Suma o diferencia de cubos perfectos. Casos Especiales.

En estos casos especiales se pueden presentar cuatro expresiones:

1) Cuando en la suma de cubos perfectos, uno de ellos es binomio.
(a+b)³ + c³ = [(a+b) + c][(a+b)² - (a+b)(c) + (c)²]

2) Cuando en la diferencia de cubos perfectos, uno de ellos es binomio. 
c³ - (a+b)³ = [c + (a+b)][(c)² + (c)(a+b) + (a+b)²]

3) Cuando en la suma de cubos perfectos, los dos son binomio.
(a+b)³+(c+d)³ = [(a+b) + (c+d)][(a+b)² - (a+b)(c+d) + (c+d)²]

4) Cuando en la diferencia de cubos perfectos, los dos son binomio.
(a+b)³-(c+d)³ = [(a+b) + (c+d)][(a+b)² + (a+b)(c+d) + (c+d)²]
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Ejemplos:

1) Factorar (a+b)³ + 1
> La raíz³ de:  (a+b)³ = (a+b)  ;  1 = 1
-->
(a+b)³ + 1 = [(a+b) + 1][(a+b)² - (a+b)(1) + (1)²]
.                = (a+b+1)(a² +2ab + b² - (a + b) +1)
.                = (a+b+1)(a² +2ab + b² - a - b +1)  Solución.

2) Factorar 8 - (x-y)³
> La raíz³ de: 8 = 2  ;  (x-y)³ = (x-y)
-->
8 - (x-y)³ = [2 - (x-y)][(2)² + (2)(x-y) + (x-y)²]
.               = (2-x+y)(4 +2x -2y +x² -2xy +y²    Solución.

3) Factorar (x+1)³ +(x-2)³
> La raíz³ de:  (x+1)³ = x+1  ;  (x-2)³ = x-2
-->
(x+1)³ +(x-2)³ = [(x+1)+(x-2)][(x+1)² - (x+1)(x-2) + (x-2)²]
.                      = [x+1+x-2][(x² +2x +1 - (x² -x -2) + x² -4x +4)]
.                      = (2x-1)(x² +2x +1 -x² +x +2 +x²-4x +4)
.                      = (2x-1)(x² - x +7)   Solución.

4) (a-b)³ - (a+b)³
> La raíz³ de:  (a-b)³ = (a-b)  ;  (a+b)³ = (a+b)
-->
(a-b)³ - (a+b)³ = [(a-b) - (a+b)][(a-b)² + (a-b)(a+b) + (a+b)²]
.                      = [a-b-a-b][a² -2ab +b² + a² - b² + a² + 2ab +b²]
.                      = (-2b)(3a² +b²)  Solución.
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Ejercicio 104.
Descomponer en dos factores:

1) 1 + (x+y)³
Raíces³ de:  1=1  ,  (x+y)³ = (x+y)
⟹
= 1 + (x+y)³ = [1+(x+y)][(1²) -(1)(x+y) + (x+y)²]
.                   = (1+x +y)(1 -x -y +x² +2xy +y²)
.                   = (1+x +y)(1 -x -y +x² +2xy +y²)  Solución.
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2) 1 - (a+b)³
Raíces³ de: 1 = 1  ;  (a+b)³ = (a+b)
⟹
1 - (a+b)³ = [1 -a -b][(1)² +(1)(a+b) +(a+b)²]
.               = (1 -a -b)(1 +a +b +a² +2ab +b²)   Solución.
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3) 27 +(m-n)³
Raíces³ de:  27 = 3  ;  (m-n)³ = (mn)
⟹
27 +(m-n)³ = [3 +m -n][(3²) -3(m-n) + (m-n)²]
.                 = (3 +m -n)(9 -3m +3n +m² -2mn +n²)  Solución.
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4) (x-y)³ -8
Raíces³ de: (x-y)³ = (x-y)  ;  8 = -2
⟹
(x-y)³ -8 = [(x-y) -2][(x-y)² +(x-y)(-2) +(-2)²]
.              = [x -y -2][x² -2(x)(y)+y² -2x +2y +4 ]
.              = (x -y -2)(x² -2xy +y² -2x +2y +4)   Solución.
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12) (a+1)³ + (a-3)³
Raíces de:  (a+1)³ = (a+1)  ;  (a-3)³ = (a-3)
⟹
(a+1)³ + (a-3)³ = [(a+1)+(a-3)][(a+1)² - (a+1)(a-3) + (a-3)²]
-                       = [a +1 +a -3][(a)² +2(a)(1) + (1)² -(a² -2a -3)+ a² +2(a)(3) +(3)²]
.                       = (2a -2)(a² +2a+1 -a² +2a +3 +a² -6a +9)
.                       = (2a-2)(a² -2a +13)  Solución.
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13) (x-1)³ - (x+2)³
Raíces de:  (x-1)³ = (x+1) ; (x+2)³ = x+2
 ⟹
 (x-1)³ - (x+2)³ = [(x-1) - (x+2)][(x-1)² + (x-1)(x+2) + (x+2)²]
.                        = [x -1 -x -2][(x² -2x +1) + (x² +x -2) + (x² +4x +4)]
.                        = (-3)(3x² +3x +3)  (Efectuando multiplicación)
.                        = -9x² -9x -9  (Factor común polinomio)
.                        = -9(x² +x +1)  Solución.
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