Determinante de tercer orden.

La determinante de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, se representa en una matriz de tercer orden.:

Proceso para encontrar encontrar el valor de la determinante de tercer orden (D3) , mediante la Regla de Sarrus:

Se copian los coeficientes de cada término de la primera ecuación; luego los coeficientes de los términos de la segunda ecuación y por último los coeficientes de los términos de la tercera ecuación.

Seguidamente se copian los coeficientes de la primera y segunda fila, debajo de la tercera fila.

Con esto tenemos representada la matriz de la determinante del sistema de las tres ecuaciones con tres incógnitas.

Procedemos a realizar las operaciones que se describen a continuación, para encontrar la D3,

Procedimiento matemático:

Se multiplican las tres diagonales de izquierda a derecha empezando en la parte superior:
(1)(2)(3)+(-4)(-1)(-3)+(5)(-2)(1) = 6+(-12)+(-10) = 6-12-10 = -16

Se multiplican las tres diagonales de derecha a izquierda empezando en la parte superior:
(-3)(2)(5)+(1)(-1)(1)+(3)(-2)(-4) = -30 +(-1) +(24) = -30 -1 +24 = -7 --> Se cambia signo = 7

--> El primer producto se suma con el segundo:  -16 +(7) = -16+7 = -9  (determinante del sistema)

Este valor de la determinante del sistema se utilizará como denominador, para encontrar el valor de la determinante de cada una de las variables. Esto se aplicará en otro tema.

Ejemplo:
Resolver por la Regla de Sarrus:



Construyendo la matriz para encontrar el valor de la determinante de tercer orden:

 

Operando:

(-3)(1)(7)+(4)(8)(1)+(5)(-6)(-3) = -21+(32)+(90) = -21+32+90 = 101

(1)(1)(5)+(-3)(8)(-3)+(7)(-6)(4) = 5 +(72) +(-168) = 5+72-168 = -91 ( Signo cambiado = 91)

-->  D3 = 101+91 = 192   Solución.
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Ejercicio 187.
Hallar el valor de la determinante de:








Operando:

(1)(3)(2)+(1)(0)(1)+(1)(2)(4) = 6+0+8 = 14

(1)(3)(1)+(4)(0)(1)+(2)(2)(1) = 3+0+4 = 7 ( Signo cambiado = -7)

--> D3 = 14 -7 = 7   Solución.
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Operando:

(1)(-3)(5)+(1)(4)(-2)+(-1)(2)(3) = -15-8-6= -29

(-2)(-3)(-1)+(3)(4)(1)+(5)(2)(1) = -6+12+10 = 16  ( Signo cambiado = -16)

--> D3 = -29 -16 = -45   Solución.
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Operando:

(-3)(-3)(7)+(2)(2)(1)+(1)(4)(0) = 63+4+0= 67

(1)(-3)(1)+(0)(2)(-3)+(7)(4)(2) = -3+0+56 = 53  ( Signo cambiado = -53)

--> D3 = 67 -53 = 14   Solución.
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Operando:

(2)(-4)(4)+(3)(2)(-1)+(6)(5)(3) = -32-6+90= 52

(-1)(-4)(6)+(3)(2)(2)+(4)(5)(3) = 24+12+60 = 96  ( Signo cambiado = -96)

--> D3 = 52 -96 = -44   Solución.
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Operando:

(5)(5)(2)+(-2)(4)(-6)+(3)(-1)(3) = 50+48-9= 89

(-6)(5)(3)+(3)(4)(5)+(2)(-1)(-2) = -90+60+4 = -26  ( Signo cambiado = 26)

--> D3 = 89 +26= 115   Solución.
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Resolución gráfica de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Para representar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se debe encontrar el punto de intersección entre las dos rectas de las ecuaciones. Y la solución será los valores para "x" y para "y" de la coordenada del punto de intersección.

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Ejemplo a)
Resolver gráficamente el sistema:

x + y = 6
5x -4y = 12

A) x +y = 6
Si x = 0,  y = 6  --> Punto  (0,6)
Si y = 0,  x = 6  --> Punto  (6,0)

B) 5x -4y = 12
Si x = 0, -->  y = -3  --> Punto (0,-3)
Si y = 0,  --> x = 12/5 = 2 ²/₅ --> Punto (2 ²/₅,0)

Gráfica:

La intersección es (4,2), entonces
la Solución es: x = 4,  y = 2

Nota: Este tipo de recta solo coinciden en un punto, por lo tanto solo tiene una solución.

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Ejemplo b)
Resolver gráficamente el sistema:

4x +5y = -32
3x - 5y =  11

A) 4x +5y = -32
Si x = 0, --> y = -6²/₅ --> Punto (0, -6²/₅)
Si y = 0, --> x = -8    --> Punto (-8,0)

B) 3x -5y = 11
Si x = 0, --> y = -2¹/₅ --> Punto (0,-2¹/₅)
Si y = 0, --> x = 3²/₃  --> Punto (3²/₃,0)

Gráfica:

La intersección es (-3,-4), entonces
la Solución es: x = -3,  y = -4
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Ejemplo c)
Resolver gráficamente:

. x -2y = 6
2x -4y = 5

A)  x -2y = 6
Si x = 0, --> y = -3  --> Punto (0,3)
Si y = 0, --> x = 2¹/₂ --> Punto (2¹/₂,0)

B) 2x -4y = 5
Si x = 0, --> y = -1¹/₄  --> Punto (0,-1¹/₄)
Si y = 0, --> x = ²/₅     --> Punto (²/₅,0)

Gráfica:

Las rectas de estas ecuaciones no tienen intersección porque son paralelas.  Por lo tanto no tienen solución.
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Ejemplo d)
Resolver gráficamente:

. x -2y = 5

2x -4y = 10

A) x -2y = 5
Si x = 0, --> y = -2¹/₂  --> Punto (0,-2¹/₂)
Si y = 0, --> x =   5     --> Punto (5,0)

B) 2x -4y = 10
Si x = 0, --> y = -2¹/₂  --> Punto (0,-2¹/₂)
Si y = 0, --> x =   5     --> Punto (5,0)

Gráfica:

Las rectas son coincidentes, tienen infinitos puntos de coordenadas en común.  Están representadas gráficamente en la misma recta; porque las ecuaciones son equivalentes.

La intersección es en (infinitos puntos de las rectas)
La solución: equivalentes.
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Ejercicio 185
Resolver gráficamente:

7) 
A) x +8 = y +2
B) y  -4= x +2

> Pasando las ecuaciones a la forma x+y=c
A)  x  -y = -6
B) -x +y =  6

A) x -y = -6
Si x = 0, --> y =  6  --> Punto (0,6)
Si y = 0, --> x = -6 --> Punto (-6,0)

B) -x +y = 6
Si x = 0, --> y =  6 --> Punto (0,6)
Si y = 0, --> x = -6 --> Punto (-6,0)

Gráfica:

Solución: Equivalentes.

Las rectas tiene infinitos puntos de intersección comunes.

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10)
A)   x +3y =  6
B) 3x +9y = 10

A)   x +3y =  6
Si x = 0. --> y = 2 --> Punto (0,2)
Si y = 0, --> x = 6 --> Punto (6,0)

B) 3x +9y = 10
Si x = 0, --> y = 1¹/₉ --> Punto (0,1¹/₉)
Si y = 0, --> x = 3¹/₃ --> Punto ( 3¹/₃,0)

Gráfica:

Incompatibles. No tienen solución porque son paralelas y no tienen ningún punto en común.

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11)
A) 2x +3y = -13
B) 6x +9y = -39

A) 2x +3y = -13
Si x = 0, --> y = -4¹/₃ --> Punto (0,-4¹/₃)
Si y = 0. --> x = -6¹/₂ --> Punto (-6¹/₂,0)

B) 6x +9y = -39
Si x = 0, --> y = -4¹/₃ --> Punto (0,4¹/₃)
Si y = 0, --> x = -6¹/₂ --> Punto (-6¹/₂,0)

Gráfica:

Solución: Equivalentes.

Las rectas tiene infinitos puntos de intersección comunes.

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13) 

A) x + y =  9

B) x  - y = -1

C) x -2y = -6

A) x + y = 9

Si x = 0, --> y = 9 --> Punto (0,9)

Si y = 0, --> x = 9 --> Punto (9,0)

B) x  - y = -1

Si x = 0, --> y =  1 --> Punto (0,1)
Si y = 0, --> x = -1 --> Punto (-1,0)

C) x -2y = -6
Si x = 0, --> y =  3 --> Punto (0,3)
Si y = 0, --> x = -6 --> Punto (-6,0)

Gráfica:

La Solución es x = 4 , y = 5
El punto de intersección de las 3 ecuaciones es la coordenada (4,5)
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Ecuaciones simultáneas con incógnitas en los denominadores.

En estos casos desarrollamos los términos de las ecuaciones simultáneas, sin suprimir los denominadores, porque en ellos están las incógnitas.

Procedimiento:

1) Utilizamos un método de eliminación, en este caso el de Reducción, para una de las dos ecuaciones del sistema dado.

2) Eliminamos una de las variables para encontrar el valor de la otra.

3) El resultado lo simplificamos hasta encontrar el valor una de las variables.

4) Sustituimos el valor de la variable encontrada en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de la otra variable.

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Nota: Puedes verificar la solución, sustituyendo el valor de las dos variables encontrados en una o en las dos ecuaciones.

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Ejemplos:

a) Resolver el sistema:

10/x +9/y =2

7/x -6/y = 11/2

Igualamos los coeficientes de “y” para eliminar esa variable:

20/x +9/y =  2 (*2)

.7/x -6/y = 11/2 (*3)

20/x +18/y = 4

21/x -18/y = 33/2

41/x    0  = 41/2 (sumamos)

Despejamos hasta encontrar el valor de la otra variable “x”:

2(41) = x(41)

82 = 41x

x = 82/41

x = 2

Sustituimos el valor de la variable encontrada (x) en cualquiera de las ecuaciones, para encontrar el valor de la otras (y):

10/x +9/y = 2

10/2 +9/y = 2

Aplicando el mínimo común denominador:

y(10) +2(9) = 2y(2)

10y +18 = 4y

10y -4y = -18

6y = -18

y = -18/6 = -3

Solución: x = 2 , y = -3

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b) Resolver el sistema:

2/x +7/3y = 11

3/4x + 5/2y = 9

Aplicando método de reducción:

2/x +7/3y = 11 (por 3/4)

3/4x +5/2y = 9 ( por -2)

 3/2x + 7/4y = 33/4

-3/2x -  5 y = -18  

.     -13/4y = -39/4

m.c. denominador: 4y

1(-13) = y(-39)

-13 = -39/y

-13/-39 = y

⅓ = y

y = ⅓

2/x +7/3y = 11

2/x +7/ 3(1/3) = 11

2/x +7 = 11          m.c.d.: x

2 + x(7) = x(11)

2 = 11x -7x

2 = 4x

x = 2/4

x = ½

Solución: x = ½ , y = ⅓

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Ejercicio 182.

Resolver los sistemas:

1) 1/x +2/y = 7/6

.  2/x +1/y = 4/3

1/x +2/y = 7/6

2/x +1/y = 4/3 (-2)

 1/x +2y =  7/6

-4/x -2y = -8/3

-3/x     = -3/2

2(-3) = x(-3)

-6 = -3x

-6/-3 = x

x = 2

1/x +2/y = 7/6

½ +2/y = 7/6

3y +12 = 7y

3y -7y = -12

-4y = -12

y = -12/-4

y = 3

Solución: x =2 y=3

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4) 12/x +5/y = -13/2

. 18/x +7/y = -19/2

12/x +5/y = -13/2 (-7)

18/x +7/y = -19/2 (5)

-84/x -35/y = 91/2

 90/x +35/y = -95/2

. 6/x       = -2

6 = -2(x)

6/-2 = x

x = -3

12/x +5/y = -13/2

12/-3 +5/y = -13/2

-4 +5/y = -13/2

2y(-4) +2(5) = y(-13/2)

-8y +10 = -13y

-8y +13y = -10

5y = -10

y = -10/5

y = -2

Solución: x = -3 y =-2

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7) 9/x +10/y = -11

. 7/x -15/y = -4

9/x +10/y = -11 (-7)

7/x -15/y = -4  (9)

-63/x - 70/y = 77

63 /x -135/y = -36

.     -205/y = 41

-205 = y(41)

-205 = 41y

-205/41 = y

-5 = y

y = -5

9/x +10/y = -11

9/x +10/-5 = -11

9/x -2 = -11

9/x = -11+2

9/x = -9

9= -9(x)

9 = -9x

9/-9 = x

x = -1

Solución : x = -1 , y = -5

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