Una
fracción decimal periódica es la suma de una progresión geométrica
decreciente infinita, y su valor puede hallarse por la fórmula S
= a/1-r
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Procedimiento:
1)
El número decimal del cual queremos obtener su valor, se descompone
en una progresión geométrica decreciente infinita.
2)
El primer término será una fracción equivalente a la posición que
ocupe la primera cifra decimal en el número dado. ( 0.344
≡ ³/₁₀)
3)
El segundo término será una fracción equivalente a la posición
que ocupe la segunda cifra decimal en el número dado. (0.344 ≡
⁴/₁₀₀. Y así sucesivamente hasta la última cifra que
tenga el decimal dado.
4)
Con las fracciones encontradas se forma una progresión geométrica
decreciente infinita aplicando la respectiva fórmula para la suma.
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Ejemplos:
a) Hallar
el valor de 0.333….
>
Descomponiendo las cifras del decimal en fracciones:
0.333…. =
3/10 + 3/100 + 3/1000 + ….
> Formando
un progresión geométrica decreciente infinita:
÷÷
³/₁₀:³/₁₀₀:³/₁₀₀₀:….
>
Elementos: a= ³/₁₀ ; r= ³/₁₀₀ ÷
³/₁₀ = ¹/₁₀
>Aplicando
la fórmula para la suma:
S = a/1-r
S = ³/₁₀/(1
- ¹/₁₀)
S = (³/₁₀)
/ (⁹/₁₀)
S = ⅓
Es el valor de 0.333….
b) Hallar
el valor de 0.31515
>
Descomponiendo las cifras del decimal en fracciones:
0.31515….
= ³/₁₀ + ¹⁵/₁₀₀₀ + ¹⁵/₁₀₀₀₀₀ + ….
> Formando
una progresión geométrica decreciente infinita:
÷÷
³/₁₀:¹⁵/₁₀₀₀:¹⁵/₁₀₀₀₀₀: ….
>
En este caso ³/₁₀ no se toma como elemento
de la progresión, porque no es cifra decimal periódica; pero a
partir del segundo término en adelante si son cifras decimales
periódicas (¹⁵/₁₀₀₀ y ¹⁵/₁₀₀₀₀₀);
y son estas fracciones las que se toman como términos para resolver
la progresión.
>
Elementos: a= ¹⁵/₁₀₀₀ ; r =
¹⁵/₁₀₀₀₀₀ ÷ ¹⁵/₁₀₀₀ = ¹/₁₀₀
> Aplicando
la fórmula para la suma:
S = a/1-r
S = ¹⁵/₁₀₀₀
/ (1 - ¹/₁₀₀)
S = (¹⁵/₁₀₀₀)
/ (⁹⁹/₁₀₀)
S = ¹/₆₆
Es la suma del ¹⁵/₁₀₀₀+¹⁵/₁₀₀₀₀₀
> Entonces
sumamos el valor de las fracciones periódicas con el valor de la
fracción no periódica:
³/₁₀
+ ¹/₆₆ = ⁵²/₁₆₅ es el valor de
0.31515….
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Ejercicio
296.
Hallar por la
suma al infinito, el valor de los números decimales:
1) 0.666….
>
Descomponiendo las cifras decimales en fracciones:
> 6/10 +
6/100 + 6/1000 + ….
> Formando
una progresión geométrica decreciente infinita:
÷÷
⁶/₁₀: ⁶/₁₀₀: ⁶/₁₀₀₀ : ….
>
Elementos: a= ⁶/₁₀ ; r= ⁶/₁₀₀÷⁶/₁₀
= ¹/₁₀
> Aplicando
la fórmula para la suma:
S = a/1-r
S = ⁶/₁₀
/(1-¹/₁₀)
S = (⁶/₁₀)
/ (⁹/₁₀)
S = ⅔
es el valor de 0.666
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2) 0.1212
….
>
Descomponiendo las cifras decimales en fracciones:
> 12/100 +
12/10000 + ….
> Formando
una progresión geométrica decreciente infinita:
÷÷
¹²/₁₀₀ :¹²/₁₀₀₀₀: ….
>
Elementos: a= ¹²/₁₀₀ ; r=
¹²/₁₀₀₀₀÷¹²/₁₀₀= ¹/₁₀₀
> Aplicando
la fórmula para la suma:
S = a/1-r
S = ¹²/₁₀₀
/(1 - ¹/₁₀₀)
S = (¹²/₁₀₀)
/(⁹⁹/₁₀₀)
S = ⁴/₃₃
<-- Valor del número decimal 0.1212 ….
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7)
0.18111….
> Cambiando
las cifras decimales periódicas y no periódicas a fracciones:
> ¹⁸₁₀₀
+ ¹/₁₀₀₀ + ¹/₁₀₀₀₀ + ¹/₁₀₀₀₀₀
….
> Formando
una progresión geométrica infinita:
Se toma para
la progresión geométrica a partir de ¹/₁₀₀₀, porque ahí
es
donde empieza
la cifra periódica:
÷÷¹/₁₀₀₀:
¹/₁₀₀₀₀; ¹/₁₀₀₀₀₀:
….
>
Elementos: a= ¹/₁₀₀₀ ; r=
¹/₁₀₀₀₀÷¹/₁₀₀₀=
¹/₁₀
> Aplicando
la fórmula a para la suma:
S = a/1-r
S= ¹/₁₀₀₀
/(1- ¹/₁₀)
S =
(¹/₁₀₀₀)/(⁹/₁₀)
S = ¹/₉₀₀
Entonces se
suma la fracción no periódica más la suma de
del valor de
las fracciones periódica encontrada:
¹⁸/₁₀₀
+ ¹/₉₀₀ = ¹⁶³/₉₀₀ <-- Es el valor de la
cifra decimal dada.
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