Mínimo Común Múltiplo de monomios.

.                           y   

Regla General:  El m.c.m de 2 ó más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones algebraicas dadas.

Por ejemplo:

1) El m.c.m. de   4a   y   6a²  es 12a² ,  porque

12a²  /  4a  =  3a

12a²  /  6a²  =  2

2) El m.c.m. de 6x³   y   9x⁴  es  18x⁴ ,  porque

18x⁴  /  6x³  =  3x

18x⁴  /  9x⁴  =  2

NOTA:  En el ejemplo 1) no hay otra expresión algebraica menor que 12a² que divida exactamente a las expresiones dadas.  Así como en el ejemplo 2) 18x⁴ es la menor expresión algebraica que divide exactamente a sus respectivas expresiones dadas.

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Mínimo Común Múltiplo de Monomios.

Procedimiento:

Se encuentra el m.c.m. de los coeficientes y a la par de éste se escriben todas las letras distintas, sean comunes o no, con su exponente de mayor grado que aparezca en cualquiera de las expresiones dadas.

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Ejemplo 1) Hallar el m.c.m. de ax²   y   a³x

--> El m.c.m. de los coeficientes es   1.  ( En posteriores casos similares, se puede omitir este paso)

-->   En la letra "a" , el exponente de mayor grado es  =  a³

-->  En la letra "x" , el exponente de mayor grado es  =  x²

Por tanto, el m.c.m. de ax²    y    a³x  es  =  a³x²

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Ejemplo 2)  Hallar el m.c.m. de 8ab²c    y   12 a³b²

--> El m.c.m. de  8   y   12    es  = 24 ,

--> En la letra "a" , el exponente de mayor grado es = a³

-->  En la letra "b" , el exponente de mayor grado es = b²

-->  En la letra "c" , el exponente de mayor grado es = c

Por lo tanto, el m.c.m. de 8a²c   y   12a³b²  es  =  24a³b²c

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Ejemplo 3)  Hallar el m.c.m. de 10a³x ,  36a²mx²   y   24b²m⁴

--> El m.c.m. de  10, 36 y 24  es

10|36|24|2    <-- Primos relativos que dividen a cada uno de los coeficientes que están a su izquierda.

05|18|12|2

05|09|06|3

05|03|02|2

05|03|01|3

05|01|01|5.   --> el m.c.m. es =  (2)(2)(3)(2)(3)(5) = 2^3 * 3^2 * 5 = 8 * 9 * 5 = 360

01|01|01|

Las letras comunes y no comunes con su exponente de mayor grado son:  a³  ,   b²  ,  m⁴ ,  x²

Por lo tanto, el m.c.m. de  10a³x ,  36a²mx²   y   24b²m⁴  es  =  360a³b²m⁴x²

NOTA: Para estos casos donde hay varios coeficientes es recomendable utilizar la tabla del Ejemplo 3).

Si tienes otra manera (mental o numérica) de encontrar el menor de los múltiplos que divida exactamente, puedes utilizarla.

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Ejercicio 115.

1) Hallar el m.c.m. de   a²   ,   ab³

Letras con su exponente de mayor grado son:  a²    ,   b³

Por lo tanto, el m.c.m. de a²    y    ab³  es =  a²b³  --> Solución.

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2) Hallar el m.c.m. de   x²y   ,    xy²

Las letras con su exponente de mayor grado son : x²    ,   y²

Por lo tanto, el m.c.m. de   x²y    y   xy²  es =  x²y² ,   --> Solución.

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3) Hallar el m.c.m. de   ab²c     y    a²bc

-->  Letras con su exponente de mayor grado son :  a² ,   b² ,    c

Por lo tanto, el m.c.m. de  ab²c    y   a²bc  es =  a²b²c ,  -->  Solución.

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5) Hallar el m.c.m. de   6m²n    y    4m³

--> El m.c.m. de  6    y   4

6|4|2

3|2|2

3|1|3    --> el m.c.m es = (2)(2)(3) = 12

1|1|

--> Las letras con su exponente de mayor grado son:  m³    y    n

Por lo tanto, el m.c.m. de   6m²n   y   4m³ es  =  12m³n ,  -->  Solución.

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6) Hallar el m.c.m. de     9ax³y⁴    ,     15x²y⁵

--> El m.c.m de   9   y   15  es

9|15|3

3|05|3

1|05|5  --> el m.c.m. es =  (3)(3)(5)  =  45

1|01

--> Las letras con exponente de mayor grado son: a , x³ , y⁵

Por lo tanto, el m.c.m. de  9ax³y⁴   y    15x²y⁵  es  =  45ax³y⁵  ,   -->  Solución.

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9) Hallar el m.c.m. de   2ab²   ,   4a²b   ,   8a³

--> El m.c.m. de   2  ,   4   y   8  es

2|4|8|2

1|2|4|2

1|1|2|2  --> el m.c.m. es =  (2)(2)(2)  =  8

1|1|1|

--> Las letras con su exponente de mayor grado son:  a³    y    b²

Por lo tanto, el m.c.m. de  2ab²  ,  4a²b  y  8a³ es =  8a³b²,  --> Solución.

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17) Hallar el m.c.m. de   9a²bx  ,   12ab²x²   ,   18a³b³x

-->El m.c.m. de  9, 12 y 18 es

9|12|18|3

3|04|06|3

1|04|02|2

1|02|01|2   --> el m.c.m. es = (3)(3)(2)(2) = 36

1|01|01|

--> Las letras con su exponente de mayor grado son  a³  ,   b³  ,   x²

Por lo tanto, el m.c.m. de  9a²bx,  12ab²x²  y  18a³b³x  es 

=  36a³b³x²  <-- Solución. 

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20)  Hallar  el m.c.m. de   20m³n³   ,   24m³n   y   30mn²

-->  El m.c.m. de  20, 24 y 30 es

20|24|30|2

10|12|15|2

05|06|15|5

01|06|03|2

01|03|03|3  -->  el m.c.m. es =  (2)(2)(2)(3)(5) = 120

01|01|01|

--> Las letras  con su exponente de mayor grado son:  m³  ,   n³

Por  lo tanto, el m.c.m. de   20m³n³   ,   24m³n   y   30mn² es

=  120m³n³ <--  Solución.

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24)  Hallar el m.c.m. de   15mn²   ,   10m²   ,   20n³   ,   25mn⁴

--> El m.c.m. de  15, 10, 20 y 25 es

15|10|20|25|5

03|02|04|05|5

03|02|04|01|3

01|02|04|01|2

01|01|02|01|2  --> el m.c.m.  =  (5)(5)(3)(2)(2) =  300

01|01|01|01|

--> Las letras con su exponente de mayor grado son:   m²   ,   n⁴

Por lo tanto, el m.c.m. de   15mn²   ,   10m²   ,   20n³   y   25mn⁴

=  300m²n⁴  <--  Solución.

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26)  Hallar el m.c.m. de   3a³   ,   8ab   ,   10b²  ,  12a²b³  ,  16a²b²

--> El m.c.m. de  3, 8, 10, 12  y 16

3|8|10|12|16|2

3|4|05|06|08|2

3|2|05|03|04|2

3|1|05|03|02|2

3|1|05|03|01|3

1|1|05|01|01|5  --> el m..c.m.  =  (2)(2)(2)(2)(3)(5) = 240

1|1|01|01|01|

--> Las letras con su exponente de mayor grado  son:  a³   ,   b³

Por lo tanto, el m.c.m. de   3a³   ,   8ab   ,   10b²  ,  12a²b³  y  16a²b²  es

= 240a³b³   <-- Solución.

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