División de polinomios con coeficientes fraccionarios.

Procedimiento:

Se utiliza el mismo que en las otras divisiones.

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Recuerda aplicar la Ley de Signos y la Ley de los Exponentes.

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Ejemplo:

Dividir 1/3x³ -35/36x²y +2/3xy² -3/8y³ entre 2/3x -3/2y

.                 1/2x² -1/3xy +1/4y²                  → Solución

2/3x -3/2y | 1/3x³ -35/36x²y +2/3xy² -3/8y³

.                 -1/3x³      3/4x²y

.                              - 2/9x²y +2/3xy²

.                                2/9x²y - 1/2xy²

.                                          + 1/6xy² -3/8y³

.                                          - 1/6xy² +3/8y³

.                                                     0

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Ejercicio 57

Dividir:

1) 1/6a² +5/36ab -1/6b² entre 1/3a +1/2b

.                 1/2a -1/3b                     → Solución

1/3a +1/2b | 1/6a² +5/36ab - 1/6b²

.                      -1/6a² -   1/4ab

.                               - 1/9ab - 1/6b²

.                                 1/9ab +1/6b²

.                                                   0

2) 1/3x² +7/10xy -1/3y² entre x -2/5y

.               1/3x +5/6y                      → Solución.

x -2/5y | 1/3x² +7/10xy -1/3y²

.               -1/3x² +2/15xy

.                                5/6xy - 1/3y²

.                             - 5/6xy +1/3y²

.                                        0

3) 1/3x³ -35/36x²y +2/3xy² -3/8y³ entre 1/2x² -1/3xy +1/4y²

.                                     2/3x -3/2y                                     →Solución.

1/2x² -1/3xy +1/4y² | 1/3x³ -35/36x²y +2/3xy² -3/8y³

.                                     -1/3x³ +   2/9x²y –1/6xy²

.                                                 -    3/4x²y +1/3xy² -3/8y³

.                                                       3/4x²y -1/3xy² +3/8y³

.                                                                       0

4) 1/16a³ -5/8a²b -b³ +5/3ab² entre 1/4a -3/2b

> Ordenando el dividendo:

1/16a³ -5/8a²b +5/3ab² -b³ entre 1/4a -3/2b

.                     1/4a² -ab +2/3b²                     → Solución.

1/4a -3/2b | 1/16a³ - 5/8a²b +5/3ab² -b³

.                     -1/16a³ +3/8a²b

.                                    -1/4a²b +5/3ab²

.                                     1/4a²b  -3/2ab²

.                                                     1/6ab² - b³

.                                                    -1/6ab² +b³

.                                                             0

5) 3/5m⁴ +1/10m³n -17/60m²n² +7/6mn³ -n⁴ entre 3/2m² +2n² -mn

Ordenando el divisor:

3/5m⁴ +1/10m³n -17/60m²n² +7/6mn³ -n⁴ entre 3/2m² -mn +2n²

.                         2/5m² +1/3mn -1/2n² →Solución                .

3/2m² -mn +2n² | 3/5m⁴ +1/10m³n -17/60m²n² +7/6mn³ - n⁴

.                              -3/5m⁴  + 2/5m³n  -    4/5m²n²

.                                                1/2m³n -13/12m²n² +7/6mn³

.                                               -1/2m³n +   1/3m²n² - 2/3mn³

.                                                                -   3/4m²n² +1/2mn³ - n⁴

.                                                                     3/4m²n² - 1/2mn³ +n⁴

.                                                                                       0

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División de polinomios con exponentes literales.

.       xⁿ + xⁿ⁺¹ / x +1

Procedimiento:

1) Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.

2) Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y se tendrá el primer término del cociente.

3) El primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo a como se hayan ordenado.

4) Se divide el primer término del resto o residuo entre el primer término del divisor y se tendrá el segundo término del cociente.

5) Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos.

6) Se divide el primer término del segundo resto o residuo entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

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Recuerda aplicar la Ley de Signos y la Ley de los Exponentes.

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Ejemplos:

a) Dividir 3aˣ⁺⁵ +19aˣ⁺³ -10aˣ⁺⁴ -8aˣ⁺² +5aˣ⁺¹ entre a² -3a +5

> Ordenando los términos de los polinomios en orden descendente:
3aˣ⁺⁵ -10aˣ⁺⁴ +19aˣ⁺³ -8aˣ⁺² +5aˣ⁺¹ entre a² -3a +5

.                  3aˣ⁺³ -aˣ⁺² +aˣ⁺¹                                .

a² -3a +5 | 3aˣ⁺⁵ -10aˣ⁺⁴ +19aˣ⁺³ -8aˣ⁺² +5aˣ⁺¹ --> ( 3aˣ⁺⁵ ÷ a² = 3aˣ⁺³)

.                  -3aˣ⁺⁵  +9aˣ⁺⁴ -15aˣ⁺³

.                                - aˣ⁺⁴ +  4aˣ⁺³ -8aˣ⁺²             --> ( -aˣ⁺⁴ ÷ a² = -aˣ⁺²)

.                                   aˣ⁺⁴ -  3aˣ⁺³ +5aˣ⁺²

.                                                aˣ⁺³ - 3aˣ⁺² +5aˣ⁺¹ --> ( aˣ⁺³ ÷ a² = aˣ⁺¹)

.                                              - aˣ⁺³ +3aˣ⁺² +5aˣ⁺¹

.                                                             0

b) Dividir x³ᵅ -17x³ᵅ¯² +x³ᵅ¯¹ +3x³ᵅ¯⁴ +2x³ᵅ¯³ -2x³ᵅ¯⁵ entre x²ᵅ¯¹ -2x²ᵅ¯³ -3x²ᵅ¯²

Ordenando los polinomios:

x³ᵅ +x³ᵅ¯¹ -17x³ᵅ¯² +2x³ᵅ¯³ +3x³ᵅ¯⁴ -2x³ᵅ¯⁵ entre x²ᵅ¯¹ -3x²ᵅ¯² -2x²ᵅ¯³

.                                   xᵅ⁺¹ +4xᵅ -3xᵅ¯¹ +xᵅ¯²                                         .

x²ᵅ¯¹ -3x²ᵅ¯² -2x²ᵅ¯³ | x³ᵅ +  x³ᵅ¯¹ -17x³ᵅ¯ ² +  2x³ᵅ¯³  +3x³ᵅ¯⁴ -2x³ᵅ¯⁵

.                                   -x³ᵅ +3x³ᵅ¯¹ +  2x³ᵅ¯²

.                                             4x³ᵅ¯¹ –15x³ᵅ¯² +  2x³ᵅ¯³

.                                            -4x³ᵅ¯¹ +12x³ᵅ¯² +  8x³ᵅ¯³

.                                                           - 3x³ᵅ¯² +10x³ᵅ¯³ +3x³ᵅ¯⁴

.                                                             3x³ᵅ¯²   - 9x³ᵅ¯³  -6x³ᵅ¯⁴

.                                                                               x³ᵅ¯³  -3x³ᵅ¯⁴ -2x³ᵅ¯⁵

.                                                                              -x³ᵅ¯³ +3x³ᵅ¯⁴ +2x³ᵅ¯⁵

.                                                                                                0

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Ejercicio 56.

Dividir:

1) aˣ⁺³ +aˣ entre a +1

> ordenando ascendentemente en relación a la letra a

= aˣ + aˣ⁺³ entre 1 +a

.         aˣ -aˣ⁺¹ aˣ⁺²              . --> Solución.

1 +a | aˣ                     +aˣ⁺³

.         -aˣ  -aˣ⁺¹

.                -aˣ⁺¹

.                 aˣ⁺¹ + aˣ⁺²

.                           aˣ⁺² +aˣ⁺³

.                          -aˣ⁺² - aˣ⁺³

.                                   0

2) xⁿ⁺² +3xⁿ⁺³ +xⁿ⁺⁴ -xⁿ⁺⁵ entre x² +x

> Ordenado el divisor ascendentemente:
xⁿ⁺² +3xⁿ⁺³ +xⁿ⁺⁴ -xⁿ⁺⁵ entre x + x²

.           xⁿ⁺¹ +2xⁿ⁺² -xⁿ⁺³             . → Solución.

x + x² | xⁿ⁺² +3xⁿ⁺³ + xⁿ⁺⁴  -xⁿ⁺⁵

.           -xⁿ⁺²  -  xⁿ⁺³

.                      2xⁿ⁺³ + xⁿ⁺⁴

.                     -2xⁿ⁺³ -2xⁿ⁺⁴

.                                  - xⁿ⁺⁴ -xⁿ⁺⁵

.                                    xⁿ⁺⁴ +xⁿ⁺⁵

.                                            0

3) mᵅ⁺⁴ -mᵅ⁺³ +6mᵅ⁺¹ -5mᵅ +3mᵅ¯¹ entre m² -2m +3

.                    mᵅ⁺² +mᵅ⁺¹ -mᵅ +mᵅ¯¹     → Solución         .

m² -2m +3 | mᵅ⁺⁴ -   mᵅ⁺³               +6mᵅ⁺¹ -5mᵅ +3mᵅ¯¹

.                    -mᵅ⁺⁴ +2mᵅ⁺³ - 3mᵅ⁺²

.                                   mᵅ⁺³ - 3mᵅ⁺² +6mᵅ⁺¹

.                                 - mᵅ⁺³ +2mᵅ⁺² –3mᵅ⁺¹

.                                               - mᵅ⁺² +3mᵅ⁺¹ -5mᵅ

.                                                 mᵅ⁺²  -2mᵅ⁺¹ +3mᵅ

.                                                               mᵅ⁺¹ - 2mᵅ +3mᵅ¯¹

.                                                              -mᵅ⁺¹ +2mᵅ –3mᵅ¯¹

.                                                                              0

10) a²ⁿb³ -a²ⁿ¯¹b⁴ +a a²ⁿ¯²b⁵ -2a²ⁿ¯⁴b⁷ +a²ⁿ¯⁵b⁸ entre aⁿb -aⁿ¯¹b² +2aⁿ¯²b³ -aⁿ¯³b⁴

.                                                   aⁿb² -aⁿ¯²b⁴    → Solución                                            .

.aⁿb -aⁿ¯¹b² +2aⁿ¯²b³ -aⁿ¯³b⁴ | a²ⁿb³ - a²ⁿ¯¹b⁴ + a²ⁿ¯²b⁵                 -2a²ⁿ¯⁴b⁷ +a²ⁿ¯⁵b⁸

.                                                   -a²ⁿb³ +a²ⁿ¯¹b⁴ -2a²ⁿ¯²b⁵ +a²ⁿ¯³b⁶

.                                                                               - a²ⁿ¯²b⁵ +a²ⁿ¯³b⁶ - 2a²ⁿ¯⁴b⁷ +a²ⁿ¯⁵b⁸

.                                                                                  a²ⁿ¯²b⁵ - a²ⁿ¯³b⁶ +2a²ⁿ¯⁴b⁷ -a²ⁿ¯⁵b⁸

.                                                                                                                 0

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Número de términos de una progresión geométrica por logaritmos.

Procedimiento:

1) Se forma una ecuación, sabiendo el valor de u, a y r.

2) Se aplica la fórmula para “n “ por logaritmos.

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Fórmula:  n =  [(log u + colog a) /log r] +1

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Ejemplo:

Cuántos términos tiene la progresión ÷÷2:6:……..:1458?

> Elementos:  a=2  ;  u= 1458  ;   r = 6÷2 = 3

> Aplicando la fórmula para  n:

n = [(log 1458 + Colog 2) / log 3] +1     (Ver aplicación de cologaritmo en "logaritmo")

n = [(3.163757 + ⁻1.698970) / 0.477121] +1

n = (2.862727 / 0.477121) +1

n = 6 + 1 =7   Solución.

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Ejercicio 302.

Hallar el número de términos de las progresiones:

2) ÷÷2:3:…….:²⁴³⁄₁₆

> Elementos:  u = ²⁴³⁄₁₆  ;  a = 2  ;  r = 3÷2 =  ³⁄₂

> Aplicando  la fórmula para  n:

n = [(log ²⁴³⁄₁₆ + Colog 2) / log ³⁄₂] +1

n = [(1.181486 + ⁻1.698970) / 0.176091] +1

n = (0.880456 / 0.176091) +1

n = 5 +1 = 6   Solución.

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4) ÷÷6:8:………:²⁰⁴⁸⁄₈₁

> Elementos:  u= ²⁰⁴⁸⁄₈₁  ¸ a = 6  ;  r = 8/6 = ⁴⁄₃

> Aplicando la fórmula:

n = [(Log ²⁰⁴⁸⁄₈₁ + Colog 6) / log ⁴⁄₃] +1

n = [(1.402845 + ⁻1.221849) / 0.124939] +1

n = (0.624694 / 0.124939) +1

n = 5 +1 = 6   Solución.

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