Carácter de las raíces de la ecuación de 2o. grado.

Carácter  -->  b²-4ac  -->  Discriminante

La ecuación de 2° grado tiene solamente dos raíces:

 x₁=[-b+((b)^2-4ac)]/2a        y      x₂=[-b-√((b)^2-4ac)]/2a  

El carácter de estas raíces depende del valor del binomio  b²-4ac, el cual se llama Discriminante de la ecuación de 2° grado.

En esta discriminante se consideran tres casos:

1) Cuando b²-4ac  es una cantidad positiva; las raíces son reales y desiguales, y si es cuadrado perfecto son racionales.

2) Cuando b²-4ac  es cero (0); las raíces son reales e iguales.

3) Cuando b²-4ac  es una cantidad negativa; las raíces son imaginarias y desiguales.

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Ejemplos:

Determinar el carácter de las raíces de:

a) 3x²-7x+2 = 0

> Desarrollando la discriminante:

b²-4ac = (-7)²-4(3)(2) = 49-24 = 25

-->  Como 25 es positivo; las raíces son reales y desiguales (5, -5).  Y como 25 es cuadrado perfecto; las raíces son racionales (5*5 , ó -5*-5).

b) 3x²-2x-6 = 0

> Desarrollando la discriminante:

b²-4ac = (-2)²-4(3)(-6) = 4+72 = 76

--> Como 76 es positivo; las raíces son reales y desiguales.  Y como 76 no es cuadrado perfecto; las raíces son irracionales.

c) 4x²-12x+9

> Desarrollando la discriminante:

b²-4ac = (-12)²-4(4)(9) = 144-144 = 0

--> Como es cero (0); las raíces son reales e iguales.

d) x²-2x+3

> Desarrollando la discriminante:

b²-4ac = (-2)²-4(1)(3) = 4-12 = -8

--> Como -8 es negativo; las raíces son imaginarias.

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Ejercicio 276.

Determinar el carácter de las siguientes ecuaciones, solamente por la discriminante b²-4ac:

1) 3x²+5x-2 = 0

> Desarrollando la discriminante:

(5)²-4(3)(-2) = 25+24 = 49

--> Las raíces son reales, desiguales y racionales.

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2) 2x²-4x+1 = 0

 > Desarrollando la discriminante:

(-4)²-4(2)(1) = 16-8 = 8

--> Las raíces son reales, desiguales e irracionales.

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3) 4x²-4x+1

> Desarrollando la discriminante:

(-4)²-4(4)(1) = 16-16= 0

--> Las raíces son reales e iguales.

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4) 3x²-2x+5 = 0

> Desarrollando la discriminante:

(-2)²-4(3)(5) = 4-50 = -46

--> Las raíces son imaginarias.

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5) x²-10x+25= 0

> Desarrollando la discriminante:

(-10)²-4(1)(25) = 100-100 = 0

--> Las raíces son reales e iguales.

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6) x²-5x+5 = 0

> Desarrollando la discriminante:

(-5)²-4(1)(5) = 25-20 = 5

--> Las raíces son reales, desiguales e irracionales.

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