Raíz cuadrada de polinomios con términos fraccionarios, usando la forma de exponentes negativos.

Cuando los polinomios tienen términos fraccionarios y en su denominador hay variables con exponente; es necesario trasladar esas variables al numerador, para tener solamente términos enteros.  Esto con el fin de facilitar la extracción de la raíz cuadrada de dicho polinomio.

Para ello las variables elevadas a un exponente positivo se debe trasladar con su mismo coeficiente y exponente, pero con el signo del exponente cambiado; igual si las variables están elevadas a un término con exponente negativo se deben trasladar con su mismo coeficiente y variable, pero con el signo del exponente cambiado. 

________________________________________

Veamos unos ejemplos:

Hallar la raíz cuadrada de: 

Trasladando los términos con exponentes en los denominadores, a efecto de extraer la raíz cuadrada al polinomio, ya con términos enteros.

Polinomio ya expresado con términos enteros, se simplifica si es necesario, y se procede a extraerle la raíz cuadrada de:

4a²x⁻² -8ax⁻¹ +16 -12a⁻¹x +9a⁻²x²

Extrayendo la raíz cuadrada de:

.                                                         .

√ 4a²x⁻² -8ax⁻¹ +16 -12a⁻¹x +9a⁻²x²  | 2ax⁻¹ -2 +3a⁻¹x .  Solución.

. -4a²x⁻²                                              | √4a²x⁻² = 2ax⁻¹ ⇒ (2ax⁻¹)(2ax⁻¹) = 4a²x⁻²

.             -8ax⁻¹ +16                            | -8ax⁻¹ ÷ 2(2ax⁻¹) = -8ax⁻¹ ÷ 4ax⁻¹) = -2

.              8ax⁻¹   - 4                            | [2(2ax⁻¹)-2](-2) = (4ax⁻¹-2)(-2) = -8ax⁻¹+4

.                          12 -12a⁻¹x +9a⁻²x²  | 2(2ax⁻¹ -2) = 4ax⁻¹ +4 ⇒ 12÷4ax⁻¹ = 3a⁻¹x

.                         -12 +12a⁻¹x -9a⁻²x²  | (4ax⁻¹-4+3a⁻¹x)(3a⁻¹x) = 12-12a⁻¹x+9a⁻²x²

.                                     0                   |

_________________________________________

Ejercicio 230.

Extraer la raíz cuadrada de los polinomios siguientes pasando los factores literales de los denominadores a los numeradores.

1) a²/x² -2x/3a + 1/9 -2a/3x +x²/a²

= a²x⁻² -2/3 a⁻¹x +19/9 -2/3 ax⁻¹ +a⁻²x²

= a²x⁻²- 2/3 ax⁻¹ +19/9 -2/3 a⁻¹x +a⁻²x²  (ordenado)

.                                                            .

√ a²x⁻²- 2/3 ax⁻¹ +1/9 -2/3 a⁻¹x +a⁻²x²  | ax⁻¹ -1/3 +a⁻¹x   Solución.

. -a²x⁻²                                                   | √a²x⁻² = ax⁻¹  ⇒ (ax⁻¹)(ax⁻¹) = a²x⁻²

.          - 2/3 ax⁻¹ +19/9                          | -2/3 ax⁻¹ ÷ 2(ax⁻¹)= -2/3 ax⁻¹ ÷2ax⁻¹ = -1/3

.            2/3 ax⁻¹  -  1/9                          | (2ax⁻¹ -1/3)(-1/3) = -2/3ax⁻¹ +1/9

.                               2  -2/3 a⁻¹x +a⁻²x² | 2(ax⁻¹ -1/3) = 2ax⁻¹ -2/3 ⇒ 2 ÷ 2ax⁻¹ = a⁻¹x

.                              -2 +2/3 a⁻¹x -a⁻²x²  | (2ax⁻¹ -2/3 +a⁻¹x)(a⁻¹x) = 2 -2/3a⁻¹x +a⁻²x²

.                                              0             |

_________________________________________

2)  x² -4 +2/x +4/x²- 4/x³ +1/x⁴

= x² -4 +2x⁻¹ +4x⁻² -4x⁻³ +x⁻⁴

.                                             .

√ x² -4 +2x⁻¹ +4x⁻² -4x⁻³ +x⁻⁴  | x -2x⁻¹ +x⁻²   Solución.

. -x²                                          | √x² = x  ⇒ (x)(x) = x²

.      -4 +2x⁻¹  +4x⁻²                  | -4 ÷ 2(x) = -4 ÷ 2x = 2x⁻¹

.       4            - 4x⁻²                  | (2x +2x⁻¹)(2x⁻¹) = 4 +4x⁻²      

.            2x⁻¹            -4x⁻³ +x⁻⁴  | 2(x -2x⁻¹) = 2x -4x⁻¹ ⇒ 2x⁻¹ ÷ 2x = x⁻²

.          - 2x⁻¹           +4x⁻³ - x⁻⁴  | (2x -4x⁻¹ +x⁻²)(x⁻²) = 2x⁻¹ -4x⁻³ +x⁻⁴

.                          0                  |

__________________________________________

3) a⁴ -10a +4 +25/a² -20/a³ +4/a⁴

= a⁴ -10a +4 +25⁻² -20a⁻³ +4a⁻⁴

.                                                   .

√ a⁴ -10a +4 +25⁻² -20a⁻³ +4a⁻⁴   |  a² -5a⁻¹ +2a⁻²  Solución.

. -a⁴                                              | √a⁴ = a²  ⇒ (a²)(a²) = a⁴

.      -10a +4 +25⁻²                       | -10a ÷ 2(a²) = -10a ÷ 2a² = -5a⁻¹

.        10a     -25a⁻²                       | (2a²-5a⁻¹)(-5a⁻¹) = -10a +25a⁻²

.                4            -20a⁻³ +4a⁻⁴  | 2(a² -5a⁻¹)= 2a² -10a⁻¹ ⇒ 4 ÷ 2a² = 2a⁻²

.               -4             20a⁻³ - 4a⁻⁴  | (2a² -10a⁻¹ +2a⁻²)(2a⁻²) = 4 -20a⁻³ +4a⁻⁴

.                                0                 |

___________________________________________

4) m⁴/4 -5m² +28 -30/m² +9/m⁴

= 1/4 m⁴ -5m² +28 -30m⁻² +9m⁻⁴

.                                                   .

√ 1/4 m⁴ -5m² +28 -30m⁻² +9m⁻⁴  |  1/2m² -5 +3m⁻²  Solución.

. -1/4 m⁴                                         | √1/4m⁴ = 1/2m²  ⇒ (1/2m²)(1/2m²) = 1/4m⁴

.             -5m² +28                          | -5m² ÷ 2(1/2m²) = -5m² ÷ m² = -5

.              5m²  - 25                         | (m²-5)(-5) = -5m² +25

.                           3 -30m⁻² +9m⁻⁴  | 2(1/2m²-5) =  m²-10 ⇒ 3 ÷ m² = 3m⁻²

.                         - 3 +30m⁻² -9m⁻⁴  | (m²-10+3m⁻²)(3m⁻²) = 3-30m⁻² +9m⁻⁴

.                                       0             |

___________________________________________

5) 4x²/25y² +1 7/12 -5y/3x -2x/5y +25y²/9x²

= 4/25x²y⁻² -2/5xy⁻¹ +19/12 -5/3x⁻¹y +25/9x⁻²y² 

.                                                                             .

√ 4/25x²y⁻²-2/5xy⁻¹+19/12 -5/3x⁻¹y+25/9x⁻²y² | 2/5xy⁻¹ -1/2 +5/3x⁻¹y  Solución.

. -4/25x²y⁻²                                                        | √4/25x²y⁻²=2/5xy⁻¹ ⇒(2/5xy⁻¹)(2/5xy⁻¹)=4/25x²y⁻²

.                 -2/5xy⁻¹+19/12                                | -2/5xy⁻¹ ÷2(2/5xy⁻¹)=-2/5xy⁻¹ ÷(4/5xy⁻¹)= -1/2

.                  2/5xy⁻¹ -  1/4                                  | (4/5xy⁻¹ -1/2)(-1/2) = -2/5xy⁻¹ +1/4

.                                   4/3 -5/3x⁻¹y+25/9x⁻²y²  | 2(2/5xy⁻¹-1/2)=4/5xy⁻¹-1 ⇒-4/3 ÷4/5xy⁻¹=5/3x⁻¹y

.                                  -4/3+5/3x⁻¹y-25/9x⁻²y²   | (4/5xy⁻¹-1+5/3x⁻¹y)(5/3x⁻¹y)=4/3-5/3x⁻¹y+25/9x⁻²y²

.                                                       0                |

___________________________________________

6)  a⁴/9+2a³/3x+a²/x²-2ax/3-2+x²/a²

= 1/9 a⁴ +2/3 a³x⁻¹ +a²x⁻² -2/3 ax -2 +x²a⁻²

.                                                                             .

√ 1/9 a⁴ +2/3 a³x⁻¹ +a²x⁻² -2/3 ax -2 +x²a⁻² | 1/3a² +ax⁻¹ -a⁻¹x  Solución.

. -1/9 a⁴                                                        | √1/9 a⁴=1/3a² ⇒(1/3a²)(1/3a²)= 1/9 a⁴

.              2/3 a³x⁻¹ +a²x⁻²                             |  2/3 a³x⁻¹ ÷ 2(1/3a²) = 2/3 a³x⁻¹ ÷ 2/3a² = ax⁻¹ 

.             -2/3 a³x⁻¹ - a²x⁻²                             | (2/3a²+ax⁻¹)(ax⁻¹) = 2/3a³x⁻¹  +a²x⁻²

.                                       -2/3 ax - 2 +x²a⁻²  | 2(1/3a² +ax⁻¹)=2/3a² +2ax⁻¹ ⇒  -2/3ax÷2/3a² = -a⁻¹x

.                                        2/3 ax +2 - x²a⁻²  | (2/3a² +2ax⁻¹-a⁻¹x)(-a⁻¹x) = -2/3ax -2 +a²x⁻² 

.                                                        0          |

___________________________________________

7) 9m⁴ + 30m² +55 +50/m² +25/m⁴

= 9m⁴ + 30m² +55 +50m⁻² +25m⁻⁴

.                                                        .

√  9m⁴ + 30m² +55 +50m⁻² +25m⁻⁴ | 3m²+5+5m⁻²  Solución.

.  -9m⁴                                               | √9m⁴ = 3m² ⇒(3m²)(3m²)= 9m⁴

.             30m² +55                            | 30m² ÷ 2(3m²) = 30m² ÷ 6m² = 5

.            -30m² -25                             | (6m² +5)(5) = 30 m² +25

.                        30 +50m⁻² +25m⁻⁴   | 2(3m²+5) = 6m²+10 ⇒ 30 ÷ 6m² = 5m⁻²

.                       -30 - 50m⁻² - 25m⁻⁴   | (6m²+10 +5m⁻²)(5m⁻²) = 30 +50m⁻² +25m⁻⁴

.                                        0               |

___________________________________________

8) 4a²b²/49x²y² -2ab/7xy +21/20 -7xy/5ab +49x²y²/25a²b²

= 4/49a²b²x⁻²y⁻²  -2/7abx⁻¹y⁻¹ +21/2 -7/5a⁻¹b⁻¹xy +49/25a⁻²b⁻²x²y²

.                                                                             .                                                                 Solución.

√ 4/49a²b²x⁻²y⁻²  -2/7abx⁻¹y⁻¹ +21/2 -7/5a⁻¹b⁻¹xy +49/25a⁻²b⁻²x²y² | 2/7abx⁻¹y⁻¹-1/2+7/5a⁻¹b⁻¹xy 

. -4/49a²b²x⁻²y⁻²                                                                                 | √4/49a²b²x⁻²y⁻² = 2/7abx⁻¹y⁻¹ ⇒

.                           -2/7abx⁻¹y⁻¹ +21/2                                                 | (2/7abx⁻¹y⁻¹)(2/7abx⁻¹y⁻¹) = 

.                            2/7abx⁻¹y⁻¹ -   1/4                                                 | 4/49a²b²x⁻²y⁻² 

.                                                   4/5 -7/5a⁻¹b⁻¹xy +49/25a⁻²b⁻²x²y²  | -2/7abx⁻¹y⁻¹ ÷ 2(2/7abx⁻¹y⁻¹) =

.                                                  -4/5 +7/5a⁻¹b⁻¹xy -49/25a⁻²b⁻²x²y²  | -2/7abx⁻¹y⁻¹ ÷ 4/7abx⁻¹y⁻¹)= -1/2

.                                                                             0                            | (4/7abx⁻¹y⁻¹) -1/2)(-1/2) =

.                                                                                                           | -2/7abx⁻¹y⁻¹ +1/4 

.                                                                                                           |2(2/7abx⁻¹y⁻¹-1/2)=4/7abx⁻¹y⁻¹-1

.                                                                                                           | ⇒ 4/5÷4/7abx⁻¹y⁻¹-1=7/5a⁻¹b⁻¹xy

.                                                                                          |(4/7abx⁻¹y⁻¹ -1 +7/5a⁻¹b⁻¹xy)|(7/5a⁻¹b⁻¹xy) =

.                                                                                          | 4/5 -7/5a⁻¹b⁻¹xy +49/25a⁻²b⁻²x²y²                .

_____________________________________________

9) a/ b²/³ - 4a¹/² /b¹/³ +6 -4b¹/³ /a¹/² +b²/³ /a

= ab⁻²/³ -4a¹/²b⁻¹/³ +6 -4a⁻¹/²b¹/³ +a⁻¹b²/³

.                                                                 .                                                                 

√ ab⁻²/³ -4a¹/²b⁻¹/³ +6 -4a⁻¹/²b¹/³ +a⁻¹b²/³   | a¹/²b⁻¹/³ -2 +a⁻¹/²b¹/³ Solución.

. -ab⁻²/³                                                      | √ab⁻²/³= a¹/²b⁻¹/³ ⇒ (a¹/²b⁻¹/³)(a¹/²b⁻¹/³) = ab⁻²/³

.            -4a¹/²b⁻¹/³ +6                                | -4a¹/²b⁻¹/³ ÷ 2(a¹/²b⁻¹/³) = -4a¹/²b⁻¹/³ ÷ 2a¹/²b⁻¹/³ = -2

.              4a¹/²b⁻¹/³ -4                                | (2a¹/²b⁻¹/³ -2)(-2) = -4a¹/²b⁻¹/³ +4

.                               2-4a⁻¹/²b¹/³ +a⁻¹b²/³   | 2(a¹/²b⁻¹/³ -2) = 2a¹/²b⁻¹/³ -4  ⇒ 2 ÷ 2a¹/²b⁻¹/³ = a⁻¹/²b¹/³

.                             -2- 4a⁻¹/²b¹/³ -a⁻¹b²/³   | (2a¹/²b⁻¹/³+4 +a⁻¹/²b¹/³)(a⁻¹/²b¹/³) = 2+4a⁻¹/²b¹/³+a⁻¹b²/³

.                                               0                |

_____________________________________________

10) a⁴/b⁻⁴ +6a²/b⁻² +7 -6b⁻²/a² +1/a⁴b⁴

= a⁴b⁴ +6a²b² +7 -6b⁻²a⁻² +a⁻⁴b⁻⁴

.                                                     .                                                                 

√ a⁴b⁴ +6a²b² +7 -6b⁻²a⁻² +a⁻⁴b⁻⁴   |  a²b² +3 -a⁻²b⁻² Solución.

. -a⁴b⁴                                             | √a⁴b⁴= a²b² ⇒ (a²b²)(a²b²) = a⁴b⁴

.            6a²b² +7                            | 6a²b² +7 ÷ 2(a²b²) = 6a²b² +7 ÷ 2a²b² = 3

.           -6a²b² -9                             | (2a²b² +3)(3) = 6a²b² +9 

.                      -2 -6b⁻²a⁻² +a⁻⁴b⁻⁴   | 2(a²b² +3) = 2a²b² +6 ⇒ -2 ÷ 2a²b² = -a⁻²b⁻²

.                       2 +6b⁻²a⁻² -a⁻⁴b⁻⁴   |  (2a²b² +6 -a⁻²b⁻²)(-a⁻²b⁻²) = -2 -6-a⁻²b⁻² +a⁻⁴b⁻⁴

.                                       0             |

_____________________________________________

11) x/ y⁻²/³ -8y¹/³ /x⁻¹/² +18 -8x⁻¹/² /y¹/³ +1/ xy²/³

= xy²/³ -8x¹/²y¹/³ +18 -8x⁻¹/²y⁻¹/³ +x⁻¹y⁻²/³

.                                                     .                                                                 

√ xy²/³ -8x¹/²y¹/³ +18 -8x⁻¹/²y⁻¹/³ +x⁻¹y⁻²/³   | x¹/²y¹/³ -4 +x⁻¹/²y⁻¹/³  Solución.

. -xy²/³                                                          | √xy²/³= x¹/²y¹/³ ⇒ (x¹/²y¹/³)(x¹/²y¹/³) = xy²/³

.          -8x¹/²y¹/³  +18                                   | -8x¹/²y¹/³ ÷ 2(x¹/²y¹/³) = 6a²b² +7 ÷ 2x¹/²y¹/³ = -4

.           8x¹/²y¹/³  - 16                                   |  (2x¹/²y¹/³ -4)(-4) = -8x¹/²y¹/³ +16                                            

.                              2 -8x⁻¹/²y⁻¹/³ +x⁻¹y⁻²/³   | 2(x¹/²y¹/³ -4) =2x¹/²y¹/³ -8 ⇒2 ÷ 2x¹/²y¹/³ =x⁻¹/²y⁻¹/³

.                            -2 +8x⁻¹/²y⁻¹/³ - x⁻¹y⁻²/³   | (2x¹/²y¹/³ -8 +x⁻¹/²y⁻¹/³)(x⁻¹/²y⁻¹/³) =                       .

.                                               0                   | = 2 -8 +x⁻¹/²y⁻¹/³ +x⁻¹y⁻²/³                                         .

_____________________________________________