Ejemplo.
Un comerciante emplea Q64 en comprar lapiceros a Q3 cada uno y plumas fuentes a Q5 cada una. ¿Cuántos lapiceros y cuántas plumas fuentes puede comprar?
Datos:
Lapiceros: x ; plumas fuentes: y ; Compra Q64.
3x + 5y = 64 ⇒ x = 64-5y /3
Si y = 2 ⇒ x = 64-5(2) /3 = 64-10 /2 = 54/3 ⇒ x = 18
Si y = 5 ⇒ x = 64-5(5) /3 = 64-25 /2 = 39/3 ⇒ x = 13
Si y = 8 ⇒ x = 64-5(8) /3 = 64-40 /2 = 24/3 ⇒ x = 8
Si y = 11 ⇒ x = 64-5(11) /3 = 64-55 /2 = 9/3 ⇒ x = 3
Nota: los demás valores para y no dan valores enteros y/o positivos para x.
Solución: por Q64 puede comprar:
18 lapiceros y 2 plumas fuentes,
13 lapiceros y 5 plumas fuentes,
8 lapiceros y 8 plumas fuentes,
3 lapiceros y 11 plumas fuentes.
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Ejercicio 174.
1) ¿De cuántos modos se pueden tener $42 en billetes de $2 y de $5?
Datos:
Billetes de $2 : x ; billetes de $5: y ; Valor total $42.
2x + 5y = 42 ⇒ x = 42-5y / 2
Si y = 2 ⇒ x = 42-5(2) /2 = 42-10 /2 = 32/2 ⇒ x = 16
Si y = 4 ⇒ x = 42-5(4) /2 = 42-20 /2 = 22/2 ⇒ x = 11
Si y = 6 ⇒ x = 42-5(6) /2 = 42-30 /2 = 12/2 ⇒ x = 6
Si y = 8 ⇒ x = 42-5(8) /2 = 42-40 /2 = 2/2 ⇒ x = 1
Solución: Los modos que se pueden tener son:
1 billete de $2 y 8 billetes de $5,
6 billete de $2 y 6 billetes de $5,
11 billete de $2 y 4 billetes de $5,
16 billete de $2 y 2 billetes de $5.
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2) ¿De cuántos modos se pueden pagar $45 en monedas de $5 y de $10?
Datos:
Monedas de 5: x ; monedas de $10: y ; Total a pagar $45
5x + 10y = 45 ⇒ x = 45-10y / 5
Si y = 1 ⇒ x = 45-10(1) /5 = 45-10 /5 = 35/5 ⇒ x = 7
Si y = 2 ⇒ x = 45-10(2) /5 = 45-20 /5 = 25/5 ⇒ x = 5
Si y = 3⇒ x = 45-10(3) /5 = 45-30 /5 = 15/5 ⇒ x = 3
Si y = 4 ⇒ x = 45-10(4) /5 = 45-40 /5 = 5/5 ⇒ x = 1.
Solución: Se puede pagar de los modos siguientes:
1 moneda de $5 y 4 monedas de $10,
3 monedas de $5 y 3 monedas de $10,
5 moneda de $5 y 2 monedas de $10,
7 moneda de $5 y 1 monedas de $10.
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3) Hallar dos números tales que si uno se multiplica por 5 y el otro por 3, la suma de sus productos sea 62.
Datos:
1° número por 5: 5x ; 2° número por 3: 3y ; Suma de productos 62.
5x + 3y = 62 ⇒ x = 62-3y / 5
Si y = 4 ⇒ x = 62-3(4) /5 = 62-12 /5 = 50/5 ⇒ x = 10
Si y = 9 ⇒ x = 62-3(9) /5 = 62-27 /5 = 35/5 ⇒ x = 7
Si y = 14 ⇒ x = 62-3(14) /5 = 62-42 /5 = 20/5 ⇒ x = 4
Si y = 19 ⇒ x = 62-3(19) /5 = 62-57 /5 = 5/5 ⇒ x = 1
Solución: los números son:
1 y 19 ; 4 y 14 ; 7 y 9 ; 10 y 4.
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4) Un hombre pagó 340 bs por sombreros a 8 bs cada uno y pares de zapatos a 15 bs cada uno. ¿Cuántos sombreros y cuántos pares de zapatos compró?
Datos:
Sombreros a 8bs c/u: 8x ; pares de zapatos a 15bs c/u: 15y ; Pago total 3340 bs.
8x + 15y = 340 ⇒ x = 340-15y /8
Si y = 4 ⇒ x = 340-15(4) / 8 = 340-60 /8 = 280/8 ⇒ x = 35
Si y = 12 ⇒ x = 340-15(12) / 8 = 340-180 /8 = 160/8 ⇒ x = 20
Si y = 20 ⇒ x = 340-15(20) / 8 = 340-300 /8 = 40/8 ⇒ x = 5
Solución: El hombre compró:
5 sombreros y 20 pares de zapatos,
20 sombreros y 12 pares de zapatos,
35 sombreros y 4 pares de zapatos.
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5) Un hombre pagó $42 por tela de lana a $1.50 el metro y de seda a $2.50 el metro. ¿Cuántos metros de lana y cuántos de seda compró?
Datos:
Tela de lana: x a $1.50: 1.5x ; tela de seda: y a $2.50: 2.5y ; Pago total $42.
1.5x + 2.5y = 42 ⇒ x = 42-2.5y / 1.5
Si y = 3 ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5 ⇒ x = 23
Si y = 6 ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5 ⇒ x = 18
Si y = 9 ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5 ⇒ x = 13
Si y = 12 ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5 ⇒ x = 8
Si y = 15 ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5 ⇒ x = 3
Solución: El hombre pudo comprar la tela así:
3 m de lana y 15 m de seda,
8 m de lana y 12 m de seda,
13 m de lana y 19 m de seda,
18 m de lana y 6 m de seda,
23 m de lana y 3 m de seda.
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6) En una excursión cada niño pagaba 45 cts. y cada adulto $1. Si el gasto total fue de $17, ¿cuántos adultos y cuantos niños iban?
Datos:
Niño: x, pago por cada uno $0.45: 0.45x
Adulto: y, pago por cada uno $1: 1y ;
Total pagado $17
0.45x + y = 17 ⇒ x = 17-y /0.45
Si y = 8 ⇒ x = 17-(8) /0.45 = 9/0.45 ⇒ x = 20
Solución: Pueden ir a la excursión:
20 niños y 8 adultos.
(Solo existe este modo que el valor de "x" y "y" sean enteros y positivos ≠0)
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