Valor de una fracción decimal periódica.

.       0.18111…

Una fracción decimal periódica es la suma de una progresión geométrica decreciente infinita, y su valor puede hallarse por la fórmula S = a/1-r

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Procedimiento:

1) El número decimal del cual queremos obtener su valor, se descompone en una progresión geométrica decreciente infinita.

2) El primer término será una fracción equivalente a la posición que ocupe la primera cifra decimal en el número dado. ( 0.344 ≡ ³/₁₀)

3) El segundo término será una fracción equivalente a la posición que ocupe la segunda cifra decimal en el número dado. (0.344 ≡ ⁴/₁₀₀.  Y así sucesivamente hasta la última cifra que tenga el decimal dado.

4) Con las fracciones encontradas se forma una progresión geométrica decreciente infinita aplicando la respectiva fórmula para la suma.

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Ejemplos:

a) Hallar el valor de  0.333….

> Descomponiendo las cifras del decimal en fracciones:

0.333…. = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ….

> Formando un progresión geométrica decreciente infinita:

÷÷ ³/₁₀:³/₁₀₀:³/₁₀₀₀:….

> Elementos:  a= ³/₁₀   ;  r= ³/₁₀₀ ÷ ³/₁₀ = ¹/₁₀

>Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ³/₁₀/(1 - ¹/₁₀)

S = (³/₁₀) / (⁹/₁₀)

S = ⅓      Es el valor de 0.333….

b) Hallar el valor de 0.31515

> Descomponiendo las cifras del decimal en fracciones:

0.31515….  = ³/₁₀ + ¹⁵/₁₀₀₀ + ¹⁵/₁₀₀₀₀₀ + ….

> Formando una progresión geométrica decreciente infinita:

÷÷ ³/₁₀:¹⁵/₁₀₀₀:¹⁵/₁₀₀₀₀₀: ….

> En este caso ³/₁₀ no se toma como elemento de la progresión, porque no es cifra decimal periódica; pero a partir del segundo término en adelante si son cifras decimales periódicas (¹⁵/₁₀₀₀ y ¹⁵/₁₀₀₀₀₀);  y son estas fracciones las que se toman como términos para resolver la  progresión.

> Elementos:  a= ¹⁵/₁₀₀₀  ;  r = ¹⁵/₁₀₀₀₀₀ ÷ ¹⁵/₁₀₀₀ = ¹/₁₀₀

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ¹⁵/₁₀₀₀ / (1 - ¹/₁₀₀)

S = (¹⁵/₁₀₀₀) / (⁹⁹/₁₀₀)

S = ¹/₆₆  Es la suma del ¹⁵/₁₀₀₀+¹⁵/₁₀₀₀₀₀

> Entonces sumamos el valor de las fracciones periódicas con el valor de la fracción no periódica:

 ³/₁₀ + ¹/₆₆ = ⁵²/₁₆₅   es el valor de  0.31515….

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Ejercicio 296.

Hallar por la suma al infinito, el valor de los números decimales:

1) 0.666….

> Descomponiendo las cifras decimales en fracciones:

> 6/10 + 6/100 + 6/1000 + ….

> Formando una progresión geométrica decreciente infinita:

÷÷ ⁶/₁₀: ⁶/₁₀₀: ⁶/₁₀₀₀ : ….

> Elementos:  a= ⁶/₁₀  ;  r= ⁶/₁₀₀÷⁶/₁₀ = ¹/₁₀

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ⁶/₁₀ /(1-¹/₁₀)

S = (⁶/₁₀) / (⁹/₁₀)

S = ⅔    es el valor de 0.666

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2) 0.1212 ….

> Descomponiendo las cifras decimales en fracciones:

> 12/100 + 12/10000 + ….

> Formando una progresión geométrica decreciente infinita:

÷÷ ¹²/₁₀₀ :¹²/₁₀₀₀₀: ….

> Elementos:  a= ¹²/₁₀₀  ;  r= ¹²/₁₀₀₀₀÷¹²/₁₀₀= ¹/₁₀₀

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ¹²/₁₀₀ /(1 - ¹/₁₀₀)

S = (¹²/₁₀₀) /(⁹⁹/₁₀₀)

S = ⁴/₃₃    <-- Valor del número decimal 0.1212 ….

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7)  0.18111….

> Cambiando las cifras decimales periódicas y no periódicas a fracciones:

> ¹⁸₁₀₀ + ¹/₁₀₀₀ + ¹/₁₀₀₀₀ + ¹/₁₀₀₀₀₀ ….

> Formando una progresión geométrica infinita:

Se toma para la progresión geométrica a partir de ¹/₁₀₀₀, porque ahí es

donde empieza la cifra periódica:

÷÷¹/₁₀₀₀: ¹/₁₀₀₀₀; ¹/₁₀₀₀₀₀: ….

> Elementos:  a= ¹/₁₀₀₀  ;  r= ¹/₁₀₀₀₀÷¹/₁₀₀₀= ¹/₁₀

> Aplicando la fórmula a para la suma:

S = a/1-r

S= ¹/₁₀₀₀ /(1- ¹/₁₀)

S = (¹/₁₀₀₀)/(⁹/₁₀)

S = ¹/₉₀₀

Entonces se suma la fracción no periódica más la suma de

del valor de las fracciones periódica encontrada:

 ¹⁸/₁₀₀ + ¹/₉₀₀ = ¹⁶³/₉₀₀  <-- Es el valor de la cifra decimal dada.

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Suma de una progresión geométrica decreciente infinita-

.       S = a / 1-r

Esta se da cuando el número de términos de la progresión geométrica es infinito.

Cabe mencionar que la suma de este tipo de progresión tiende a un valor límite, pero la suma de los términos, nunca llega a ser igual al límite.  Aunque cuanto mayor sea el número de términos, más se aproxima la suma al valor límite.

Esta fórmula puede utilizarse para hallar el valor de una fracción decimal periódica (0.31515), que se verá en un tema posterior a este.

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Fórmula:

S = a/1-r  (Para una progresión geométrica infinita)

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Ejemplos:

a) Hallar la suma de la progresión ÷÷4:2:1….

> Elementos:  a=4  ;  r=2÷4= ½ ;  u=∞  ; n=∞

> Aplicando la fórmula respectiva:

S = a/1-r

S = 4/(1-½)

S = 4/½

S = 8  Solución.  (Límite de la suma)

b) Hallar la suma de la progresión infinita ÷÷5:-³/₂:⁹/₂₀….

> Elementos:  a=5  ;  r=-³/₂÷5=-³/₁₀  ;  u=∞  n=∞

> Aplicando la fórmula respectiva:

S = a/1-r

S = 5/[1-(-³/₁₀)]

S = 5/(1+³/₁₀)

S = 5/(¹³/₁₀)

S = ⁵⁰/₁₃

S = 3 ¹¹/₁₃   Solución. (Límite de la suma)

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Ejercicio 295.

Hallar la suma de las progresiones infinitas:

1) ÷÷2:½:⅛….

> Elementos:  a=2  ;  r= ½÷2= ¼   u=∞  ;  n=∞

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = 2/(1-¼)

S = 2/¾

S = ⁸/₃ = 2⅔  Límite de la suma.

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2) ÷÷½:¹/₆:¹/₁₈….

> Elementos:  a= ½  ;  r=¹/₆÷ ½= ⅓  ;  u=∞  ;  n=∞

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = ½/(1- ⅓)

S = ½ /⅔

S = ¾   Límite de la suma.

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3)  ÷÷-5:-2:-⅘….

> Elementos:  a = -5  ;  r=-2÷-5= ⅖  u=∞  ;  n=∞

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = a/1-r

S = -5/(1-⅖)

S = -5/⅗

S = -²⁵/₃ = -8⅓   Límite de la suma.

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Interpolación de medios geométricos.

. ÷÷96:?:?:?:?:3

Interpolar medios geométricos entre dos números es formar una progresión geométrica cuyos extremos sean los números dados.

Procedimiento:

1) Se encuentra la razón por medio de su fórmula.

2) Se calculan los medios geométricos que sean pedidos, multiplicando el primer término por la razón para encontrar el segundo término; luego se multiplica el segundo término por la razón para encontrar el tercer término, y así sucesivamente hasta encontrar los medios que se piden.

3) Se interpolan los medios geométricos encontrados entre los extremos dados, para formar la progresión geométrica.

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Ejemplo:

a) Interpolar 4 medios geométricos entre 96 y 3:

> Elementos:   a=96  ;  u=3  ;  n=4+2=6  ;  r=?

> Encontrando la razón (r):

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(3/96)

r = ⁵√(¹/₃₂)

r = ½ 

> Calculando los medios geométricos:

96(½) = 48

48(½) = 24

24(½) = 12

12(½) = 6

> Interpolando los medios encontrados:

÷÷96:48:24:12:6:3   Solución.

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Ejercicio 294.

1) Interpolar 3 medios geométricos entre 5 y 3125:

> Elementos:  a=5  ;  u= 3125  ;  n=3+2=5  ;  r=?

> Encontrando la razón:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁵⁻¹√(3125/5)

r = ⁴√625

r = 5

> Calculando los medios geométricos:

5(5) = 25

25(5) = 125

125(5) = 625

> Interpolando los medios geométricos:

÷÷5:25:125:625:3125   Solución.

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2) Interpolar 4 medios geométricos entre -7 y -224

> Elementos:  a=-7  ;  u=-224  ;  n=4+2=6  ;  r=?

> Encontrando la razón:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(-224/-7)

r = ⁵√32

r = 2

> Calculando los medios geométricos:

-7(2) = -14

-14(2) = -28

-28(2) = -56

-56(2) = -112

> Interpolando los medios geométricos:

÷÷-7:-14:-28:-56:-112:-224   Solución.

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4) Interpolar 4 medios geométricos entre 4 ¹/₂ y ¹⁶/₂₇

> Elementos:  a=4¹/₂=⁹/₂  ;  u =¹⁶/₂₇  :  n=4+2=6  ;  r=?

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(¹⁶/₂₇ / ⁹/₂)

r = ⁵√(³²/₂₄₃)

r = ⅔

> Calculando los medios geométricos:

(⁹/₂)(⅔) = 3

3(⅔) = 2

2(⅔) = ⁴/₃

(₄/₃)(⅔) = ⁸/₉

> Interpolando los medios geométricos:

÷÷4½:3:2:1⅓:⁸/₉:¹⁶/₂₇   Solución.

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Suma de los términos de una Progresión Geométrica.

.Fórmula:  S = ur-a /r-1

Procedimiento:

1) Se realizan las operaciones que sean necesarias para simplificar las cantidades de los términos.

2) Se encuentran los elementos que falten para aplicar la fórmula de la suma.

3) Se aplica la fórmula de la Suma.

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Fórmula:  S = ur-a /r-1

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Ejemplos:

a) Hallar la suma de los 6 primeros términos de 4:2:1….

> Elementos:  a = 4  ;  n = 6  ;  r =2÷4= ½  ;  u = ?

> Encontrando “u”

u = arⁿ⁻¹

u = 4(½)⁶⁻¹

u = 4(½)⁵

u = 4(¹/₃₂)

u =¹/₈

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = ur-a /r-1

S = (¹/₈)(½)-4 /½-1

S = (¹/₁₆)-4 /-½

S = (-⁶³/₁₆)/(-½)

S = ⁶³/₈ = 7 ⁷/₈  Solución.

b) Hallar la suma de los 8 primeros términos de 9:-3:1….

> Elementos: a = 9  ;  n = 8  ;  r=-3÷9=-⅓  ;  u = ?

> Encontrando “u”

u = arⁿ⁻¹

u = 9(-⅓)⁸⁻¹

u = 9(-⅓)⁷

u = 9(-¹/₂₁₈₇)

u = -¹/₂₄₃

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = ur-a /r-1

S = (-¹/₂₄₃)(-⅓)-9 /-⅓-1

S = (¹/₇₂₉)-9 /(-⁴/₃)

S = (-⁶⁵⁶⁰/₇₂₉)/(-⁴/₃)

S = 6 ¹⁸²/₂₄₃   Solución.

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Ejercicio 293.

1) Hallar la suma de los 5 primeros términos de 6:3:1½….

> Elementos:  a = 6  ;  n = 5  ;  r=3÷6= ½  ;  u =?

>Encontrando “u”

u = arⁿ⁻¹

u = 6(½)⁵⁻¹

u = 6(½)⁴

u = 6(¹/₁₆) = ⅜

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = ur-a /r-1

S = (⅜)(½)-6 / ½ -1

S = (³/₁₆)-6 / ½ -1

S = (-⁹³/₁₆)/(-½)

S = 11 ⁵/₈  Solución.

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2) Hallar la suma de los 6 primeros términos de 4:-8:16….

> Elementos:  a = 4  ;  n = 6  r=-8÷4= -2  ;  u =?

> Encontrando “u”:

u = arⁿ⁻¹

u = 4(-2)⁶⁻¹

u = 4(-2)⁵

u = 4(-32)

u = -128

> Aplicando la fórmula de  suma:

S = ur-a /r-1

S = (-128)(-2)-4 /(-2-1)

S = (256-4)/-3

S = 252/-3

S = -84  Solución.

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3) Hallar los 7 primeros términos de 12:4:1⅓….

> Elementos:  a=12  ;  n=7  ;  r=4÷12= ⅓  ; u=?

> Encontrando “u”:

u = arⁿ⁻¹

u = 12(⅓)⁷⁻¹

u = 12(⅓)⁶

u = (12)(¹/₇₂₉)

u = ⁴/₂₄₃

> Aplicando la fórmula de suma:

S = ur-a /r-1

S = (⁴/₂₄₃)(⅓)-12 /⅓-1

S = ⁴/₇₂₉ -12 /-²/₃

S = (-⁸⁷⁴⁴/₇₂₉)/-²/₃

S = 17 ²⁴¹/₂₄₃  Solución.

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4) Hallar los 10 primeros términos de ¼:½:1….

> Elementos:  a= ¼ ;  n=10  ;  r=½÷¼=2  ;  u=?

u = arⁿ⁻¹

u = ¼ (2)¹⁰⁻¹

u = ¼ (2)⁹

u = (¼)(512)

u = 128

> Aplicando la fórmula de suma:

S = ur-a /r-1

S = (128)(2)-¼ /2-1

S = 256-¼ /1

S = (¹⁰²³/₄)/1

S = 255 ³/₄  Solución.

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Primer término y razón de una Progresión Geométrica.

Procedimiento:

1) Se encuentran los elementos para aplicar la fórmula.

2) Se aplica la fórmula respectiva para encontrar el resultado.

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Fórmulas:  

Primer término:   a = u/rⁿ⁻¹

Razón:  r = ⁿ⁻¹√(u/a)

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Ejemplos:

a) El 6° término de una progresión geométrica es ¹/₁₆ y la razón es ½.  Hallar el primer término.

> Elementos:  u = ¹/₁₆  ;  n = 6  ;  r = ½

> Aplicando la fórmula:

a = u/rⁿ⁻¹

a = ¹/₁₆ /(½)⁶⁻¹

a = ¹/₁₆ /(½)⁵

a = (¹/₁₆)/(¹/₃₂)

a = 2  Solución.

b) El 1° término de una progresión geométrica es 3 y el 6° término  -729.  Hallar la razón:

> Elementos:  a = 3  ;  u = -729  ;  n = 6

> Aplicando la fórmula:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(-729/3)

r = ⁵√(-729/3)

r = ⁵√(-243)

r = -3   Solución.

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Ejercicio 292.

1) La razón de una progresión geométrica es ½ y el 7° término 1/64.  Hallar el primer término.

> Elementos:  u = 1/64  ;  n = 7  ;  r = ½

> Aplicando la fórmula para “a”:

a = u/rⁿ⁻¹

a = ¹/₆₄ /(½)⁷⁻¹

a = ¹/₆₄ /(½)⁶

a = ¹/₆₄ / ¹/₆₄

a = 1   Solución.

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3) El 5° término de una progresión geométrica es ¹⁶/₁₂₅ y el 6° término ³²/₆₂₅.  Hallar el 1° término.

> Elementos:  u = ³²/₆₂₅  ;  n = 6  ;  r=(³²/₆₂₅)÷(¹⁶/₁₂₅)=⅖

> Aplicando la fórmula:

a = u/rⁿ⁻¹

a = ³²/₆₂₅ /(⅖)⁶⁻¹

a = ³²/₆₂₅ /(⅖)⁵

a = (³²/₆₂₅)/(³²/₃₁₂₅)

a = 5   Solución.

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5) Hallar la razón de ÷÷ ⅓……..:243  de 7 términos.

> Elementos:  a = ⅓  :  u = 243  ;  n = 7

> Aplicando la fórmula:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁷⁻¹√(243/⅓)

r = ⁶√729

r = 3  Solución.

____________________________________________

7) Hallar la razón de ÷÷ ⁷²⁹/₂:……….:³/₂  de 6 términos.

> Elementos:  a = ⁷²⁹/₂  ;  u = ³/₂  ;  n = 6

> Aplicando la fórmula:

r = ⁿ⁻¹√(u/a)

r = ⁶⁻¹√(³/₂)/(⁷²⁹/₂)

r = ⁵√(¹/₂₄₃)

r = ⅓  Solución.

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Término enésimo de una Progresión Geométrica.

.     7° término de ÷÷ 3:2:4/3… .

Procedimiento:

1) Se encuentran los elementos para aplicar la fórmula

2) Se aplica la fórmula para encontrar el resultado.

Nota:  Para la Progresión Geométrica usaré como símbolo de la misma: ÷÷  

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Fórmula: u = arⁿ⁻¹

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Ejemplos:

a) Hallar el 5° término de ÷÷2:6:18….

> Elementos:  a = 2  ;  n = 5  : r = 6÷2 = 3

> Aplicando la fórmula:

u = arⁿ⁻¹

u = 2(3)⁵⁻¹

u = 2(3)⁴

u = 2(81)

u = 162    Solución.

b) Hallar el 8° término de ÷÷6:4….

> Elementos:  a = 6  ;  n = 8  ;  r = 4÷6 = 2/3

> Aplicando la fórmula:

u = 6(2/3)⁸⁻¹

u = 6(2/3)⁷

u = 6(128/2187)

u = 256/729   Solución.

c) Hallar el 7° término de ÷÷2/3:-1/2:3/8 ….

>  Elementos:  a = 2/3   n = 7  r = -1/2÷2/3 = -3/4

> Aplicando la fórmula:

u = 2/3(-3/4)⁷⁻¹

u = 2/3(-3/4)⁶

u = (2/3)(729/4096)

u = 243/2048    Solución.

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Ejercicio 291.

1) Hallar el 7° término de ÷÷3:6:12 ….

> Elementos:  a = 3  ;  n = 7  ;  r = 6÷3= 2

> Aplicando la fórmula:

u = 3(2)⁷⁻¹

u = 3(2)⁶

u = 3(64)

u = 192  Solución.

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3) Hallar el 9° término de ÷÷8:4:2 ….

> Elementos:  a = 8  ;  n = 9  ;  r =4÷8= ½

> Aplicando la fórmula:

u = 8(½)⁹⁻¹

u = 8(½)⁸

u = 8(1/256)

u = 1/32   Solución.

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6) Hallar el 6° término de ÷÷½:⅕ ….

> Elementos:  a = ½  ;  n = 6  ;  r = ⅕÷½= ⅖

> Aplicando la fórmula:

u = ½(⅖)⁶⁻¹

u = ½(⅖)⁵

u = ½(32/3125)

u = 16/3125   Solución.

____________________________________________

8) Hallar el 6° término de  ÷÷-3:6:-12….

> Elementos:  a = -3  ;  n = 6   ;  r=6÷-3= -2

> Aplicando la fórmula:

u = -3(-2)⁶⁻¹

u = -3(-2)⁵

u = -3(-32)

u = 96   Solución.

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11) Hallar el 8° término de ÷÷16:-4:1….

> Elementos:  a = 16  ;  n = 8  ;  r=-4÷16= -¼

> Aplicando la fórmula:

u = 16(-¼)⁸⁻¹

u = 16(-¼)⁷

u = 16(-1/16384)

u = -1/1024  Solución.

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Interpolación en una progresión aritmética.

. ÷3. ? . ? . ? . 11  |? Medios Aritméticos.

Procedimiento:

1) Se halla la razón por medio de la fórmula, tomando en cuenta que “n” será igual a los medios aritméticos que se piden más los extremos (primero y último términos) que son dados.

2) La razón que resulta se suma al primer término para obtener el segundo; luego la razón se suma al segundo término para obtener el tercero, y así sucesivamente, hasta completar la cantidad de medio aritméticos que se piden.

3) Se interpolan los medios aritméticos entre los extremos dados para formar la progresión aritmética.

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Ejemplos:

a) Interpolar 4 medios aritméticos entre 1 y 3.

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = 1  ;   u = 3   ;  n = 2+4 = 6

> Aplicando la fórmula para la razón:

r = u-a /n-1

r = 3-1 /6-1

r = ²̷₅

> Calculando los medios aritméticos:

1 + ²̷₅ = 1²̷₅       2° término

1²̷₅ + ²̷₅ = 1⁴̷₅    3° término

1⁴̷₅ + ²̷₅ = 2¹̷₅    4° término

2¹̷₅ + ²̷₅ = 2³̷₅    5° término

> Interpolando los medios aritméticos:

÷1. 1²̷₅. 1⁴̷₅. 2¹̷₅. 2³̷₅. 3    Solución.

b) Interpolar 5 medios aritméticos entre -2 y 5¼

> Encontrando la razón:

Elementos: a = -2  ;  u = 5¼ ; n = (2+5) = 7

r = u-a /n-1

r = 5¼ -(-2) /7-1

r = 5¼+2 /6

r = 7¼/6

r = 29/24

> Calculando los medios aritméticos:

-2 + ²⁹̷₂₄ = -¹⁹̷₂₄      Segundo término

-¹⁹̷₂₄ + ²⁹̷₂₄ = ¹⁰̷₂₄   Tercer término

¹⁰̷₂₄ + ²⁹̷₂₄ = ³⁹̷₂₄    Cuarto término

³⁹̷₂₄ + ²⁹̷₂₄ = ⁶⁸̷₂₄    Quinto término

⁶⁸̷₂₄ + ²⁹̷₂₄ = ⁹⁷̷₂₄    Sexto término

> Simplificando e interpolando los medios aritméticos:

÷-2. -¹⁹̷₂₄. ¹⁰̷₂₄. ³⁹̷₂₄. ⁶⁸̷₂₄. ⁹⁷̷₂₄. 5¼

÷-2. -¹⁹̷₂₄. ⁵̷₁₂. 1⁵̷₈. 2⁵̷₆. 4¹̷₂₄. 5¼    Solución.

____________________________________________

Ejercicio 289.

Interpolar:

1)  3 medios aritméticos entre 3 y 11

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = 3  ;  u = 11  ;  n = 5

r = u-a /n-1

r = 11-3 /5-1

r = 8/4

r = 2

> Calculando los medios aritméticos:

3+2 = 5   Segundo término

5+2 = 7   tercer término

7+2 = 9   cuarto término

> Interpolando los medios aritméticos:

÷3. 5. 7. 9. 11   Solución.

__________________________________________

2) 7 medios aritméticos entre 19 y -5

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = 19   ;  u = -5   ;  n = 9

r = u-a /n-1

r = -5-(19) /9-1

r = -5-19 / 8

r = -24/8

r = -3

> Calculando los medios aritméticos:

19-3 = 16   segundo término

16-3 = 13   tercer término

13-3 = 10   cuarto término

10-3 = 7     quinto término

7-3 = 4       sexto término

4-3 = 1       séptimo término

1-3 = -2      octavo término

> Interpolando los medios aritméticos:

÷19. 16. 13. 10. 7. 4. 1. -2. -5    Solución.

____________________________________________

3) 5 medios aritméticos entre -13 y -73

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = -13   ;   u = -73   ; n = 7

r = u-a /n-1

r = -73-(-13) /7-1

r = -73+13 /6

r = -60/6

r = -10

> Calculando los medios aritméticos:

-13-10 = -23

-23-10 = -33

-33-10 = -43

-43-10 = -53

-53-10 = -63

> Interpolando los medios aritméticos:

÷-13. -23. -33. -43. -53. -63. -73    Solución

___________________________________________

4)  4 medios aritméticos entre -32 y 53

> Encontrando la razón:

Elementos:  a = -32  ;  u = 53  ;  n = 6

r = 53-(-32) /6-1

r = 53+32 /5

r = 85/5

r = 17

> Calculando los medios aritméticos:

-32+17 = -15

-15+17 = 2

2+17 = 19

19+17 = 36

> Interpolando los medios aritméticos:

÷-32. -15. 2. 19. 36. 53   Solución.

____________________________________________

11)  5 medios aritméticos entre 2/3 y -1/8

> Encontrando la razón:

Elementos:  a= 2/3  ;  u = -1/8  ;  n = 7

r =  -1/8 -(2/3) / 7-1

r = -1/8 -2/3 / 6

r = -19/24 /6

r = -19/144

> Calculando los medios aritméticos:

2/3 -19/144 = 77/144

77/144 -19/144 = 29/72

29/72 -19/144 = 13/48

13/48 -19/144 = 5/36

5/36 -19/144 = 1/144

> Interpolando los medios aritméticos:

÷2/3 . 77/144 . 29/72 . 13/48 . 5/36 . 1/144 . -1/8   Solución

____________________________________________

Suma de los términos de una progresión aritmética.

.        Suma: S = (a+u)n /2

Procedimiento:

1) Se realizan las operaciones que sean necesarias para simplificar las cantidades de los términos.

2) Se encuentran los elementos que falten para aplicar la fórmula de la suma.

3) Se aplica la fórmula de la Suma.

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Fórmula:   S = (a+u)n /2

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Ejemplos:

a) Hallar la suma de los 12 primeros términos de ÷7.13.19… .

> Hallando los elementos para aplicar la fórmula de la suma:

a = 7   ;    n = 12    ;  r = 6

> Como el valor del último término (u), no se sabe,

se procede a encontrarlo por medio de su fórmula:

u = a+(n-1)r

u = 7+(12-1)(13-7)

u = 7+(11)(6)

u = 7+66 = 73

> Teniendo el valor de todos los elementos que intervienen en la fórmula

se procede a aplicarla:

S = (a+u)n /2

S=  (7+73)(12) /2

S = (80)(12) /2

S = 960/2

S = 480    Solución.

b) Hallar la suma de los 13 primeros términos de ÷5/6.1/12… .

> Hallando los elementos para la fórmula de la suma:

a = 5/6   ;    n = 13    ;  r = -9/12 

> Como el valor del último término “u”, no se sabe,

se procede a encontrarlo por medio de su fórmula:

u = a+(n-1)r

u = 5/6+(13-1)(1/12 – 5/6)

u = 5/6+(12)(– 3/4)

u = 5/6+(-9) = 5/6 -9 =

u = -49/6

> Teniendo todos los elementos que intervienen en

la fórmula de la suma, se procede a aplicarla:

S = (a+u)n /2

S = [5/6 +(-49/6)](13)/2

S = [5/6 -49/6)](13) /2

S = (-22/3)(13)/2

S = -286/3  /2

S = -143/3 = -47 ²/₃   Solución.

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Ejercicio 288.

1) Hallar la suma de los 8 primeros términos de ÷15.19.23….

> Hallando los elementos de la fórmula de la suma:

a = 15   ;  n = 8   ;  r = 4

> Hallando antes el valor del último término:

u = a+(n-1)r

u = 15+(8-1)(19-15)

u = 15+(7)(4)

u = 43

> Aplicando la fórmula de la suma:

S = (a+u)n /2

S = (15+43)(8) /2

S = (58)(8) /2

S = 464/2 = 232   Solución.

____________________________________________________

4) Hallar la suma de los 80 primeros términos de ÷-10.-6.-2….

> Hallando los elementos para la suma:

a = -10   ;   n = 80   ;   r = 4

> Encontrando el valor “u”:

u = a+(n-1)r

u = -10+(80-1)(-6 –(-10))

u = -10+(79)(-6+10)

u = -10+(79)(4)

u = -10 +316

u = 306

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = (-10+306)80 /2

S = (296)80 /2

S = 23680/2 = 11840  Solución.

___________________________________________________

8) Hallar la suma de los 14 primeros términos de ÷3/10. 2/5. 1/2….

> Convirtiendo las fracciones a un mismo denominador:

÷3/10. 4/10. 5/10

> Encontrando los elementos para la fórmula de suma:

a = 3/10   ;  n = 14  ;   r = 1/10

> Encontrando el valor del “u”

u = 3/10+(14-1)(4/10-3/10)

u = 3/10+(13)(1/10)

u = 3/10+13/10 = 16/10

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = (3/10+16/10)(14)/2

S = (19/10)(14)/2

S = (133/5)/2 = 133/10 = 13³̷₁₀   Solución

____________________________________________

11) Hallar los primeros 11 términos de ÷2¹̷₃. 3²̷₁₅….

> Convirtiendo las fracciones a un mismo denominador:

÷35/15. 47/15….

> Encontrando los elementos para la suma:

a = 35/15  ;  n =11   ;  r = 12/15

> Encontrando el valor de “u”:

u = 35/15+(11-1)(47/15 – 35/15)

u = 35/15+(10)(12/15)

u = 35/15+120/15

u = 155/15 = 31/3

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = (35/15+155/15)(11)/2

S = (190/15)(11) /2

S = 418/3 /2 = 69²̷₃   Solución

Primer término, razón y número de términos de una progresión aritmética.

Primer término:  a = u-(n-1)r 

Razón: r = u-a / n-1

Número de términos: n = u-a+r /r 

Procedimiento:

Se encuentra el primer término, la razón y el número de términos por medio de su respectiva fórmula.

1) Se efectúan las operaciones necesarias para simplificar los números de la progresión, si fuera necesario.

2) Se hallan los elementos que intervienen en la fórmula.

3) Se aplica la fórmula respectiva.

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Fórmulas:

a = u-(n-1)r     <-- Primer término

r = u-a / n-1   <-- Razón

n = u-a+r /r    <-- Número de términos

_____________________________________________ 

Ejemplos:

a) Hallar el primer término de una progresión aritmética sabiendo que el 11° término es 10 y la razón ½.

> Hallando los elementos:

u = 10  ;  r = ½  ;  n = 11

> Utilizando la fórmula para “a”:

a = u-(n-1)r

a = 10-(11-1)(1/2)

a = 10-(10)(1/2)

a = 10-(5)

a = 5   Solución.

b) Hallar la razón de una progresión aritmética cuyo primer término es –¾ y el 8° término es 3¹̷₈:

> Convirtiendo –¾ en octavos  = -⁶̷₈

.  convirtiendo 3¹̷₈ en octavos = ²⁵̷₈

> Hallando los elementos:

a = -⁶̷₈  ;  u = ²⁵̷₈  ;   n = 8

> Utilizando la fórmula para “r”:

r = u-a/n-1

r = ²⁵̷₈-(-⁶̷₈) /8-1

r = (²⁵̷₈+⁶̷₈) /7

r = ³¹̷₈ /7

r = ³¹̷₅₆  Solución.

c) ¿Cuántos términos tiene la progresión  ÷2.1²̷₃……….-4¹̷₃?

> Convirtiendo los elementos a fracciones impropias:

2 = ⁶̷₃

1²̷₃ = ⁵̷₃

-4¹̷₃ = -¹³̷₃

> Hallando los elementos:

u = -¹³/₃

a = ⁶̷₃

r = ⁵̷₃-⁶̷₃ = -¹̷₃

> Utilizando la fórmula:

n = u-a+r /r

n = -¹³/₃-(⁶̷₃)+(-¹̷₃)/-¹̷₃

n = (-¹³/₃-⁶̷₃-¹̷₃)/-¹̷₃

n = -²⁰̷₃ / -¹̷₃

n = 20  Solución.

____________________________________________

Ejercicio 287.

1) El 15° término de una progresión aritmética es 20 y la razón es ²̷₇.  Hallar el 1° término.

> Hallando los elementos:

u = 20    ;   n = 15   ;   r = ²̷₇

> Utilizando la fórmula:

a = u-(n-1)r

a = 20 -(15-1)(²̷₇)

a = 20 -(14)(²̷₇)

a = 20 -(4)

a = 16   Solución.

____________________________________________

2) El 32° término de una progresión aritmética es -18 y la razón es 3.  Hallar el 1° término.

> Hallando los elementos:

u = -18   ;   n = 32  ;   r = 3

> Utilizando  la fórmula:

a = u-(n-1)r

a = -18-(32-1)(3)

a = -18-(31)(3)

a = -18-(93)

a = -111    Solución.

_________________________________________________

5) Hallar la razón de ÷3………8   donde 8 es el 6° término:

> Hallando los elementos:

a = 3   ;  u = 8   ;  n = 6

> Utilizando la fórmula:

r = u-a /n-1

r = 8-(3) /6-1

r = 8-3 /5

r = 5/5

r = 1   Solución.

_________________________________________________

6) Hallar la razón de ÷-1………-4  donde -4 es el 10° término:

> Hallando los elementos:

u = -4    ;    a = -1      ;   n = 10

> Utilizando la fórmula:

r = u-a /n-1

r = -4-(-1) / 10-1

r = -4+1) / 9

r = -3 / 9

r = - ¹̷₃   Solución.

_________________________________________________

11) ¿Cuántos términos tiene la progresión  ÷5.5¹̷₃ . ....18?

> Hallando los elementos:

u = 18   ;  a = 5   ;  r =  5¹̷₃- 5 = ¹̷₃

> Utilizando la fórmula:

n = u-a+r /r

n = 18-(5)+( ¹̷₃) /¹̷₃

n = 18-5+¹̷₃ /¹̷₃

n = ⁴⁰̷₃ /¹̷₃

n = 40   Solución.

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Término enésimo de una progresión aritmética.

.   12º término (u) de ÷11.6.1....  = -44 

El término enésimo (u) es igual al primer término (a) más el producto del número de términos menos 1 (n-1) por la razón (r).

u = a+(n-1)r

Símbolo de una Progresión Aritmética (÷)

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Ejemplos:

a) Hallar el 15° término de ÷ 4.7.10….

Los elementos son:

a = 4   ;   n = 15   ;    r = 3

Como cada término siguiente va en aumento o sea creciente la razón se suma (4+3=7)

Utilizando la fórmula:

u = a+(n-1)r

u = 4+(15-1)3

u = 4+(14)(3)

u = 4+42

u = 46   Solución: enésimo término.

b) Hallar el 23° término de ÷ 9.4.-1….

Los elementos son:

a = 9  ;  n = 23  ;  r = -5

Como cada término siguiente va disminuyendo o sea decreciente, la razón es resta (9-5=4)

Utilizando la fórmula:

u = a+(n-1)r

u = 9+(23-1)-5

u = 9+(22)(-5)

u = 9+(-110)

u = -101    Solución.

c) Hallar el 38° término de  ÷2/3. 3/2. 7/3….

Los elementos son:

a = 2/3  ;   n = 38   ;   r = 5/6

En este caso la razón se encuentra restando el segundo término del primero: 3/2 -2/3 = 5/6, 

y luego se comprueba la razón sumando al primer término la razón; al segundo término se suma la misma razón y así sucesivamente: 2/3 + 5/6 = 3/2;   y   3/2 + 5/6 = 7/3

Utilizando la fórmula:

u = a+(n-1)r

u = 2/3+(38-1)(5/6)

u = 2/3 + (37)(5/6)

u = 2/3 + 185/6

u = 63/2

u = 31 ½   Solución.

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Ejercicio 286.

1) Hallar el 9° término de ÷7.10.13

> Hallando los elementos:

a = 7  ;  n = 9  ;  r = 3

> Utilizando la fórmula:

u = a+(n-1)r

u = 7+(9-1)(3)

u = 7+(8)(3) = 7+24

u = 31  Solución.

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4) Hallar el 63° término de  ÷3.10.17….

> Hallando los elementos:

a = 3  ;  n = 63  ;  r = 7

> Utilizando la fórmula:

u = 3+(63-1)(7)

u = 3+(62)(7) = 3+434

u = 437   Solución

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7) Hallar el 13° término de ÷3.-1.-5….

> Hallando los elementos:

a = 3  ;  n = 13  ;  r = -4

> Utilizando la fórmula:

u = 3+(13-1)(-4)

u = 3+(12)(-4) = 3+(-48)

u = -45   Solución

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11) Hallar el 12° término de  ÷½. ¾.1….

> Hallando los elementos:

a = ½   ;   n = 12   ;  r = ¼

> Utilizando la fórmula:

u = ½+(12-1)(¼)

u = ½+(11)(¼) = ½+11/4

u = 13/4 = 3¼   Solución.

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16) Hallar el 36° término de  ÷7/9. 1/3….

> Convirtiendo las fracciones a un mismo denominador:

1/3 por 3/3 = 3/9

y la progresión sería:  ÷7/9. 3/9….

> Hallando los elementos:

a = 7/9  ;  n = 36   ;  r = -4/9

> Utilizando la fórmula:

u = 7/9+(36-1)(-4/9)

u = 7/9+(35)(-4/9)

u = 7/9+(-140/9)

u = -133/9 = -14⁷̷₉  Solución

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