del término bicuadrático en dos factores: ² y ²:

= 15(15x⁴-11x²-12)

= (15x²)²-11(15x²)-180

> Factorando:

= [(15x²-20)(15x²+9)] /15

= (15x²-20)/5 (15x²+9)/3

= (3x²-4)(5x²+3) Solución.

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b) Factorar 12x²y²+xy-20

> Multiplicando por 12:

= 12(12x²y²+xy-20)

= (12xy)²+1(12xy)-240

> Factorando:

= [(12xy+16)(12xy-15)]/12

= (12xy+16)/4 (12xy-15)/3

= (3xy+4)(4xy-5) Solución.

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c) Factorar 6x²-11ax-10a²

> Multiplicando por 6:

= 6(6x²-11ax-10a²)

= (6x)²-11(6ax)-60a²

> Factorando:

= [(6x-15a)(6x+4a)]/6

= (6x-15a)/3 (6x+4a)/2

= (2x-5a)(3x+2a) Solución.

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d) Factorar 20-3x-9x²

= -9x²-3x+20 (ordenado)

> Introduciendo el trinomio entre paréntesis y cambiándole signo a los términos; precedido del signo ( - ):

= -(9x²+3x-20)

> Multiplicando por 9:

= -[9(9x²+3x-20)]

= -[(9x)²+3(9x)-180]

> Factorando:

= -[(9x+15)(9x-12)]/9

= -(9x+15)/3 (9x-12)/3

= -(3x+5)(3x-4)

> Eliminar el signo (-) que antecede a los factores; cambiándolo signo a un factor: a (3x-4) y este se convertirá en (-3x+4):

= (3x+5)(-3x+4)

> Cambiando el orden del segundo factor el resultado de la factorización quedaría:

= (3x+5)(4-3x) Solución.

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Ejercicio 101.

Factorar:

1) 6x⁴+5x²-6

= 6(6x⁴+5x²-6)

= (6x²)²+5(6x²)-36

Factorando:

= [(6x²+9)(6x²-4)]/6

= (6x²+9)/3 (6x²-4)/2

= (2x²+3)(3x²-2) Solución.

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2) 5x⁶+4x³-12

= 5(5x⁶+4x³-12)

= (5x³)²+4(5x³)-60

Factorando:

= [(5x³+10)(5x³-6)]/5

= (5x³+10)/5(5x³-6)/1

= (x³+2)(5x³-6) Solución.

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3) 10x⁸+29x⁴+10

= 10(10x⁸+29x⁴+10)

= (10x⁴)²+29(10x⁴)+100

Factorando:

= [(10x⁴+25)(10x⁴+4)]/10

= (10x⁴+25)/5 (10x⁴+4)/2

= (2x⁴+5)(5x⁴+2) Solución.

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4) 6a²x²+5ax-21

= 6(6a²x²+5ax-21)

= (6ax)²+5(6ax)-126

Factorando:

= [(6ax+14a)(6ax-9a)]/6

= (6ax+14a)/2 (6ax-9a)/3

= (3ax+7)(2ax-3) Solución.

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5) 20x²y²+9xy-20

= 20(20x²y²+9xy-20)

= (20xy)²+9(20xy)-400

Factorando

= [(20xy+25)(20xy-16)]/20

= (20xy+25)/5 (20xy-16)/4

= (4xy+5)(5xy-4) Solución.

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6) 15x²-ax-2a²

= 15(15x²-ax-2a²)

= (15x)²-1(15x)-30a²

Factorando:

= [(15x-6a)(15x+5a)]/15

= (15x-6a)/3 (15x+5a)/5

= (5x-2a)(3x+a) Solución.

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7) 12-7x-10x²

= -10x²-7x+12

= -(10x²+7x-12)

= -[10(10x²+7x-12)]

= -[(10x)²+7(10x)-120]

Factorando:

= -[(10x)²+7(10x)-120]/10

= -(10x+15)/5 (10x-8)/2

= -(2x+3)(5x-4)

→

= (2x+3)(-5x+4)

= (2x+3)(4-5x) Solución.

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8) 21x²-29xy-72y²

= 21(21x²-29xy-72y²)

= (21x)²-29(21x)-1512

Factorando:

= [(21x-56y)(21x+27y)]/21

= (21x-56y)/7 (21x+27y)/3

= (3x-8y)(7x+9y) Solución.

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