Cuadrado de un polinomio. Potenciación.

Regla:

El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos más el duplo de cada combinación binaria que con ellos pueden formarse.

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Sobre las combinaciones se forman así:

Para (a+b+c)²: ... + el duplo del 1º por el 2º términos; + el duplo del 1º por el 3º términos; más el duplo del 2º por el 3º términos.

Para (a+b+c+d)² : ... + el duplo del 1º por el 2º;  + el duplo del 1º por el 3º; + el duplo del 1º por el 4º; + el duplo del 2º por el 3º;  + el duplo del 2º por el 4º; + el duplo del 3º por el 4º.

Para polinomios mayores de 5 términos se combina cada términos con los que le siguen.

Toma en cuenta que en ninguno de los polinomios se combinan los términos con sus anteriores.

En las combinaciones binarias se escriben los términos con su propio signo.

Para saber cuantas combinaciones binarias debe contener el polinomio, se calcula de la siguiente manera:

Por ejemplo: 

(a+b+c)² = (3-1) + (3-2) + (3-3) = 2+1+0 = 3 Combinaciones

(a+b+c+d)² = (4-1)+(4-2)+(4-3)+(4-4) = 3+2+1+0 = 6  Combinaciones

(a+b+c+d+e)² = (5-1)+(5-2)+(5-3)+(5-4)+(5-5)= 4+3+2+1+0= 10 combinaciones

Y así sucesivamente ...

Importante recordar la Ley de los Exponentes para Potencia de una Potencia y producto de potencias.

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Procedimiento:

1) Calcular el número de combinaciones binarias que tendrá el polinomio.
2) Desarrollar la regla de acuerdo al número de términos que tenga el polinomio.
3) Efectuar las operaciones que se formen.
4) Simplificar.
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Ejemplos:

a) Elevar al cuadrado  x² -3x +4

> Cuadrado del trinomio:
= (x² -3x +4)²

> Desarrollando el trinomio con base a la Regla:
= (x²)² + (-3x)² + (4)² + 2(x²)(-3x) + 2(x²)(4) + 2(-3x)(4)

> Efectuando operaciones y simplificando:
= x⁴ + 9x² +16 + (-6x³) + (8x²) + (-24x)

= x⁴ + 9x² +16 - 6x³ + 8x² -24x

= x⁴ - 6x³ + 17x² -24x +16  Solución.
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b) Desarrolar (3x³ -5x² -7)²

> Desarrollando el trinomio:
= (3x³)² + (-5x²)² + (-7)² +  2(3x³)(-5x²) + 2(3x³)(-7) + 2(-5x²)(-7)

> Efectuando operaciones y simplificando:
= 9x⁶ + 25x⁴ +49 + (-30x⁵) + (-42x³) + (70x²)

= 9x⁶ + 25x⁴ +49 - 30x⁵ - 42x³ + 70x²

= 9x⁶ - 30x⁵ + 25x⁴ - 42x³ + 70x² +49  Solución.
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c) Elevar al cuadrado a³ -3a² +4a -1

Cuadrado del polinomio : (a³ -3a² +4a -1)²

> Aplicando la Regla:
= (a³)² + (-3a²)² + (4a)² + (-1)² + 2(a³)(-3a²) + 2(a³)(4a) + 2(a³)(-1) + 2(-3a²)(4a) + 2(-3a²)(-1) + 2(4a)(-1)

> Efectuando operaciones y simplificando:
= a⁶ + 9a⁴ +16a² +1 + (-6a⁵) + (8a⁴) + (-2a³) + (-24a³) + (6a²) + (-8a)

= a⁶ + 9a⁴ +16a² +1 - 6a⁵ + 8a⁴ - 2a³ - 24a³ + 6a² - 8a

= a⁶ - 6a⁵ + 17a⁴ - 26a³ +22a² - 8a +1   Solución.
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Ejercicio 208.
Elevar al cuadrado:

5) 4a⁴ -3a² +5

(4a⁴ -3a² +5)²

= (4a⁴)² + (-3a² )² + (5)² + 2(4a⁴)(-3a² ) + 2(4a⁴)(5) + 2(-3a² )(5)

= 16a⁸ + 9a⁴ + 25 +(-24a⁶) + (40a⁴) + (-30a²)

= 16a⁸ + 9a⁴ + 25 - 24a⁶ + 40a⁴ - 30a²

= 16a⁸ - 24a⁶ + 49a⁴ - 30a² + 25   Solución.
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8)  5x⁴ -7x² +3x

(5x⁴ -7x² +3x)²

= (5x⁴)² + (-7x²)² + (3x)² + 2(5x⁴)(-7x²) + 2(5x⁴)(3x) + 2(-7x²)(3x)

= 25x⁸ + 49x⁴ + 9x² +(-70x⁶) + (30x⁵) + (-42x³)

= 25x⁸ + 49x⁴ + 9x² - 70x⁶ + 30x⁵ - 42x³

= 25x⁸ - 70x⁶ + 30x⁵ + 49x⁴ - 42x³ + 9x²   Solución.
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10) m³ -2m²n +2n⁴

(m³ -2m²n +2n⁴)²

= (m³)² + (-2m²n)² + (2n⁴)² + 2(m³)(-2m²n) + 2(m³)(2n⁴) + 2(-2m²n)(2n⁴)

= m⁶ + 4m⁴n² + 4n⁸ + (-4m⁵n) + (4m³n⁴) + (-8m²n⁵)

= m⁶ + 4m⁴n² + 4n⁸ - 4m⁵n + 4m³n⁴ - 8m²n⁵

= m⁶ - 4m⁵n + 4m⁴n² + 4m³n⁴ - 8m²n⁵ + 4n⁸  Solución.
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14) a/x -1/3 +x/a

(a/x -1/3 +x/a)²

= (a/x)² + (-1/3)² + (x/a)² + 2(a/x)(-1/3) + 2(a/x)(x/a) + 2(-1/3)(x/a)

= a²/x² + 1/9 + x²/a² + (-2a/3x) + (2ax/xa) + (-2x/a)

= a²/x² + 1/9 + x²/a² - 2a/3x + 2ax/xa - -2x/a

= a²/x² + 1/9 + x²/a² - 2a/3x + 2 - 2x/a

= a²/x² - 2a/3x + 2¹/₉ - 2x/a + x²/a²  Solución.
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15) ³/₄ a² -¹/₂ a +⁴/₅

(³/₄ a² -¹/₂ a +⁴/₅)²

= (³/₄ a²)² + (-¹/₂ a)² + (⁴/₅)² + 2(³/₄ a²)(-¹/₂ a) + 2(³/₄ a²)(⁴/₅) + 2(-¹/₂ a)(⁴/₅)

= 9a⁴/16 + a²/4 + ¹⁶/₂₅ +  (-3a³/4) + (6a²/5) + (-4a/5)

= 9a⁴/16 + a²/4 + ¹⁶/₂₅ - 3a³/4 + 6a²/5 - 4a/5

= 9a⁴/16 - 3a³/4 + 29a²/20 - 4a/5 + ¹⁶/₂₅  Solución.
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18) x³ - 3x² - 2x +2

(x³ - 3x² - 2x +2)²

= (x³)² + (- 3x²)² + (- 2x)² + (2)² + 2(x³)(- 3x²) + 2(x³)(- 2x) + 2(x³)(2) + 2(- 3x²)(- 2x) + 2(- 3x²)(2) + 2(- 2x)(2)

= x⁶ + 9x⁴ + 4x² +4 +(-6x⁵) + (-4x⁴) + (4x³) + (12x³) + (-12x²) + (-8x)

= x⁶ + 9x⁴ + 4x² +4  -6x⁵ - 4x⁴ + 4x³ + 12x³ - 12x² - 8x

= x⁶ -6x⁵ + 5x⁴ + 16x³ - 8x² - 8x +4  Solución.
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23) ¹/₂ a³ - ²/₃ a² + ³/₄ a - ¹/₂

(¹/₂ a³ - ²/₃ a² + ³/₄ a - ¹/₂)²

= (¹/₂ a³)² + (- ²/₃ a²)² + (³/₄ a)² + (- ¹/₂)² + 2(¹/₂ a³)(- ²/₃ a²) + 2(¹/₂ a³)(³/₄ a) + 2(¹/₂ a³)(- ¹/₂) + 2(- ²/₃ a²) (³/₄ a) + 2(- ²/₃ a²)(- ¹/₂) + 2(³/₄ a)(- ¹/₂)

= ¹/₄ a⁶ + ⁴/₉ a⁴ + ⁹/₁₆a² + ¹/₄ + (-²/₃ a⁵) + (³/₄ a⁴) + (-¹/₂ a³) + (-1 a³) + (²/₃ a²) + (-³/₄ a)

= ¹/₄ a⁶ + ⁴/₉ a⁴ + ⁹/₁₆a² + ¹/₄ - ²/₃ a⁵ + ³/₄ a⁴ - ¹/₂ a³ -1a³ + ²/₃ a² - ³/₄ a

= ¹/₄ a⁶ - ²/₃ a⁵ + ⁴³/₃₆ a⁴ - ³/₂ a³ + ⁵⁹/₄₈ a² - ³/₄ a + ¹/₄   Solución.
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24) x⁵ - x⁴ + x³ - x² + x - 2

(x⁵ -x⁴ +x³ -x² +x -2)²

= (x⁵)² + (-x⁴)² + (x³)² + (-x²)² + (x)² + (-2)² + 2(x⁵)(-x⁴) + 2(x⁵)(x³) + 2(x⁵)(-x²) + 2(x⁵)(x) + 2(x⁵)(-2) + 2(-x⁴)(x³) + 2(-x⁴)(-x²) + 2(-x⁴)(x) + 2(-x⁴)(-2) + 2(x³)(-x²) + 2(x³)(x) + 2(x³)(-2) + 2(-x²)(x) + 2(-x²)(-2) + 2(x)(-2)

= x¹⁰ +x⁸ +x⁶ + x⁴ + x² + 4 + (-2x⁹) + (2x⁸) + (-2x⁷) + (2x⁶) + (-4x⁵) + (-2x⁷) + (+2x⁶) + (-2x⁵) + (4x⁴) + (-2x⁵) + (2x⁴) + (-2x³) + (-2x³) + (4x²) + (-4x)

= x¹⁰ +x⁸ +x⁶ + x⁴ + x² + 4 - 2x⁹ + 2x⁸ - 2x⁷ + 2x⁶ - 4x⁵ - 2x⁷ + 2x⁶ -2x⁵ + 4x⁴ - 2x⁵ + 2x⁴ - 4x³ - 2x³ + 4x² -4x

= x¹⁰ -2x⁹ +3x⁸ -4x⁷ +5x⁶ -8x⁵ +7x⁴ -6x³ +5x² -4x +4

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