Suma de los términos de una progresión aritmética.

.        Suma: S = (a+u)n /2

Procedimiento:

1) Se realizan las operaciones que sean necesarias para simplificar las cantidades de los términos.

2) Se encuentran los elementos que falten para aplicar la fórmula de la suma.

3) Se aplica la fórmula de la Suma.

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Fórmula:   S = (a+u)n /2

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Ejemplos:

a) Hallar la suma de los 12 primeros términos de ÷7.13.19… .

> Hallando los elementos para aplicar la fórmula de la suma:

a = 7   ;    n = 12    ;  r = 6

> Como el valor del último término (u), no se sabe,

se procede a encontrarlo por medio de su fórmula:

u = a+(n-1)r

u = 7+(12-1)(13-7)

u = 7+(11)(6)

u = 7+66 = 73

> Teniendo el valor de todos los elementos que intervienen en la fórmula

se procede a aplicarla:

S = (a+u)n /2

S=  (7+73)(12) /2

S = (80)(12) /2

S = 960/2

S = 480    Solución.

b) Hallar la suma de los 13 primeros términos de ÷5/6.1/12… .

> Hallando los elementos para la fórmula de la suma:

a = 5/6   ;    n = 13    ;  r = -9/12 

> Como el valor del último término “u”, no se sabe,

se procede a encontrarlo por medio de su fórmula:

u = a+(n-1)r

u = 5/6+(13-1)(1/12 – 5/6)

u = 5/6+(12)(– 3/4)

u = 5/6+(-9) = 5/6 -9 =

u = -49/6

> Teniendo todos los elementos que intervienen en

la fórmula de la suma, se procede a aplicarla:

S = (a+u)n /2

S = [5/6 +(-49/6)](13)/2

S = [5/6 -49/6)](13) /2

S = (-22/3)(13)/2

S = -286/3  /2

S = -143/3 = -47 ²/₃   Solución.

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Ejercicio 288.

1) Hallar la suma de los 8 primeros términos de ÷15.19.23….

> Hallando los elementos de la fórmula de la suma:

a = 15   ;  n = 8   ;  r = 4

> Hallando antes el valor del último término:

u = a+(n-1)r

u = 15+(8-1)(19-15)

u = 15+(7)(4)

u = 43

> Aplicando la fórmula de la suma:

S = (a+u)n /2

S = (15+43)(8) /2

S = (58)(8) /2

S = 464/2 = 232   Solución.

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4) Hallar la suma de los 80 primeros términos de ÷-10.-6.-2….

> Hallando los elementos para la suma:

a = -10   ;   n = 80   ;   r = 4

> Encontrando el valor “u”:

u = a+(n-1)r

u = -10+(80-1)(-6 –(-10))

u = -10+(79)(-6+10)

u = -10+(79)(4)

u = -10 +316

u = 306

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = (-10+306)80 /2

S = (296)80 /2

S = 23680/2 = 11840  Solución.

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8) Hallar la suma de los 14 primeros términos de ÷3/10. 2/5. 1/2….

> Convirtiendo las fracciones a un mismo denominador:

÷3/10. 4/10. 5/10

> Encontrando los elementos para la fórmula de suma:

a = 3/10   ;  n = 14  ;   r = 1/10

> Encontrando el valor del “u”

u = 3/10+(14-1)(4/10-3/10)

u = 3/10+(13)(1/10)

u = 3/10+13/10 = 16/10

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = (3/10+16/10)(14)/2

S = (19/10)(14)/2

S = (133/5)/2 = 133/10 = 13³̷₁₀   Solución

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11) Hallar los primeros 11 términos de ÷2¹̷₃. 3²̷₁₅….

> Convirtiendo las fracciones a un mismo denominador:

÷35/15. 47/15….

> Encontrando los elementos para la suma:

a = 35/15  ;  n =11   ;  r = 12/15

> Encontrando el valor de “u”:

u = 35/15+(11-1)(47/15 – 35/15)

u = 35/15+(10)(12/15)

u = 35/15+120/15

u = 155/15 = 31/3

> Aplicando la fórmula para la suma:

S = (35/15+155/15)(11)/2

S = (190/15)(11) /2

S = 418/3 /2 = 69²̷₃   Solución