Problemas sobre ecuaciones fraccionarias. Ejercicio 148.

Ejemplo: 

En tres días un hombre ganó 185 Sucres.  Si cada día ganó los 3/4 de lo que ganó el día anterior, ¿ cuánto ganó en cada uno de los tres días?

Datos: 

x: lo que ganó el primer día.

3x/4: lo que ganó el segundo día.

3/4(3x/4): lo que ganó el tercer día.

→ x+3x/4+3/4(3x/4) = 185

x+3x/4+9x/16 = 185

Eliminando denominadores, el m.c.d. = 16:

16(x)+4(3x)+1(9x) = 16(185)

16x + 12x + 9x = 2960

37x = 2960

x = 2960/37

x = 80 → 

3x/4 = 3(80)/4 = 60

9x/16 =9(80)/16 = 45

Solución:  80, 60 y 45 sucres.

_________________________________________

Ejercicio 148.

Resolver los siguientes problemas:

1) En tres días un hombre ganó $175.  Si cada día ganó la mitad de lo que ganó el día anterior, ¿ cuánto ganó cada día?

Datos:

x: 1er. día  ;   x/2: 2º día  ;  (x/2)/2= x/4 →

x + x/2 + x/4 = 175

4(x) + 2(x) +x = 4(175)

4x +2x +x = 700

7x = 700

x = 700/7 = 100 →

El primer día ganó x = $100.

El segundo día ganó x/2 =100/2 = $50.

El tercer día ganó x/4 = 100/4 = $25.

_________________________________________

2) El jueves perdí los 3/5 de lo que perdí el miércoles y el viernes los 5/6 de lo que perdí el jueves.  Si en los tres días perdí $252. ¿ cuánto perdí cada día?

Datos: 

x:  miércoles  ;  jueves: 3x/5  ;  viernes:  5/6(3x/5) ;  en los 3 días $252.

x + 3x/5 + 5/6(3x/5) = 252

x +3x/5 + x/2 = 252

m.c.d. = 10 →

10(x) + 2(3x) + 5(x) = 10(252)

10x +6x + 5x = 2520

21x = 2520

x = 2520/21 = 120 →

Miércoles perdí $120

Jueves perdí 3(120)/5 = $72.

Viernes perdí 120/2 = $60.

__________________________________________

3) B tiene 2/3 de lo que tiene A y C 3/5 de lo que tiene B.  Si entre los tres tienen 248 sucres, ¿ cuánto tiene cada uno?

Datos:

A: x   ;   B: 2x/3  ;  C: 3/5(2x/3)  ;  los tres tienen 248 sucres →

x + 2x/3 + 3/5(2x/3) = 248

x + 2x/3 + 2x/5 = 248

el m.c.d. = 15 →

15(x) + 5(2x + 3(2x) = 15(248)

15x + 10x + 6x = 3720

31x = 3720

x = 3720/31 = 120 →

A tiene 120 sucres

B tiene 2(120)/3 = 80 sucres

C tiene 2(120)/5 = 48 sucres.

_________________________________________

 4) La edad de B es los 3/5 de la de A y la de C los 3/8 de la de B.  Si las tres edades suman 73 años, hallar las edades respectivas.

Datos:

A: x  ;  B: 3x/5  ;  3/8(3x/5) = 9x/40  ; las tres edades = 73 →

x + 3x/5 + 3/8(3x/5) = 73

x + 3x/5 + 9x/40 = 73

m.c.d. = 40 →

40(x) + 8(3x) + 9x = 40(73)

40x + 24x +9x = 2920

73x = 2920

x = 2920/73 = 40 →

A tiene 40 años

B tiene 3(40)/5 = 24 años

C tiene 9(40)/40 = 9 años.

_______________________________________

5) En 4 días un hombre recorrió 120 Km. Si cada día recorrió 1/3 de lo que recorrió el día anterior, ¿ cuántos Km recorrió en cada día?

Datos:

1º día: x  ;  2º día:  x/3  ;  1/3(x/3)= x/9  ;  1/3(x/9)= x/27  ;   total 4 días 120 Km →

x + x/3 + x/9 + x/27 = 120

m.c.d. de 3, 9 y 27 es 27 →

27(x) + 9(x) + 3(x) + x = 27(120)

27x +9x +3x +x = 3240

40x = 3240

x = 3240/40 = 81 →

1º día : x = 81 Km

2º día : x/3 = 81/3 = 27 Km

3º día : x/9 = 81/9 = 9 Km

4º día : x/27 = 81/27 = 3 Km.

________________________________________

6) En cuatro semanas un avión recorrió 4641 Km.  Si cada semana recorrió los 11/10 de lo que recorrió la semana anterior, ¿ cuántos Km recorrió en cada semana?

Datos:

1ª S: x  ;  2ª S: 11x/10  ;  3ª S: 11/10(11x/10)= 121x/100  ;  

4ª S: 11/10(121x/100) = 1331x/1000  ;   en cuatro semanas 4641 Km →

x + 11x/10 + 121x/100 + 1331x/1000 = 4641

El m.c.d. de 10, 100 y 1000 es 1000 →

1000(x) + 100(11x) + 10(121x) + 1331 = 1000(4641)

1000x + 1100x + 1210x + 1331x = 4641000

4641x = 4641000

x = 4641000/4641 = 1000 →

1ª semana recorrió x = 1000 Km

2ª semana recorrió 11(1000)/10 = 11000/10 = 1100 Km

3ª semana recorrió 121(1000)/100 = 1210 Km

4ª semana recorrió 1331(1000)/1000 = 1331 Km

_______________________________________ 

Problemas sobre ecuaciones fraccionarias. Ejercicio 147.

Ejemplo. 

La suma de dos números es 77, y si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 8.  Hallar los números.

Datos:  x = mayor  ,   77-x = menor.

Al dividir el mayor entre el menor, el cociente es 2 más el residuo 8; pero si al dividendo x le restamos el residuo, entonces la división es exacta para el cociente 2,  x-8 / 77-x = 2, y de esta manera podemos encontrar el valor de la variable x. 

->

x-8 / 77-x = 2

x-8 = 2(77-x)

x-8 = 154-2x

2x+x= 154+8

3x = 162

x = 162/3 = 54

x = 54  

77-x = 77-54 = 23 

Por lo tanto los números buscados son 54 y 23.

______________________________________

Ejercicio 147.

Resolver:

1) La suma de dos números es 59, y si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 5.  Hallar los números.

Datos:  x ; mayor  ,   59-x =menor.   , cociente = 2  ,  residuo = 5

x-5 / 59-x = 2

x-5 = 2(59-x) 

x-5 = 118 -2x

x+2x = 118+5

3x = 123

x = 123/3 = 41

-> 59-x = 59-41 = 18

Solución: los números son 41 y 18.

____________________________________

2) La suma de dos números es 436, y si el mayor divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo 73.  Hallar los números.

Datos: x = mayor  ,  436-x = menor  ,  cociente =2  , residuo = 73  ->

x-73 / 436-x = 2

x-73 = 2(436-x)  

x-72 / 872 -2x

x +2x = 872+73

3x = 945

x = 945/3 = 315 

-> 436-x = 436-315 = 121

Solución: los números buscados son 315 y 121

__________________________________

3) La diferencia de dos números es 44, y si el mayor divide por el menor, el cociente es 3 y el residuo 2.  Hallar los números.

Datos:  x: mayor  , x-44 : menor  ,  cociente = 3  ,  residuo = 2 ->

x-2 / x-44 = 3

x-2 = 3(x-44)

x-2 = 3x -132

x-3x = -132+2

-2x = -130

x = -130/-2 = 65

x-44 = 65-44 = 21

Solución: los números buscados son 65 y 21.

___________________________________

4)  Un número excede a otro en 56. Si el mayor se divide por el menor, el cociente es 3 y el residuo 8.  Hallar los números.

Datos:  x: menor  ,  x+56: mayor  ,  cociente 3  ,  residuo 8.  ->

x+56-8 /x = 3

x +48  =3x

x -3x = -48

-2x = -48

x= -48/-2 = 24

x+46 = 24+56 = 80

Solución : los números son 24 y 80.

___________________________________

5) Dividir 260 en dos partes tales que el duplo de la mayor dividido entre el triplo de la menor dé 2 de cociente y 40 de residuo.

Datos:  x: mayor  ,  260-x: menor  ,  cociente = 2  ,  residuo = 40.

y si el duplo de la mayor = 2x  y  el triplo de la menor = 3(260-x) ->

2x-40 / 3(260-x) = 2

2x-40 / 780 -3x = 2

2x-40 = 2(780-3x)

2x-40 = 1560 -6x

2x +6x = 1560+40 

8x = 1600

x = 1600/8 = 200

260-x = 260-200 = 60

Solución: los números son 200 y 60

___________________________________