Dada la suma y el producto de dos números, hallar los números.

1) Se construye la ecuación x²+bx+c = 0 :  donde le 1° término será x²; el 2° término será la suma de los números con el signo cambiado, y el 3° término será el producto de los números con su propio signo.

2) Si al construir x²+bx+c = 0 , la suma y/o el producto de los números, es o son fracciones, toda la ecuación se debe dividir entre el m.c.m. de los denominadores, con lo que la ecuación cambiará a la forma ax²+bx+c = 0.

3) Para ambos casos, es recomendable usar la fórmula general o por medio de factorización.

________________________________________

Ejemplos:

a) La suma de dos números es 4 y su producto es -396, hallar los números:

> Construyendo la ecuación:

x² -4x -396 = 0

> Aplicando la fórmula:

x = [-(b)±√(b)²-4ac]/2(a)

x = [-(-4)±√(-4)²-4(1)(-396)]/2(1)

x = [4±√16+1584]/2

x = [4±√1600]/2

x = (4±40)/2

–>

x₁ = (4+40)/2 = 44/2 = 22

x₂ = (4-40)/2 = -36/2 = -18

b) La suma de dos números es -35/4 y su producto 6.  Hallar los números.

> Construyendo la ecuación:

x²+35/4x+6 = 0

> Convirtiendo la ecuación a la forma ax+bx+c = 0:

x²+35/4x+6 = 0 ÷ 4

4x²+35x+24 = 0

> Resolviendo por la fórmula:

x = [-(35)±√(35)²-4(4)(24)]/2(4)

x = [-35±√1225-384]/8

x = [-35±√841]/8

x = [-35±29]/8

–>

x₁ = (-35+29)/8 = -6/8 = – ¾

x₂ = (-35-29)/8 = -64/8 = -8

_______________________________________

Ejercicio 279.

(Aquí utilizaré la fórmula en algunos casos y en otros la fórmula y la factorización, para que veas cual es más fácil y menos laboriosa)

Encontrar dos números sabiendo que

1) La suma es 11 y el producto es 30.

> Construyendo la ecuación:

x²-11x+30 = 0

> Resolviendo por fórmula:

x = [-(-11)±√(11)²-4(1)(30)]/2(1)

x = [11±√121-120]/2

x = [11±√1]/2

x = [11±1]/2

–>

x₁ = (11+1)/2 = 12/2 = 6

x₂ = (11-1)/2 = 10/2 = 5

> Resolviendo por factorización:

x²-11x+30 = 0

(x-6)(x-5) = 0

> Igualando los factores a cero:

x-6 = 0  –>  x₁ = 6

x-5 = 0  –>  x₂ = 5

__________________________________________________

2) La suma es -33 y el producto 260.

> Construyendo la ecuación:

x²+33x+260 = 0

> Resolviendo por la fórmula:

x = [-(33)±√(33)²-4(1)(260)]/2(1)

x = [-33±√1089-1040]/2

x = [-33±√49]/2

x = [-33±7]/2

–>

x₁ = (-33+7)/2 = -26/2 = -13

x₂ = (-33-7)/2 = -40/2 = -20

> Resolviendo por factorización:

x²+33x+260 = 0

(x+13)(x+20) = 0

> Igualando los factores a cero:

x+13 = 0  –>  x₁ = -13

x+20 = 0  –>  x₂ = -20

__________________________________________________ 

6) La suma es 3/2 y su producto -1

> Construyendo la ecuación:

x² -3/2x -1 = 0

Convirtiendo a la forma ax²+bx+c = 0

x² -3/2x -1 = 0 ÷ 2

2x ²-3x -2 = 0

> Resolviendo por la fórmula:

x = [-(-3)±√(-3)²-4(2)(-2)]/2(2)

x = [3±√9+16]/4

x = [3±√25]/4

x = [3±5]/4

–>

x₁ = (3+5)/4 = 8/4 = 2

x₂ = (3-5)/4 = -2/4 = – ½

> Resolviendo por factorización:

2x²-3x-2 = 0

(2x)²-3(2x)-4 = 0

(2x-4)(2x+1) = 0

.   2        1

(x-2)(2x+1) = 0

> Igualando los factores a cero:

x-2 = 0 –>  x₁ = 2

2x+1 = 0  –>  x₂ = – ½

__________________________________________________

8) La suma es ¼ y su producto -3/8

> Construyendo la ecuación:

x² -1/4x -3/8 = 0

> Convirtiendo la ecuación a la forma ax²+bx+c = 0

 x² -1/4x -3/8  ÷ 8

8x² -2x -3 = 0

> Resolviendo por la fórmula:

x = [-(-2)±√(-2)²-4(8)(-3)]2(8)

x = [2±√4+96]/16

x = [2±√100]/16

x = [2±10]/16

–>

x₁ = (2+10)/16 = 12/16 = ¾

x₂ = (2-10)/16 = -8/16 = – ½

> Resolviendo por factorización:

8x² -2x -3 = 0

(8x)² -2(8x)-24 = 0

(8x-6)(8x+4) = 0

.   2        4

(4x-3)(2x+1) = 0

> Igualando los factores a cero:

4x-3 = 0   –>  x₁ =  ¾

2x+1 = 0  –>  x₂ = – ½