Determinante de tercer orden.

La determinante de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, se representa en una matriz de tercer orden.:

Proceso para encontrar encontrar el valor de la determinante de tercer orden (D3) , mediante la Regla de Sarrus:

Se copian los coeficientes de cada término de la primera ecuación; luego los coeficientes de los términos de la segunda ecuación y por último los coeficientes de los términos de la tercera ecuación.

Seguidamente se copian los coeficientes de la primera y segunda fila, debajo de la tercera fila.

Con esto tenemos representada la matriz de la determinante del sistema de las tres ecuaciones con tres incógnitas.

Procedemos a realizar las operaciones que se describen a continuación, para encontrar la D3,

Procedimiento matemático:

Se multiplican las tres diagonales de izquierda a derecha empezando en la parte superior:
(1)(2)(3)+(-4)(-1)(-3)+(5)(-2)(1) = 6+(-12)+(-10) = 6-12-10 = -16

Se multiplican las tres diagonales de derecha a izquierda empezando en la parte superior:
(-3)(2)(5)+(1)(-1)(1)+(3)(-2)(-4) = -30 +(-1) +(24) = -30 -1 +24 = -7 --> Se cambia signo = 7

--> El primer producto se suma con el segundo:  -16 +(7) = -16+7 = -9  (determinante del sistema)

Este valor de la determinante del sistema se utilizará como denominador, para encontrar el valor de la determinante de cada una de las variables. Esto se aplicará en otro tema.

Ejemplo:
Resolver por la Regla de Sarrus:



Construyendo la matriz para encontrar el valor de la determinante de tercer orden:

 

Operando:

(-3)(1)(7)+(4)(8)(1)+(5)(-6)(-3) = -21+(32)+(90) = -21+32+90 = 101

(1)(1)(5)+(-3)(8)(-3)+(7)(-6)(4) = 5 +(72) +(-168) = 5+72-168 = -91 ( Signo cambiado = 91)

-->  D3 = 101+91 = 192   Solución.
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Ejercicio 187.
Hallar el valor de la determinante de:








Operando:

(1)(3)(2)+(1)(0)(1)+(1)(2)(4) = 6+0+8 = 14

(1)(3)(1)+(4)(0)(1)+(2)(2)(1) = 3+0+4 = 7 ( Signo cambiado = -7)

--> D3 = 14 -7 = 7   Solución.
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Operando:

(1)(-3)(5)+(1)(4)(-2)+(-1)(2)(3) = -15-8-6= -29

(-2)(-3)(-1)+(3)(4)(1)+(5)(2)(1) = -6+12+10 = 16  ( Signo cambiado = -16)

--> D3 = -29 -16 = -45   Solución.
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Operando:

(-3)(-3)(7)+(2)(2)(1)+(1)(4)(0) = 63+4+0= 67

(1)(-3)(1)+(0)(2)(-3)+(7)(4)(2) = -3+0+56 = 53  ( Signo cambiado = -53)

--> D3 = 67 -53 = 14   Solución.
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Operando:

(2)(-4)(4)+(3)(2)(-1)+(6)(5)(3) = -32-6+90= 52

(-1)(-4)(6)+(3)(2)(2)+(4)(5)(3) = 24+12+60 = 96  ( Signo cambiado = -96)

--> D3 = 52 -96 = -44   Solución.
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Operando:

(5)(5)(2)+(-2)(4)(-6)+(3)(-1)(3) = 50+48-9= 89

(-6)(5)(3)+(3)(4)(5)+(2)(-1)(-2) = -90+60+4 = -26  ( Signo cambiado = 26)

--> D3 = 89 +26= 115   Solución.
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