La división de polinomios por coeficientes separados puede usarse para los siguientes casos:
Caso 1) Cuando la división contenga una sola y misma letra y estén ordenados en relación a dicha letra.
Ejemplo:
Dividir 8x⁶-16x⁵+6x⁴+24x²+18x-36 entre 4x³+3x-6 por coeficientes separados:
> Escribiendo solo los coeficientes son sus respectivos signos del polinomio divisor y del polinomios dividendo; agregando cero donde falte un término según su orden:
. 2 -4 + 0 +6 .
4 +0 +3 -6 | 8 -16 + 6 + 0 +24 +18 -36
. -8 + 0 - 6 +12.
. -16 +0 +12 +24
. 16 +0 +12 - 24
. +24 + 0 +18 - 36
. -24 + 0 - 18 +36
. 0
Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y obtendremos, sin sus coeficientes, el primer término del cociente encontrado y para el segundo término disminuye su exponente en tres unidades, porque así es la secuencia de los polinomios, y así sucesivamente.
-> x⁶ ÷ x³ = x³
∴ 2 -4 + 0 +6 = 2x³ -4x² +0x +6 = Solución.
Caso 2) Cuando la división contenga las mismas dos letras y los polinomios estén ordenados en relación a una de las letras.
Ejemplo:
Dividir a⁵-7a⁴b+21a³b²-37a²b³+38ab⁴-24b⁵ entre a²-3ab+4b²
. 1 -4 +5 -6 .
1 -3 +4 | 1 -7 +21 -37 +38 -24
. -1 +3 - 4
. -4 +17 -37
. 4 -12 +16
. 5 - 21 +38
. -5 +15 -20
. - 6 +18 -24
. 6 -18 +24
. 0
Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y obtendremos, sin sus coeficientes, el primer término del cociente encontrado; y para el segundo término disminuye el exponente de la 1ª letra "a" en una unidad y el exponente de la 2ª letra "b" aumenta en igual manera y así sucesivamente.
->a⁵ ÷ a²= a³
∴ 1 -4 +5 -6 = a³-4a²b+5ab²-6b³ Solución.
NOTA: Tomar en cuenta que el exponente de la primera letra aumenta unidades según la secuencia que tienen los polinomios, o sea, en una unidad, en dos unidades, en tres unidades, o en más; de igual manera la segunda letra del término del cociente.
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Ejercicio 58.
Dividir por coeficientes separados:
3) a⁶+a⁵b-7a⁴b²+12a³b³-13a²b⁴+7ab⁵-b⁶ entre a²-2ab+b²
. 1+3-2+5-1 .
1 -2 +1 | 1 +1 -7 +12 -13 +7 -1
. -1 +2 -1
. 3 -8 +12
. -3+6 - 3
. -2 + 9 -13
. 2 - 4 + 2
. 5 -11 +7
. -5 +10 -5
. - 1 +2 -1
. 1 -2 +1
. 0
-> a⁶ ÷ a² = a⁴
∴ 1+3-2+5-1 = a⁴+3a³b-2a²b²+5ab³-b⁴ Solución.
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5) x⁸-2x⁶-50x⁴+58x²-15 entre x⁴+6x²-5
. 1 -8 +3 .
1 +6 -5 | 1 - 2 -50 +58 -15
. -1 -6 + 5
. -8 -45 +58
. 8 +48 -40
. 3 +18 -15
. -3 -18 +15
. 0
-> x⁸ ÷ x⁴ = x⁴
∴ 1 -8 +3 = x⁴ -8x² +3 Solución.
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7) 3x¹⁵-20x¹²-70x⁶+51x⁹+46x³-20 entre 3x⁶-8x³+10
= 3x¹⁵-20x¹²+51x⁹-70x⁶+46x³-20 ÷ 3x⁶-8x³+10 (ordenado el dividendo)
.
. 1-4+3-2 .
3-8+10 | 3-20+51-70+46-20
. -3+ 8- 10
. -12+41-70
. 12-32+40
. 9-30+46
. -9+24-30
. - 6+16-20
. 6-16+20
. 0
-> 3x¹⁵ ÷ 3x⁶ = x⁹
∴ 1-4+3-2 = x⁹-4x⁶+3x³-2 Solución.
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9) 2x⁷-6x⁶y-8x⁵y²-20x⁴y³-24x³y⁴-18x²y⁵-4y⁷ entre 2x²+4y²
. 1-3-6 -4+0-1 .
2+ 0+4 | 2- 6- 8-20-24-18+0-4
. -2- 0- 4
. -6-12-20
. 6+ 0+12
. -12- 8-24
. 12+0+24
. - 8+ 0 -18
. 8+ 0 +16
. - 2+ 0- 4
. 2+ 0 +4
. 0
-> x⁷ ÷ x² = x⁵
∴ 1-3-6-4+0-1 = x⁵-3x⁴y-6x³y²-4x²y³-y⁵ Solución.
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11) n¹º-6n⁸+5n⁷+13n⁶-23n⁵-8n⁴+44n³-12n²-32n+16 entre n⁶-3n⁴+5n³-8n+4
. 1+0-3+0+4 .
1+0-3+5+0-8+4 | 1+0- 6+5+13-23 - 8+44-12 -32+16
. -1-0+3- 5 - 0+ 8 - 4
. -3 0+13- 15-12+44-12
. 3+0 - 9+15+ 0 -24+12
. 4 0 -12+20 0 -32+16
. -4 0 +12-20 0 +32 -16
. 0
-> n¹º ÷ n⁶ = n⁴
∴ 1+0-3+0+4 = n⁴ -3n² +4 Solución.
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13) x¹⁶-4x¹⁴y²-10x¹²y⁴+21x¹ºy⁶+28x⁸y⁸-23x⁶y¹º+9x⁴y¹²+33x²y¹⁴-6y¹⁶
entre x⁶-4x⁴y²-5x²y⁴+y⁶
. 1+0-5+0+3-6 .
1-4-5+1 | 1- 4-10+21+28-23+ 9+33 - 6
. -1+4+ 5 - 1
. - 5+20+28
. 5 -20 -25+ 5
. + 3-18+ 9+33
. - 3+12+15 - 3
. -6+24+30 - 6
. 6-24 -30 +6
. 0
-> x¹⁶ ÷ x⁶ = x¹º
∴ 1+0-5+0+3-6 = x¹º-5x⁶y⁴+3x²y⁸-6¹º Solución.
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15) 7a²ˣ⁺⁵-35a²ˣ⁺⁴+6a²ˣ⁺³-78²ˣ⁺²-5a²ˣ⁺¹-42a²ˣ-7a²ˣ⁻¹
entre aˣ+6aˣ⁺¹+7aˣ⁺³.
= 7a²ˣ⁺⁵-35a²ˣ⁺⁴+6a²ˣ⁺³-78²ˣ⁺²-5a²ˣ⁺¹-42a²ˣ-7a²ˣ⁻¹÷ 7aˣ⁺³+6aˣ⁺¹+aˣ. (ordenado el divisor)
. 1-5+0-7 .
7+0+6+1 | 7-35+ 6 -78- 5-42-7
. -7 - 0 - 6 - 1
. -35+ 0-79
. 35+ 0+30+5
. -49- 0-42
. 49+0+42+7
. 0
-> a²ˣ⁺⁵ ÷ aˣ⁺³ = aˣ⁺²
∴ 1-5+0-7 = aˣ⁺²-5aˣ⁺¹+0aˣ-7aˣ⁻¹ = aˣ⁺²-5aˣ⁺¹-7aˣ⁻¹ Solución.
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17) 6a⁵ˣ⁺³-23a⁵ˣ⁺²+12a⁵ˣ⁺¹-34a⁵ˣ+22a⁵ˣ⁻¹-15a⁵ˣ⁻²
entre a²ˣ⁺²-a²ˣ-3a²ˣ⁺¹-5a²ˣ⁻¹
= -15a⁵ˣ⁻²+22a⁵ˣ⁻¹-34a⁵ˣ+12a⁵ˣ⁺¹-23a⁵ˣ⁺²+6a⁵ˣ⁺³entre -5a²ˣ⁻¹-a²ˣ-3a²ˣ⁺¹+a²ˣ⁺² (ordenados los polinomios)
. 3 -5 +6 .
-5-1-3+1 | -15+22-34+12-23+6
. 15+ 3+ 9 - 3
. 25-25+ 9 -23
. -25 - 5-15+ 5
. -30 - 6 -18+ 6
. 30+ 6+18 - 6
. 0
-> -a⁵ˣ⁻² ÷ -a²ˣ⁻¹ = a³ˣ⁻¹
∴ 3 -5 +6 = 3a³ˣ⁻¹-5a³ˣ+6a³ˣ⁺¹ Solución.
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