Procedimiento:
Se comprueba si
el trinomio es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada al
primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos términos se
multiplican por 2, y este producto se compara con el segundo término
del trinomio dado.
Si el 2º término
del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado
perfecto. Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio
cuadrado perfecto, de la siguiente manera:
Se le suma al 2º
término la diferencia que falta para que sea igual a producto
encontrado en la comprobación del trinomio; y además para que el
trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma diferencia a todo
el trinomio.
Por último se
encuentra el resultado como en una diferencia de cuadrados perfectos
(Caso IV).
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Ejemplo:
Factorar x⁴ +x²y² +y⁴
1º) Comprobar
si el trinomio es cuadrado perfecto:
raíz cuadrada de
x⁴ = x² ; Raíz cuadrada
de y⁴ = y²
el 2º término
debiera ser 2(x²)(y²) = 2x² y²
Comparando 2º
término (2x²y²) - (x²y²) = x²y² lo que le falta
2º)
Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto, sumando la
diferencia que falta al 2º término y restando la misma diferencia
al trinomio dado, así:
x₄ + x²y² + y⁴ (Trinomio original)
. + x²y² -
x²y² (sumando y restando lo que le hace falta)
________________
x⁴ +2x²y² +y⁴ -x²y² = (x⁴ +2x²y² +y⁴) -x²y² (resultado
de convertir el trinomio)
3º)
Factorando el trinomio cuadrado perfecto Caso III:
(x⁴ +2x²y² +y⁴) - x²y² = (x² + y²)² - x²y²
4º)
Factorando la diferencia de cuadrados Caso IV:
(x² + y²)² -
x²y² = (x² +y² +xy)(x²y² -xy)
Ordenado sería =
(x² +xy +y²)(x² -xy+y²) <-- Solución
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Ejercicio 96 del Libro.
1) Factorar
a⁴+a²+1 =
>
Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:
Raíz cuadrada de
a⁴ = a² ; raíz cuadrada de 1 = 1
El 2º término
debe ser: 2(a²)(1) = 2a²
>
Comparando los 2ºs términos: 2a² - a² = a² <--lo que falta.
>
Convirtiendo a cuadrado perfecto (sumando lo que falta al
2º término y restando la diferencia que falta al trinomio dado):
a⁴ + a² + 1
. + a² -a²
____________
a⁴ +2a² + 1
-a² = (a⁴ +2a² +1) - a²
>
Factorando el trinomio cuadrado perfecto como en el Caso III:
(a⁴ +2a² +1)
- a² = (a² +1)² - a²
> Factorando
como diferencia de cuadrados perfectos:
(a² +1)² - a² = (a² +1 +a)(a² +1 -a)
ordenado quedaría
así (a² +a+1)(a²-a+1) <--Solución
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2) Factorar
m⁴+m²n²+n^4
>>
Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:
Raíz² de m⁴ = m² ; raíz² de n⁴ = n²
--> el 2º
término debe ser: 2(m²)(n²) = 2m²n²
Comparando los
2ºs términos: 2m²n² - m²n² = m²n² <-- le falta
>>
Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:
m⁴ + m²n² + n⁴
. + m²n² -
m²n²
__________________
m⁴ +2m²n² + n⁴ - m²n² = (m⁴+2m²n²+n⁴) -m²n²
>>
Factorando el trinomio cuadrado perfecto como Caso III
(m⁴+2m²n²+n⁴)
- m²n² = (m² + n²)² - m²n²
>>
Factorando como Diferencia de Cuadrados ( Caso IV)
(m²+ n²)² -
m²n² = (m² +n² +mn)(m² +n² -mn)
ordenado quedaría
así : (m² +mn+n²)(m² -mn+n²) Solución
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3) Factorar
x⁸ +3x⁴ +4
>>
Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:
Raíz² de x⁸ =
x⁴ ; raíz² de 4 = 2
--> el 2º
término debería ser : 2(x⁴)(2) = 4x⁴
Comparando los
2ºs términos: 4x⁴ - 3x⁴ = x⁴ Es lo
que falta
>>
Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:
x⁸ +3x⁴ +4
. x⁴ +4 -x⁴
___________
x⁸ +4x⁴ +4 -x⁴ = (x⁸ +4x⁴ +4) -x⁴
>>
Factorando el trinomio cuadrado perfecto, como Caso III
(x⁸ +4x⁴ +4) - x⁴ = (x⁴ +2)² -
x⁴
>>
Factorando como diferencia de cuadrados perfectos, Caso IV
(x⁴ +2)² -x⁴ = (x⁴ +2 +x²)(x⁴ +2 -x²)
ordenando
quedaría así : (x⁴ +x² +2)(x⁴ -x² +2) Solución
_________________________________________
4) Factorar
a⁴ +2a² +9
>>
Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:
Raíz² de a⁴ =
a² ; raíz² de 9 = 3
--> el 2°
término sería: 2(a²)(3) = 6a²
--> comparando
los 2° términos : 6a² - 2a² = 4a² lo que falta
>>
Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:
a⁴ +2a² +9
. +4a² -4a²
____________
a⁴ +6a² +9
-4a² = (a⁴ +6a² +9) - 4a²
>>
Factorando el trinomio cuadrado perfecto, como Caso III
(a⁴ +6a² +9)
-4a² = (a² +3)² - 4a²
>>
Factorando como diferencia de cuadrados perfectos, Caso IV
(a² +3)² - 4a² = (a² +3 +2a)(a² +3 -2a)
ordenado quedaría
así: (a² +2a +3)(a² -2a +3) Solución
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17)
Factorar 25x⁴-139x²y²+81y⁴
>>
Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto
√25x⁴ = 5x²
√81y⁴ = 9y²
El 2° término
debe ser -2(5x²)(9y²) = -90x²y²
Comparando los
dos 2° términos:
-139x²y² (
trinomio original)
- 90x²y² (como debería ser)
- 49x²y² ( es lo que se pasa)
Entonces a la
ecuación original debemos quitarle +49x²y²
>>
Convirtiendo la expresión a trinomio cuadrado perfecto,
por adición y
sustracción, se hace así:
25x⁴ -139x²y² +81y⁴
. 49x²y² -49x²y²
25x⁴ - 90x²y² +81y⁴ -49x²y²
=
(25x⁴-90x²y²+81y⁴) - 49x²y²
>>
Factorando el trinomio cuadrado como (Caso III)
= (5x²-9y²)² -
(7xy)²
>>
Factorando toda la expresión como diferencia de cuadrados (Caso IV)
(5x²-9y²+7xy)(5x²-9y²-7xy)
>>
Ordenando los factores:
=
5x²+7xy-9y²)(5x²-7xy-9y²) <-- Solución.
