Cuando
la ecuación general de 2° grado es ax²+bx+c = 0:
1) Suma de
las raíces: es igual al coeficiente del segundo
término con el signo cambiado partido por el coeficiente del primer
término -b/a.
2) El
producto de las raíces: es igual al tercer término
de la ecuación con su propio signo partido por el coeficiente del
primer término c/a.
Cuando la
ecuación es de la forma x²+bx+c = 0:
Podemos decir
que: toda ecuación de 2° grado en que el coeficiente del primer
término es 1;
1) La suma
de sus raíces es igual al coeficiente del segundo
término con el signo cambiado.
2) El
producto de las raíces es igual al tercer término
con su propio signo.
Ahora bien, la
ecuación general de 2° grado (ax²+bx+c = 0)
puede cambiarse a la forma x²+bx+c = 0; dividiendo
todos sus términos entre el coeficiente del primer término. Y
proceder a encontrar la suma y el producto como si fuera de la forma
x²+bx+c = 0.
_________________________________________
Ejemplos:
a) Hallar
si 2 y -5 son raíces de la ecuación x²+3x-10 = 0
> Aplicando
las propiedades:
x₁+x₂ =
2+(-5) = 2-5 = -3 –> cambiando signo es = 3
x₁x₂ =
(2)(-5) = -10
–> 2
y -5 si son raíces de la ecuación x²+3x-10 = 0
b) Hallar
si -3 y –½ son raíces de la ecuación 2x²+7x+3 = 0
>
Convirtiendo la ecuación dada a la forma x²+bx+c = 0,
Dividiéndola
entre el coeficiente de x², que es 2:
x²+7/2x+3/2
= 0
> Aplicando
las propiedades de la suma y del producto:
x₁+x₂=
-3+(-½) =-3 – ½ = -7/2, Cambiando signo es = 7/2
x₁x₂ =
(-3)(-½) = 3/2
–> -3
y –½ si son raíces de la ecuación convertida.
c) Hallar
si 1 y -2/3 son raíces de 3x²+x-2 = 0
>
Convirtiendo la ecuación dada a la forma x²+bx+c = 0
Dividiéndola
entre el coeficiente de x², que es 3:
x²+1/3x –
2/3 = 0
> Aplicando
las propiedades de la suma y el producto:
x₁+x₂=
1+(-2/3) = 1 – 2/3 = 1/3, cambiando signo es
= -1/3 (Atención)
x₁x₂ =
(1)(-2/3) = – 2/3
Respuesta: 1
y -2/3 no son raíces de la ecuación dada, porque
-1/3
.
no es igual a (+1/3) de la ecuación convertida)
_________________________________________
Ejercicio
277.
Determinar por
las propiedades de las raíces, si
1) 2 y -3
son raíces de la ecuación x²+x-6 = 0
> Aplicando
las propiedades:
2+(-3) = 2-3 =
-1, cambiando signo = 1
(2)(-3) = -6
Solución:
sí, son las raíces de la ecuación.
__________________________________________________
2) 1 y 5
son raíces de x²-4x-5 = 0
> Aplicando
las propiedades:
1+5 = 6,
cambiando signo = -6
(1)(5) = 5
Solución:
no son las raíces de la ecuación.
_________________________________________________
3) 1 y -1/2
son raíces de 2x²-x-1 = 0
>
Convirtiendo la ecuación a la forma x²+bx+c = 0
2x²-x-1 ÷ 2
=
x²-1/2x-1/2 =
0
x²-1/2x-1/2
= 0
> Aplicando
las propiedades:
1+(-1/2) = 1
-1/2 = ½ , cambiando signo = – ½
(1)(-1/2) = –
½
Solución:
Sí, son las raíces de la ecuación convertida.
_________________________________________________
4) -3 y 1/3
son raíces de 3x²+8x-3 = 0
>
Convirtiendo la ecuación a la forma x²+bx+c = 0
3x²+8x-3 = 0
÷ 3 =
x²+8/3x-3/3 =
0
x²+8/3x-1
= 0
> Aplicando
las propiedades:
-3+1/3 = -8/3
, cambiando signo = 8/3
(-3)(1/3) = –
1
Solución:
sí, son las raíces de la ecuación convertida.
_________________________________________
