Cubo de un Binomio. Potenciación.

En estos casos se trabaja como se hizo en el producto notable "Cubo de un Binomio"; la diferencia es que aquí los valores de los binomios son potencias y fracciones. Por lo que se recomienda tomar en cuenta la Ley de los Exponentes.

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Procedimiento:
1) Aplicar el producto notable Cubo de un Binomio.
2) Sustituir valores en el producto notable.
3) Efectuar las operaciones indicadas.
4) Simplificar para llegar a la solución.
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Regla:
(a+b)³ = (a)³ + 3(a)²(b) + 3(a)(b)² + (b)³
(a-b)³ = (a)³ - 3(a)²(b) + 3(a)(b)² - (b)³
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Ejemplos:

a) Desarrollar (4a³+5a²b²)³

> Aplicando la regla para (a+b)³ = (a)³ +3(a)²(b) +3(a)(b)² +(b)³

= (4a³)³ +3(4a³)²(5a²b²) +3(4a³)(5a²b²)² +(5a²b²)³

> Resolviendo las operaciones indicadas y simplificando:

= 64a⁹ +3(16a⁶)(5a²b²) +3(4a³)(25a⁴b⁴) +125a⁶b⁶

= 64a⁹ +240a⁸b² +300a⁷b⁴ +125a⁶b⁶  Solución.
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b) Desarrollar (3/5 x - 5/6 y²)³

> Aplicando la Regla para (a-b)³

= (3/5x)³ - 3(3/5x)²(5/6y²) + 3(3/5x)(5/6y²)² - (5/6y²)³

> Resolviendo las operaciones y simplificando:

= 27/125x³ - 3(9/25x²)(5/6y²) + 3(3/5x)(25/36y⁴) - 125/216y⁶

= 27/125x³ - 9/10x²y² + 5/4xy⁴ - 125/216y⁶  Solución.
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c) Desarrollar (2x³/5y - 10y⁴/3)³

> Aplicando la Regla para (a-b)³

= (2x³/5y)³ -3(2x³/5y)²(10y⁴/3) + 3(2x³/5y)(10y⁴/3)² - (10y⁴/3)³

> Resolviendo las operaciones y simplificando:

= 8x⁹/25y³ - 3(4x⁶/25y²)(10y⁴/3) +3(2x³/5y)(100y⁸/9) - 1000y¹²/27

= 8x⁹/25y³ - 120x⁶y⁴/75y² + 600x³y⁸/45y - 1000y¹²/27

= 8x⁹/25y³ - 8/5x⁶y² + 40/3x³y⁷ - 1000/27y¹²  Solución.
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Ejercicio 207.
Desarrollar:

1) (2a+3b)³

= (2a)³ + 3(2a)²(3b) + 3(2a)(3b)² + (3b)³

= 8a³ + 3(4a²)(3b) + 3(2a)(9b²) + 27b³

= 8a³ + 36a²b + 54ab² +27b³  Solución.
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3) (5x²+6y³)³

= (5x²)³ + 3(5x²)²(6y³) + 3(5x²)(6y³)² + (6y³)³

= 125x⁶ + 3(25x⁴)(6y³) + 3(5x²)(36y⁶) + 216y⁹

= 125x⁶ + 450x⁴y³ + 540x²y⁶ + 216y⁹   Solución.
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5) (7a⁴-5a²b³)³

= (7a⁴)³ - 3(7a⁴)²(5a²b³) + 3(7a⁴)(5a²b³)² - (5a²b³)³

= 343a¹² - 3(49a⁸)(5a²b³) + 3(7a⁴)(25a⁴b⁶) - 125a⁶b⁹

= 343a¹² - 735a¹⁰b³ + 525a⁸b⁶ - 125a⁶b⁹  Solución.
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8) (3a²b-5a³b²)³

= (3a²b)³ - 3(3a²b)²(5a³b²) + 3(3a²b)(5a³b²)² - (5a³b²)³

= 27a⁶b³ - 3(9a⁴b²)(5a³b²) +3(3a²b)(25a⁶b⁴) - 125a⁹b⁶

= 27a⁶b³ - 135a⁷b⁴ + 225a⁸b⁵ - 125a⁹b⁶   Solución.
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9) (1/2 a +2/3 b²)³

= (1/2a)³ + 3(1/2a)²(2/3b²) + 3(1/2a)(2/3b²)² + (2/3b²)³

= 1/8a³ + 3(1/4a²)(2/3b²) + 3(1/2a)(4/9b⁴) + 8/27b⁶

= 1/8a³ + 1/2a²b² + 2/3ab⁴ + 8/27b⁶   Solución.
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10)  (3/4a² - 4/5b²)³

= (3/4a²)³ - 3(3/4a²)²(4/5b²) + 3(3/4a²)(4/5b²)² - (4/5b²)³

= 27/64a⁶ - 3(9/16a⁴)(4/5b²) + 3(3/4a²)(16/25b⁴) - 64/125b⁶

= 27/64a⁶ - 27/20a⁴b² + 36/25a²b⁴ - 64/125b⁶
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16)  (3a/2b + 4b²/5)³

= (3a/2b)³ + 3(3a/2b)²(4b²/5) + 3(3a/2b)(4b²/5)² + (4b²/5)³

= 27a³/8b³ + 3(9a²/4b²)(4b²/5) + 3(3a/2b)(16b⁴/25) + 64b⁶/125

= 27a³/8b³ + 27a²b²/5b² + 72ab⁴/25b + 64b⁶/125

= 27a³/8b³ + 27a²/5 + 72ab³/25 + 64b⁶/125  Solución.
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18)  (1/6 m³ - 6n²/m²)³

= (1/6 m³)³ - 3(1/6 m³)²(6n²/m²) + 3(1/6 m³)(6n²/m²)² - (6n²/m²)³

= 1/216 m⁹ - 3(1/36 m⁶)(6n²/m²) + 3(1/6 m³)(36n⁴/m⁴) - 216n⁶/m⁶

= 1/216 m⁹ - 1m⁶n²/2m² + 18m³n⁴/m⁴ - 216n⁶/m⁶

= 1/216 m⁹ - 1/2 m⁴n² + 18n⁴/m - 216n⁶/m⁶  Solución.
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