Las funciones son expresables por fórmulas o ecuaciones cuando se conoce la relación matemática que liga a la variable dependiente o función con las variables independientes.
En estos casos hay una ecuación que es la expresión analítica de la función y que la define.
Ejemplos: y = 2x+1, y = 2x², y = x³+2x-1 , son funciones expresadas por ecuaciones o fórmula.
2x+1 es una expresión de primer grado; 2x² , de segundo grado y x³+2x-1, de tercer grado.
Las expresiones anteriores son funciones de la variable "x" porque a cada valor de "x" corresponde un valor determinado de la función.
Veamos:
Si 2x+1 ->
Para x = 0, y = 2(0) +1 -> y = 1
Para x = 1, y = 2(1) +1 -> y = 3
Para x = 2, y = 2(2) +1 -> y = 5
Para x = -1, y = 2(-1) +1 -> y = -1
Para x = -2, y = 2(-2) +1 -> y = -3 . . .
Por tanto "x" es la variable independiente y "y" es la variable dependiente.
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Ejemplos prácticos:
a) El costo de una pieza de tela es proporcional al número de metros. Determinar la fórmula de la función costo, sabiendo que una pieza de 10 metros cuesta $30. Designando por "x" la variable independiente número de metros y por "y" la función costo, tendremos, por ser "y" proporcional a "x": que y = kx. (1)
Hallar la constante "k", sustituyendo en y = kx. el valor de x y y:
y = kx -> 30 = k(10) -> k = 30/10 -> k = 3
Sustituimos el valor de la constante 3 en y = kx. (1) , para tener expresada la función costo con la ecuación y = 3x.
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b) El área de una cuadrado es proporcional al cuadrado de su diagonal. Hallar la fórmula del área de un cuadrado en función de la diagonal, sabiendo que el área de un cuadrado cuya diagonal mide 8m es 32m².
Designando por A el área y por D la diagonal, tenemos A = kD²
Hallando k:
A= kD² -> 32 = k(8)² -> 32 = k(64) -> k = 32/64 -> k = 1/2
Sustituyendo el valor de la constante en la fórmula;
A= kD² -> A = 1/2D²
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c) La altura de una pirámide es proporcional al volumen si el área de la base es constante y es inversamente proporcional al área de la base si el volumen es constante.
Determinar la fórmula de la altura de una pirámide en función del volumen y el área de la base, sabiendo que una pirámide cuya altura es 15m y el área de su base 16m² tiene un volumen de 80 m3.
Designando la altura por "h", el volumen por V y el área de la base por B, se tiene que h = kV/B
Encontrando el valor de la constante:
Si h = kV/B , sustituyendo los valores de "h", "V" y "B"
15 = k80/16 -> 15(16) = k80 -> 240/80 = k -> k = 3
Entonces la fórmula de una pirámide en función del volumen y el área de su base es: h = 3V / B.
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Ejercicio 167.
Escribir o expresar la fórmula o ecuación correspondiente a lo planteado en cada uno de los siguientes incisos.
1) Si A es proporcional a B y A = 10 cuando B = 5, escribir la fórmula que las relaciona.
A = kB, -> 10 = k(5) -> k = 10/5 -> k = 2 Constante.
Por tanto; La fórmula es A = 2B
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2) El espacio recorrido por un móvil (mov. uniforme) es proporcional al producto de la velocidad por el tiempo. Escriba la fórmula que expresa el espacio "e" en función de la velocidad "v" y el tiempo "t#. Siendo k = 1.
e = vt , y si k = 1 ->
la fórmula sería e = 1vt -> e = vt. (Cuando la contante es uno).
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3) El área de un rombo es proporcional al producto de sus diagonales. Escribir la fórmula del área A de un rombo en función de sus diagonales D y D₁ sabiendo que cuando D = 8 y D₁ = 6 el área es 24 cm2.
Encontrando la constante k en A = DD₁ ->
A = kDD₁ -> 24 = k(8)(6) -> 24 = k48 -> k = 24/48 -> k = 1/2
-> la fórmula sería A = 1/2 DD₁.
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4) Sabiendo que A es proporcional a B e inversamente proporcional a C, escribir la fórmula de A en función de B y C. (siendo k = 3)
Si A = B y A = 1/C y k = 3
-> la fórmula sería A = 3B/C
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5 ) La longitud C de una circunferencia es proporcional al radio "r". Una circunferencia de 21 cm de radio tiene una longitud de 132cm. Hallar la fórmula que exprese la longitud de la circunferencia en función del radio.
C = r, -> C = kr -> 132 = k21 -> k = 132/21 -> k = 44/7
-> la fórmula sería C = 44/7 r y C ≡ 2(3.142)r -> C = 2πr
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6) Es espacio recorrido por un cuerpo que cae desde cierta altura es proporcional al cuadrado del tiempo que emplea en caer. Escribir la fórmula del espacio "e" en función del tiempo "t" sabiendo que un cuerpo que cae desde una altura de 19.6m emplea en su caída 2 segundos.
Hallar la constante "k". Si e = t² -> e = kt²,
-> e = kt² -> 19.6 = k(2)² -> k = 19.6 /4 -> k = 4.9
La fórmula sería e = kt² -> e = 4/9 t²
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7) La fuerza centrífuga F es proporcional al producto de la masa "m" por el cuadrado de la velocidad "v" de un cuerpo si el radio "r" del círculo que describe es constante y es inversamente proporcional al radio si la masa y la velocidad son constantes. Expresa esta relación por medio de una fórmula.
F = mv² y f = 1/r -> F = mv² /r
La fórmula sería F = k mv²/r
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8) Escribir la fórmula de una función y sabiendo que para cada valor de la variable independiente x corresponde un valor de la función que es el duplo del valor de x aumentado en 3.
Variable dependiente = y ; valor de la variable independiente x de la función = 2x+3
-> la fórmula sería y = 2x+3.
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9) El lado de un cuadrado inscrito en un círculo es proporcional al radio del círculo. Expresa la fórmula del lado del cuadrado inscrito en función del radio. (siendo k = √2)
Como la constante en este caso siempre será √2 ,
entonces la fórmula sería l = r√2
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10) Escribir la fórmula de una función y sabiendo que para cada valor de la variable independiente "x" corresponde un valor de la función que es igual a la mitad del cuadrado del valor de "x", más 2.
vi = y , función x²/2 +2 ->
La fórmula sería y = x²/2 +2
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11) Escribir la ecuación de una función y sabiendo que para cada valor de "x" corresponde un valor "y" que es igual a la diferencia entre 5 y el duplo de "x", divida esta diferencia entre 3.
Valor dependiente : y , función 5-2x /3
-> La ecuación o fórmula es y = 5-2x /3.
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12) La fuerza de atracción entre dos cuerpos es proporcional al producto de las masas de los cuerpos "m" y "m₁" si la distancia es constante y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia si las masas no varían. Expresar esta relación por medio de una fórmula.
Proporcional F = kmm₁ , constante en la distancia,
inversamente proporcional : F = 1/d² ; constante en las masas.
-> L fórmula sería F = kmm₁ /d²
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13) La altura de un triángulo es proporcional al área del triángulo si la base es constante. Escribir la fórmula de la altura de un triángulo en función del área y de su base, sabiendo que cuando la base es 4cm y la altura 10 cm el área del triángulo es 20 cm2.
Si A = bh -> A = kbh
Hallando el valor de la constante:
20 = k(4)(10) -> 20 = k(40) -> k = 20/40 -> k = 1/2
-> Si A = kbh -> A = 1/2 bh -> 2A = bh -> 2A/b = h
La fórmula sería h = 2A/b
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14) La energía cinética de un cuerpo W es proporcional al producto de la masa "m" por el cuadrado de la velocidad "v". Expresar la fórmula de la energía cinética . (k = 1/2)
W = mv² ->
La fórmula es W = kmv²
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15) El área de la base de una pirámide es proporcional al volumen si la altura es constante. Escribir la fórmula del área de la base B de una pirámide en función del volumen V y de la altura "h" sabiendo que cuando h = 12 y B = 100, V = 400.
B = V/h
-> B = kV/h -> 100 = k400/12 -> 1200 = k(400) -> k = 1200/400 -> k = 3
-> La fórmula es B = 3V /h
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16) "x" es inversamente proporcional a "y", si x = 2 cuando y = 5. Hallar la fórmula de "x" en función de "y".
x = 1/y -> x = k/y, por tanto, 2 = k/5 -> 2(5) = k -> k = 10
La fórmula sería x = 10/y
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17) "x" es inversamente proporcional al cuadrado de "y". Si x = 3 cuando y = 2, hallar la fórmula de "x" en función de "y".
x = 1/y² -> x = k/y², por tanto, 3 = k/2² -> 3 = k /4 -> k = 4(3) -> k = 12
La fórmula es x = 12/y².
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18) A es proporcional a B e inversamente proporcional a C. Cuando B = 24 y C = 4, A = 3. Hallar la fórmula que exprese A en función de B y C.
A = B ; A = 1/C -> A = B/C
-> A = kB/C -> 3 = k 24/4 -> 3 = k6 -> k = 3/6 -> k = 1/2
-> La fórmula es A = 1/2 B/C -> A = B/2C.
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