División de polinomios por el método de coeficientes separados.

La división de polinomios por coeficientes separados puede usarse para los siguientes casos:

Caso 1) Cuando la división contenga una sola y misma letra y estén ordenados en relación a dicha letra.

Ejemplo:

Dividir 8x⁶-16x⁵+6x⁴+24x²+18x-36 entre 4x³+3x-6 por coeficientes separados:

> Escribiendo solo los coeficientes son sus respectivos signos del polinomio divisor y del polinomios dividendo; agregando cero donde falte un término según su orden:

.                  2 -4 + 0 +6 .
4 +0 +3 -6 | 8 -16 + 6 +  0 +24 +18 -36
.                  -8 + 0 - 6 +12.              

.                      -16 +0 +12 +24

.                       16 +0 +12 - 24 

.                                  +24 + 0 +18 - 36

.                                   -24 + 0 - 18 +36

.                                               0

Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y obtendremos, sin sus coeficientes, el primer término del cociente encontrado y para el segundo término disminuye su exponente en tres unidades, porque así es la secuencia de los polinomios, y así sucesivamente.

-> x⁶ ÷ x³ = x³
∴ 2 -4 + 0 +6 = 2x³ -4x² +0x +6 = Solución.

Caso 2) Cuando la división contenga las mismas dos letras y los polinomios estén ordenados en relación a una de las letras.

Ejemplo:
Dividir a⁵-7a⁴b+21a³b²-37a²b³+38ab⁴-24b⁵ entre a²-3ab+4b²

.             1 -4 +5 -6 .
1 -3 +4  | 1 -7 +21 -37 +38 -24
.             -1 +3 - 4
.                  -4 +17 -37
.                   4 -12 +16
.                         5 - 21 +38
.                        -5 +15 -20
.                             -  6 +18 -24
.                                6 -18 +24
.                                       0

Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y obtendremos, sin sus coeficientes, el primer término del cociente encontrado; y para el segundo término disminuye el exponente de la 1ª letra "a" en una unidad y el exponente de la 2ª letra "b" aumenta en igual manera y así sucesivamente.

->a⁵ ÷ a²= a³

∴ 1 -4 +5 -6 = a³-4a²b+5ab²-6b³ Solución. 

NOTA: Tomar en cuenta que el exponente de la primera letra aumenta unidades según la secuencia que tienen los polinomios, o sea, en una unidad, en dos unidades, en tres unidades, o en más; de igual manera la segunda letra del término del cociente.

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Ejercicio 58.

Dividir por coeficientes separados:

3)  a⁶+a⁵b-7a⁴b²+12a³b³-13a²b⁴+7ab⁵-b⁶ entre a²-2ab+b²

.             1+3-2+5-1                  .

1 -2 +1 | 1 +1 -7 +12 -13 +7 -1

.            -1 +2 -1

.                   3 -8 +12

.                  -3+6 -  3

.                      -2 + 9 -13

.                        2 - 4 + 2

.                              5 -11 +7

.                            -5 +10 -5

.                                 -  1 +2 -1

.                                     1 -2 +1

.                                        0

-> a⁶ ÷ a² = a⁴

 

∴ 1+3-2+5-1 = a⁴+3a³b-2a²b²+5ab³-b⁴  Solución.

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5) x⁸-2x⁶-50x⁴+58x²-15 entre x⁴+6x²-5

.             1 -8 +3               .

1 +6 -5 | 1 - 2 -50 +58 -15

.             -1 -6 + 5

.                  -8 -45 +58

.                   8 +48 -40

.                          3 +18 -15

.                         -3 -18 +15

.                                 0

-> x⁸ ÷ x⁴ = x⁴

∴ 1 -8 +3 = x⁴ -8x² +3  Solución.

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7) 3x¹⁵-20x¹²-70x⁶+51x⁹+46x³-20 entre 3x⁶-8x³+10

=  3x¹⁵-20x¹²+51x⁹-70x⁶+46x³-20 ÷ 3x⁶-8x³+10 (ordenado el dividendo)

.

.            1-4+3-2                  .

3-8+10 | 3-20+51-70+46-20

.            -3+ 8- 10

.               -12+41-70

.                 12-32+40

.                         9-30+46

.                       -9+24-30

.                           -  6+16-20

.                               6-16+20

.                                    0

-> 3x¹⁵ ÷ 3x⁶ = x⁹

 

∴ 1-4+3-2 = x⁹-4x⁶+3x³-2  Solución.

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9) 2x⁷-6x⁶y-8x⁵y²-20x⁴y³-24x³y⁴-18x²y⁵-4y⁷ entre 2x²+4y²

 

.             1-3-6 -4+0-1                  .              

 2+ 0+4 | 2- 6- 8-20-24-18+0-4

.             -2- 0- 4

.                 -6-12-20 

.                  6+ 0+12

.                     -12- 8-24

.                      12+0+24

.                          - 8+  0 -18

.                             8+ 0 +16

.                                      -  2+ 0- 4

.                                         2+ 0 +4

.                                              0

-> x⁷ ÷ x² = x⁵

 

∴ 1-3-6-4+0-1 = x⁵-3x⁴y-6x³y²-4x²y³-y⁵ Solución.

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 11) n¹º-6n⁸+5n⁷+13n⁶-23n⁵-8n⁴+44n³-12n²-32n+16 entre n⁶-3n⁴+5n³-8n+4

       

.                          1+0-3+0+4                                               .

1+0-3+5+0-8+4 | 1+0- 6+5+13-23 - 8+44-12 -32+16

.                           -1-0+3- 5 -  0+ 8 - 4

.                                   -3  0+13- 15-12+44-12

.                                    3+0 -  9+15+ 0 -24+12

.                                               4   0 -12+20   0  -32+16

.                                              -4   0 +12-20   0 +32 -16

.                                                                0

-> n¹º ÷ n⁶ = n⁴

 

 ∴ 1+0-3+0+4 = n⁴ -3n² +4  Solución.

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13) x¹⁶-4x¹⁴y²-10x¹²y⁴+21x¹ºy⁶+28x⁸y⁸-23x⁶y¹º+9x⁴y¹²+33x²y¹⁴-6y¹⁶

entre x⁶-4x⁴y²-5x²y⁴+y⁶

 

 .             1+0-5+0+3-6                          .

 1-4-5+1 | 1- 4-10+21+28-23+  9+33 - 6

 .              -1+4+ 5 - 1

.                       - 5+20+28

.                         5 -20 -25+ 5 

.                                   + 3-18+  9+33

.                                    - 3+12+15 - 3

.                                           -6+24+30 - 6

.                                             6-24 -30 +6

.                                                       0

-> x¹⁶ ÷ x⁶ = x¹º

 

 ∴ 1+0-5+0+3-6 = x¹º-5x⁶y⁴+3x²y⁸-6¹º  Solución.

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15) 7a²ˣ⁺⁵-35a²ˣ⁺⁴+6a²ˣ⁺³-78²ˣ⁺²-5a²ˣ⁺¹-42a²ˣ-7a²ˣ⁻¹

entre aˣ+6aˣ⁺¹+7aˣ⁺³.

 

= 7a²ˣ⁺⁵-35a²ˣ⁺⁴+6a²ˣ⁺³-78²ˣ⁺²-5a²ˣ⁺¹-42a²ˣ-7a²ˣ⁻¹

÷ 7aˣ⁺³+6aˣ⁺¹+aˣ. (ordenado el divisor)

 

.               1-5+0-7                    .

7+0+6+1 | 7-35+ 6 -78- 5-42-7

.               -7 - 0 - 6 -  1

.                   -35+ 0-79

.                    35+ 0+30+5

.                              -49- 0-42

.                               49+0+42+7

.                                      0 

-> a²ˣ⁺⁵ ÷  aˣ⁺³ = aˣ⁺²

∴ 1-5+0-7 = aˣ⁺²-5aˣ⁺¹+0aˣ-7aˣ⁻¹ = aˣ⁺²-5aˣ⁺¹-7aˣ⁻¹  Solución.

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17) 6a⁵ˣ⁺³-23a⁵ˣ⁺²+12a⁵ˣ⁺¹-34a⁵ˣ+22a⁵ˣ⁻¹-15a⁵ˣ⁻²

entre  a²ˣ⁺²-a²ˣ-3a²ˣ⁺¹-5a²ˣ⁻¹

 

= -15a⁵ˣ⁻²+22a⁵ˣ⁻¹-34a⁵ˣ+12a⁵ˣ⁺¹-23a⁵ˣ⁺²+6a⁵ˣ⁺³

entre  -5a²ˣ⁻¹-a²ˣ-3a²ˣ⁺¹+a²ˣ⁺² (ordenados los polinomios)

 

 .              3 -5 +6                        .

-5-1-3+1 | -15+22-34+12-23+6

.                  15+ 3+ 9 -  3

.                        25-25+ 9 -23

.                       -25 - 5-15+ 5

.                            -30 - 6 -18+ 6

.                              30+ 6+18 - 6

.                                        0

-> -a⁵ˣ⁻² ÷ -a²ˣ⁻¹ = a³ˣ⁻¹

∴ 3 -5 +6 = 3a³ˣ⁻¹-5a³ˣ+6a³ˣ⁺¹  Solución.

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