Descomponer un trinomio en factores, hallando las raíces.

Descomponer un trinomio en factores, hallando las raíces.

1) Se iguala el trinomio a cero y se hallan las raíces de la ecuación x₁ , x₂.

2) Se descompone el trinomio en tres factores:

a) El coeficiente de x².

b) “x” menos una de las raíces.

c) “x” menos la otra raíz.

3) Se simplifican los paréntesis.  

4) Se dividen los factores entre el coeficiente de x².

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Ejemplos:

a) Descomponer en factores el trinomio  6x²+5x-4

> Igualando a cero el trinomio

6x²+5x-4 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(5)±√(5)²-4(6)(-4)]/2(6)

x = [-5±√25+96]/12

x = [-5±√121]/12

x = [-5±11]/12

–>

x₁ = (-5+11)/12 = 6/12 = ½

x₂ = (-5-11)/12 = -16/12 = -4/3

> Descomponiendo la ecuación en factores:

6x² +5x -4

= 6(x-1/2)(x-(-4/3)

= 6(x-1/2)(x +4/3)

> Simplificando los  paréntesis y dividiendo

Los factores entre el coeficiente de x²

= 6(2x-1)(3x +4)

.            6

> Eliminando el 6 del numerador y el denominador:

(2x -1)(3x +4)     Solución.

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b) Descomponer en factores el trinomio 24x²+26x+5

> Igualando a cero el trinomio:

24x²+26x+5 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(26)±√(26)²-4(24)(5)]/2(24)

x = [-26±√676-480]/48

x = [-26±√196]/48

x = [-26±14]/48

–>

x₁ = (-26+14)/48 = -12/48 = – ¼

x₂ = (-26-14)/48 = -40/48 = – 5/6

> Descomponiendo la ecuación en factores:

24x²+26x+5 = 0

= 24[x-(-1/4)][x-(-5/6)]

= 24(x +1/4)(x +5/6)

> Simplificando los paréntesis

= 24(4x+1)(6x+5)

> Dividiendo los factores entre el coeficiente de x²

= 24(4x+1)(6x+5)

.          24

(4x+1)(6x+5)    Solución.

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c) Descomponer en factores el trinomio 4+7x-15x²

> Ordenando el trinomio e igualándolo a cero y

cambiando el signo a los términos.

-15x²+7x+4 = 0

15x²-7x-4 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-7)±√(-7)²-4(15)(-4)]2(15)

x = [7±√49+240]/30

x = [7±√289]/30

x = [7±17]/30

–>

x₁ = (7+17)/30 = 24/30 = 4/5

x₂ = (7-17)/30 = -10/30 = – 1/3

> Descomponiendo la ecuación en factores:

-15x²+7x+4 = 0

= -15[x-(4/5)][x-(-1/3)

= -15(x -4/5)(x +1/3)

> Simplificando los paréntesis y dividiendo

Entre el coeficiente de x²

= -15(5x-4)( 3x+1)

.          15

> Eliminando el 15 del numerador y el denominador:

= -(5x-4)(3x+1)

= (-5x+4)(3x+1)          <– * Ver nota

= (4-5x)(1+3x)     Solución.

* Nota: Como el primer factor –(5x+4), tiene un signo “-“ antes del paréntesis, se elimina cambiándole el signo a lo que está dentro y luego se cambia de orden de los elementos para dejar de primero el elemento positivo; como  consecuencia se cambia el orden de los elementos del otro factor (3x+1), pero estos sin cambiarles el signo.   

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Ejercicio 280.

Descomponer en factores, hallando las raíces:

1) x²-16x+63

> Igualando a cero el trinomio:

x²-16x+63 =  0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-16)±√(-16)²-4(1)(63)]/2(1)

x = [16±√256-252]/2

x = [16±√4]/2

x = [16±2]/2

–>

x₁ = (16+2)/2 = 18/2 = 9

x₂ = (16-2)/2 = 14/2 = 7

> Descomponer la ecuación en factores:

x²-16x+63 =  0

= 1(x-9)(x-7)

= (x-9)(x-7)     Solución.

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3) x²-26x-155

 > Igualando el trinomio a cero:

x²-26x-155 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-26)±√(-26)²-4(1)(-155)]/2(1)

x = [26±√676+620]/2

x = [26±√1296]/2

x = [26±36]/2

–>

x₁ = (26+36)/2 = 62/2 = 31

x₂ = (26-36)/2 = -10/2 = -5

> Descomponiendo el trinomio en factores:

x²-26x-155

= 1(x-31)(x-(-5))

= (x-31)(x+5)   Solución.

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8) 12x²-25x+12

> Igualando el trinomio a cero:

12x²-25x+12 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-25)±√(-25)²-4(12)(12)]/2(12)

x = [25±√(625-576]/24

x = [25±√49]/24

x = [25±√7]/24

–>

x₁ = (25+7)/24 = 32/24 = 4/3

x₂ = (25-7)/24 = 18/24 = ¾

> Descomponiendo el trinomio en factores:

12x²-25x+12

= 12(x – 4/3)(x – 3/4)

> Simplificando los paréntesis y dividiendo

Entre el coeficiente de x²:

12(3x-4)(4x-3)

.          12

> Eliminando 12 del numerador y el denominador:

(3x-4)(4x-3)   Solución.

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11) 30x²-61x+30

> Igualando el trinomio a cero:

30x²-61x+30 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-61)±√(-61)²-4(30)(30)]/2(30)

x = [61±√3721-3600]/60

x = [61±√121]/60

x = [61±11]/60

–>

x₁ = (61+11)/60 = 72/60 = 6/5

x₂ = (61-11)/60 = 50/60 = 5/6

> Descomponiendo el trinomio en  factores:

30x²-61x+30

30(x -6/5)(x -5/6)

> Simplificando el paréntesis y dividiendo

entre el coeficiente de x²

30(5x-6)(6x-5)

.         30

> Eliminando el 30 del numerador y el denominador:

(5x-6)(6x-5)   Solución.

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16) 4+13x-12x²

> Ordenando el trinomio e igualándolo a cero:

-12x²+13x+4 = 0

12x²-13x-4 = 0

> Hallando las raíces de la ecuación:

x = [-(-13)±√(-13)²-4(12)(-4)]/2(12)

x = [13±√169+192]/24

x = [13±√361]/24

x = [13±19]/24

–>

x₁ = (13+19)/24 = 32/24 = 4/3

x₂ = (13-19)/24 = -6/24 = – ¼

> Descomponiendo el trinomio en factores:

-12x²+13x+4

-12(x – 4/3)(x –(-1/4)

> Simplificando los paréntesis y dividiendo

entre el coeficiente de x²

-12(3x-4)(4x+1)

.        12

> Eliminando el 12 del numerador y el denominador:

-(3x-4)(4x+1)

> Resolviendo el signo menos antes del primer factor

(-3x+4)(4x+1)

> Cambiando el orden de los elementos de los factores.

para dejar como primer elemento un positivo:

(4-3x)(1+4x)    Solución.

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