Combinación de los casos de operaciones con logaritmos.

Aquí se aplican las diferentes fórmulas para logaritmo de un producto, de un cociente, de una potencia y  de una raíz;  de acuerdo con la expresión aritmética dada.
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Ejemplos:

a) Hallar el valor de (3284*0.09132) /715.84
> Aplicando las fórmulas correspondientes:
Log [(3284*0.09132)/715.84] =
= Log (3284*0.09132) + Colog 715.84
= (3.516403 + ⁻2.960566) + 3.145184
= 2.476969 + ⁻3.145184
= ⁻1.622153
> Antilog del resultado es
= 0.418941  Solución.

b) Hallar el valor de 100.39*0.03196 / 7.14*0.093
> Aplicando las fórmulas correspondientes:
Log [(100.39*0.03196)/(7.14*0.093)]=
= (Log 100.39 + Log 0.03196) – (Log 7.14 + Log 0.093)
= (2.001690 + ⁻2.504607) – (0.853698 + ⁻2.968483)
= 0.506297 + Colog ⁻1.822181
= 0.506297 + 0.177819
= 0.684116
= Antilog 0.684116
= 4.831878    Solución.

c) Hallar por logaritmos el valor de 3^⅖ * 5^⅔
> Aplicando las fórmulas correspondientes:
Log (3^⅖ * 5^⅔) =
= ⅖(Log 3) + ⅔(Log 5)
= ⅖(0.477121) + ⅔(0.698970)
= 0.190848 + 0.46598
= 0.656828
= Antilog 0.656828
= 4.5376  Solución. 

d) Hallar por logaritmos el valor de ³√(32.7*0.006)/(0.14*89.17)
> Aplicando los fórmulas correspondientes:
Log [³√(32.7*0.006)/(0.14*89.17)] =
= Log [(32.7*0.006)/(0.14*89.17)]/3
= [(Log 32.7 + Log 0.006) - (Log 0.14 + Log 89.17)]/3
= [(1.514548 + ⁻3.778151) + Colog (⁻1.146128 + 1.950219)]/3
= [(⁻1.292699) + Colog (1.096347)]/3
= [⁻1.292699) + ⁻2.903653]/3
= ⁻2.196352/3
= ⁻1.398784
Antilog ⁻1.398784
= 0.25048  Solución.
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Ejercicio 299.
Hallar por logaritmo el valor de las expresiones siguientes:

1) 515*78.19 /6.13
> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto, y de un cociente:
Log (515*78.19 /6.13) =
= (Log 515 + Log 78.19) – (Log 6.13)
= (2.711807 + 1.893151) + Colog 0.787460
= 4.604958 + ⁻1.212540
= 3.817498
Antilog de 3.817498 = 6568.98
= 6569.    Solución.
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11) 2^⅕ * 3^½ * 5^¾
> Aplicando la fórmula para logaritmo de una potencia y de un producto:
Log (2^⅕ * 3^½ * 5^¾) =
= ⅕(Log 2) + ½(Log 3) + ¾(Log 5)
= ⅕(0.301030) + ½(0.477121) + ¾(0.698970)
= 0.060206 + 0.238560 + 0.524227
= 0.822993
Antilog de 0.822993 =
= 6.6526   Solución.
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16) √(932.5 * 813.6 * 0.005)
> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto y de una raíz:
Log  [√(932.5 * 813.6 * 0.005)]
= (Log 932.5 + Log 813.6 + Log 0.005)/2
= (2.969649 + 2.910411 + ⁻3.698970)/2
= 3.57903 /2
= 1.789515
Antilog 1.789515
= 61.591   Solución.
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20) ⁵√(56813/22117)
> Aplicando la fórmula para logaritmo de un cociente y de una raíz:
Log ⁵√(56813/22117
= (Log 56813 – Log 22117)/5
= (4.754447 + Colog 4.344726)/5
= (4.754447 + ⁻5.655274)/5
= 0.409721/5
= 0.081944
Antilog 0.081944 =
= 1.20766  Solución.
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Valor de expresiones algebraicas por medio de logaritmos.

Logaritmo de a : Log a. 

Procedimiento:

1) Aplicar la fórmula correspondiente de acuerdo a la operación aritmética que se pide resolver:

Logaritmo de un Producto: es igual a la suma de los logaritmos de los factores. 

Log (a * b) = Log a + Log b.

Logaritmo de un Cociente: es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Log a/b = Log a – Log b.

Logaritmo de una Potencia: es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base. 

Log aⁿ = n(Log a).

Logaritmo de una Raíz: es igual al logaritmo de la cantidad subradical divido entre el índice de la raíz. 

Log ⁿ√a = Log a /n.

2) Aplicar en todos los casos las propiedades que corresponda según el tipo de logaritmo que se aplique.

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Ejemplos:

a) Hallar el valor de 1215 * 0.84 por logaritmos.

> Aplicando la fórmula para Log de un producto:

Log  (1215 * 0.84) =

= Log 1215 + Log 0.84

= 3.084576 + ⁻1.924279

= (3-1)+(0.084576 + 0.924279) (Se suman las características por separado y luego se suman las mantisas también separadas; pero éstas como positivas.

= 2 + 1.008855    (Finalmente se suma el total de las características y la suma de las mantisas).

= 3.008855

> Se encuentra el antilogaritmo del resultado:

Antilog  3.008855 = 1,020.60 Solución

> Realizando la operación aritméticamente:

1,215 * 0.84 = 1,020.60

b) Hallar por logaritmos el valor de 3214.8 * 0.003 * (-43.76)

> En este caso el factor -43.76 se debe tomar como positivo; pero al resultado final se le pone el signo menos.

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto:

Log (3214.8 * 0.003* 43.76) =

Log 3214.8 + Log 0.003 + Log 43.76

= 3.507154 + ⁻3.477121 + 1.641077

= (3-3+1) + (0.507154 + 0.477121 +0.641077)

= 1 + 1.625352  = 2.625352

> Encontrando el Antilog del resultado:

Antilog  2.625352 = 422.0384 = -422.0384  Solución.

> Realizando la operación aritméticamente:

3214.8 * 0.003 * -43.76 = -422.0389

c) Hallar por logaritmos el valor de 0.765/39.14

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un cociente:

Log (0.765/39.14) =

= Log 0.765 – Log 39.14

= ⁻1.883661 – 1.592621

> Aplicamos el cologaritmo del sustraendo (1.592621) para convertir la operación en suma:

Colog 1.592621 = ⁻2.407379

> la operación quedaría así:

⁻1.883661 + ⁻2.407379 =

= (-1-2) + (0.883661 + 0.407379)

= ⁻3 + 1.29104

= ⁻2.29104

> Aplicando el Antilogaritmo del resultado:

Antilog  ⁻2.29104 = 0.019545   Solución.

> Resolviendo el cociente aritméticamente:

0.765/39.14 = 0.019545

d) Hallar por logaritmos el valor de (7.5)⁶

> Aplicando la fórmula para logaritmo de una potencia:

Log (7.5)⁶ =

6(Log 7.5) =

=6(0.875061)

= 5.250366

> Aplicando el Antilogaritmo del resultado:

Antilog  5.250366 = 177,977.868   Solución.

> Operando la potencia aritméticamente:

(7.5)⁶ = 177,978.515

Nota: Generalmente la diferencia entre el valor hallado por logaritmos y el valor aritmético se debe a que los logaritmos no son rigurosamente exactos, sino aproximados.

e) Hallar por logaritmos el valor de ⁵√3

> Aplicando la fórmula para el logaritmo de una raíz:

Log ⁵√3 =

(Log 3)/5

= 0.477121/5

= 0.095424

> Aplicando el antilogaritmo al resultado:

Antilog 0.095424 = 1.24573  Solución.

> Resolviendo la raíz aritméticamente:

⁵√3 = 1.24573

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Ejercicio 298.

Hallar el valor de las siguientes expresiones por medio de logaritmos:

1)  532 * 0.184

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un producto:

Log (532*0.184)

= Log 532 + Log 0.184

= 2.725912 + ⁻1.264818

= (2-1)+(0.725912+0.264818)

= 1 + 0.99073

= 1.99073

> Aplicando el antilogaritmo al resultado:

Antilog 1.99073 = 97.888  Solución.

> Resolviendo el producto aritméticamente:

532 * 0.184 = 97.888

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7) 8.125 ÷ 0.9324

> Aplicando la fórmula para logaritmo de un cociente:

Log (8.125 /0.9324)

= Log 8.125 – Log 0.9324 

= 0.909823 - ⁻1.969602

= 0.909823 + Colog ⁻1.969602

= 0.909823 + 0.030398

= 0.940221

> Aplicando el antilogaritmo al resultado:

Antilog 0.940221 = 8.7141  Solución.

> Resolviendo el cociente aritméticamente:

8.125 ÷ 0.9324 = 8.7141

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12)  0.15³

> Aplicando la fórmula para logaritmo de una potencia:

Log (0.15³) =

= 3(Log 0.15)

= 3(⁻1.823909)

= ⁻3.471727

= 0.003375    Solución.

< Resolviendo la potencia aritméticamente:

(0.15)³ = 0.003375

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19 )  ⁵√63

> Aplicando la fórmula para logaritmo de una raíz:

Log (⁵√63) =

= (Log 63)/5

= (1.799340)/5

= 0.359868

> El antilogaritmo del resultado es:

Antilog 0.359868 = 2.290   Solución.

> Resolviendo la raíz aritméticamente:

⁵√63 = 2.290

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Logaritmos.

Logaritmos.

Logaritmo de un número es el exponente a que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado.

Sistemas de Logaritmos: 

1) Logaritmos Vulgares o de Briggs: cuya base es 10. 

2) Logaritmos Naturales o de Neper, cuya base es el número indeterminado.

Propiedades Generales de los Logaritmos:

1) La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa.

2) Los números negativos no tienen logaritmo, porque siendo su base positiva, todas sus potencias pares o impares, serán positivas.

3) En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1. (Log b = 1)

4) En todo sistema el logaritmo de 1 es cero. (Log 1 = 0)

5) Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo, porque siempre serán mayores que 0.

6) Los números menores que 1 tiene logaritmo negativo, porque siempre serán menores que 0.

Logaritmo de un Producto: es igual a la suma de los logaritmos de los factores.  Log (a * b) = Log a + Log b

Logaritmo de un Cociente:  es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.  Log a/b = Loga – Log b.

Logaritmo de una Potencia: es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.  Log aⁿ = n(Log a).

Logaritmo de una Raíz: es igual al logaritmo de la cantidad subradical divido entre el índice de la raíz.  Log ⁿ√a = Log a /n.

Logaritmos Vulgares o de Briggs son aquellos cuya base es 10. Estos son los únicos números cuyos logaritmos son números enteros.

Log 1 = 0  ;  Log 10 = 1  ;  Log 100 = 2  ;  Log 1000 = 3  ; Etc.   y   Log 0.1 = ⁻1  ;  Log 0.01 = ⁻2  ;  Log 0.001= ⁻3 ; Etc.

Estructura de un logaritmo: (que  no sea de base 10)

Característica, que es la parte entera. ( 1.xxxxxx)

Mantisa, que es la parte decimal. (x.397940)

Valor de la Característica de un logaritmo. 

1) La característica del logaritmo de un número comprendido entre 1 y 10 es cero.

2) La característica del logaritmo de un número mayor que 10 es positiva y su valor absoluto es 1 menos que el número de cifras enteras del número.  125.8   -->  Característica es 2.

3) La característica del logaritmo de un número menor que 1 es negativa y su valor absoluto es 1 más que el número de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa decimal.   Log 0.07  -->  su característica es ⁻2.

Características negativas.

En Log de un número menor que 1 la característica es negativa, pero su mantisa siempre será positiva.  Al escribirse la característica negativa junto con su mantisa debe escribirse el 2  con una línea encima del ⁻2; y no -2.xxxxxx porque el signo a la par de la característica indicaría que la mantisa también es negativa.

Cologaritmo:

Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de su inverso.

El cologaritmo es usado para transformar la sustracción en adición, aplicando el cologaritmo al sustraendo y convertirlo en un sumando.

Regla: La característica del cologaritmo se obtiene agregando 1 a la característica dada y cambiándole luego de signo al resultado;  la mantisa se obtiene restando de 9 todas las cifras a partir del punto decimal, excepto la última cifra significativa, que se resta de 10.

Ejemplo:  Colog 3.472 = (3+1).(9-4)(9-7)(10-2) = 4.528 = ⁻4.528   (Este es el nuevo sumando)

Nota: Ver en próximas publicaciones la parte práctica de los Logaritmos.