Simplificación de cantidades imaginarias puras.

.                 ⁿ√-a     Ej.: √-9   

Cantidades Imaginarias.

Son las raíces indicadas pares de cantidades imaginarias.

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Unidad Imaginaria.
Es la que se escribe como la raíz cuadrada de (-1) : √-1 y se representa con la letra ( i )

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Imaginarias Puras.
Son todas las expresiones de la forma ⁿ√-a donde “n” es par y “-a” es una cantidad real negativa, es una imaginaria pura. Ej.: √-2 , √-5 son imaginarias puras.

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Potencias de la unidad imaginaria √-1
(√-1)¹ = √-1
(√-1)² = -1
(√-1)³ = (√-1)² · (√-1) = -1 · √-1 = -√-1

(√-1)⁴ = (√-1)² · (√-1)² = -1 · -1 = 1

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

(√-1)⁵ = (√-1)⁴ · (√-1) = 1 · √-1 = √-1

(√-1)⁶ = (√-1)⁴ · (√-1)² = 1 · -1 = -1

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Nota: Puede observarse que las primeras cuatro potencias son iguales a √-1 , -1 , - √-1 y 1; las siguientes cuatro llevan la misma secuencia de resultado y así las otras cuatro siguientes y las sucesivas.

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Simplificación de cantidades imaginarias puras.

Regla. Toda cantidad imaginaria puede reducirse a la forma de una cantidad real multiplicada por la unidad imaginaria.

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Ejemplos.

Simplificar:

a) √-4

= √[4(-1)]
= (√2²)(√-1)
= 2√-1
= 2i Solución.

b) √-3
= √[3(-1)]
= (√3)(√-1)
= i√3 Solución.

c) √-8
= √[8(-1)]
= (√8)(√-1)
= (√2² · 2)(√-1)
= (2√2)(√-1)
= 2√2i Solución.

Nota personal: En estos casos los corchetes [ ] indican que todo está dentro de la cantidad subradical.

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Ejercicio 253.
Reducir a la forma de una cantidad real multiplicada por √-1:

1) √-a²
= √[(a²)(-1)]
= (√a²) (√-1)
= a√-1
= ai Solución.

3) 2√-9

= 2√[(9)(-1)]
= (2√3²) (√-1)

= 2(3)√-1

= 6i Solución.

5) √-6

= √[(6)(-1)]

= (√6)(√-1)

= √6i

= i√6 Solución.

11) √-¹/₁₆

= √[(¹/₁₆)(-1)]

= (√¹/₄²)(√-1)

= ¹/₄i Solución.