Problemas sobre ecuaciones indeterminadas.

 Ejemplo.

Un comerciante emplea Q64 en comprar lapiceros a Q3 cada uno y plumas fuentes a Q5 cada una.  ¿Cuántos lapiceros y cuántas plumas fuentes puede comprar?

Datos:

Lapiceros: x  ;  plumas fuentes: y  ;  Compra Q64.

3x + 5y = 64  ⇒  x = 64-5y /3

Si y = 2 ⇒ x = 64-5(2) /3 = 64-10 /2 = 54/3 ⇒ x = 18 

Si y = 5 ⇒ x = 64-5(5) /3 = 64-25 /2 = 39/3 ⇒ x = 13

Si y = 8 ⇒ x = 64-5(8) /3 = 64-40 /2 = 24/3 ⇒ x = 8

Si y = 11 ⇒ x = 64-5(11) /3 = 64-55 /2 = 9/3 ⇒ x = 3

Nota: los demás valores para y no dan valores enteros y/o positivos para x.   

Solución: por Q64 puede comprar:

18 lapiceros y 2 plumas fuentes,

13 lapiceros y 5 plumas fuentes,

8 lapiceros y 8 plumas fuentes, 

3 lapiceros y 11 plumas fuentes.

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Ejercicio 174.

1) ¿De cuántos modos se pueden tener $42 en billetes de $2 y de $5?

Datos:

Billetes de $2 : x  ;  billetes de $5:  y  ; Valor total $42.

2x + 5y = 42  ⇒   x = 42-5y / 2

Si y = 2 ⇒ x = 42-5(2) /2 = 42-10 /2 = 32/2 ⇒ x = 16

Si y = 4 ⇒ x = 42-5(4) /2 = 42-20 /2 = 22/2 ⇒ x = 11

Si y = 6 ⇒ x = 42-5(6) /2 = 42-30 /2 = 12/2 ⇒ x = 6

Si y = 8 ⇒ x = 42-5(8) /2 = 42-40 /2 = 2/2 ⇒ x = 1

Solución: Los modos que se pueden tener son:

1 billete de $2  y  8 billetes de $5,

6 billete de $2  y  6 billetes de $5,

11 billete de $2  y  4 billetes de $5,

16 billete de $2  y  2 billetes de $5.

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2) ¿De cuántos modos se pueden pagar $45 en monedas de $5 y de $10?

Datos:

Monedas de 5: x  ;  monedas de $10: y  ;  Total a pagar $45

5x + 10y = 45  ⇒  x = 45-10y / 5

Si y = 1 ⇒  x = 45-10(1) /5 = 45-10 /5 = 35/5  ⇒ x = 7

Si y = 2 ⇒  x = 45-10(2) /5 = 45-20 /5 = 25/5  ⇒ x = 5

Si y = 3⇒  x = 45-10(3) /5 = 45-30 /5 = 15/5  ⇒ x = 3

Si y = 4 ⇒  x = 45-10(4) /5 = 45-40 /5 = 5/5  ⇒ x = 1.

Solución: Se puede pagar de los modos siguientes:

1 moneda de $5   y  4 monedas de $10,

3 monedas de $5   y  3 monedas de $10,

5 moneda de $5   y  2 monedas de $10,

7 moneda de $5   y  1 monedas de $10.

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3) Hallar dos números tales que si uno se multiplica por 5 y el otro por 3, la suma de sus productos sea 62.

Datos:

1° número por 5: 5x  ;  2° número por 3: 3y  ;  Suma de productos 62.

5x + 3y = 62  ⇒  x = 62-3y / 5

Si y = 4 ⇒  x = 62-3(4) /5 = 62-12 /5 = 50/5  ⇒ x = 10

Si y = 9 ⇒  x = 62-3(9) /5 = 62-27 /5 = 35/5  ⇒ x = 7

Si y = 14 ⇒  x = 62-3(14) /5 = 62-42 /5 = 20/5  ⇒ x = 4

Si y = 19 ⇒  x = 62-3(19) /5 = 62-57 /5 = 5/5  ⇒ x = 1

Solución: los números son:

1 y 19  ;  4 y 14  ;  7 y 9  ;  10 y 4.

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4) Un hombre pagó 340 bs por sombreros a 8 bs cada uno y pares de zapatos a 15 bs cada uno.  ¿Cuántos sombreros y cuántos pares de zapatos compró?

Datos:

Sombreros a 8bs c/u: 8x  ;  pares de zapatos a 15bs c/u: 15y  ;  Pago total 3340 bs.

8x + 15y = 340  ⇒  x = 340-15y /8

Si y = 4   ⇒  x = 340-15(4) / 8 = 340-60 /8 = 280/8  ⇒ x = 35

Si y = 12   ⇒  x = 340-15(12) / 8 = 340-180 /8 = 160/8  ⇒ x = 20

Si y = 20   ⇒  x = 340-15(20) / 8 = 340-300 /8 = 40/8  ⇒ x = 5

Solución:  El hombre compró:

5 sombreros y 20 pares de zapatos,

20 sombreros y 12 pares de zapatos,

35 sombreros y 4 pares de zapatos.

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5) Un hombre pagó $42 por tela de lana a $1.50 el metro y de seda a $2.50 el metro. ¿Cuántos metros de lana y cuántos de seda compró?

Datos:

Tela de lana: x a $1.50: 1.5x   ;  tela de seda: y a $2.50: 2.5y  ;  Pago total $42.

1.5x + 2.5y = 42  ⇒  x = 42-2.5y / 1.5

Si y = 3   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 23

Si y = 6   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 18

Si y = 9   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 13

Si y = 12   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 8

Si y = 15   ⇒ x = 42-2.5(3) /1.5 = 42-7.5 /1.5 = 34.5/1.5   ⇒ x = 3

Solución: El hombre pudo comprar la tela así:

3 m de lana  y  15 m de seda,

8 m de lana  y  12 m de seda,

13 m de lana  y  19 m de seda,

18 m de lana  y  6 m de seda,

23 m de lana  y  3 m de seda.

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6) En una excursión cada niño pagaba 45 cts. y cada adulto $1.  Si el gasto total fue de $17, ¿cuántos adultos y cuantos niños iban?

Datos:

Niño: x,  pago por cada uno $0.45: 0.45x

Adulto: y,  pago por cada uno $1: 1y  ;  

Total pagado $17

0.45x + y = 17  ⇒  x = 17-y /0.45

Si y = 8  ⇒  x = 17-(8) /0.45 = 9/0.45  ⇒ x = 20

Solución: Pueden ir a la excursión:

20 niños y 8 adultos.

(Solo existe este modo que el valor de "x" y "y" sean enteros y positivos ≠0) 

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