La
ecuación de 2° grado tiene solamente dos raíces:
x₁=[-b+((b)^2-4ac)]/2a
y x₂=[-b-√((b)^2-4ac)]/2a
El
carácter de estas raíces depende del valor del binomio
b²-4ac, el cual se llama Discriminante
de la ecuación de 2° grado.
En
esta discriminante se consideran tres casos:
1)
Cuando b²-4ac es una cantidad positiva;
las raíces son reales y desiguales, y si es cuadrado perfecto son
racionales.
2)
Cuando b²-4ac es cero (0); las raíces
son reales e iguales.
3)
Cuando b²-4ac es una cantidad negativa;
las raíces son imaginarias y desiguales.
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Ejemplos:
Determinar el
carácter de las raíces de:
a) 3x²-7x+2
= 0
>
Desarrollando la discriminante:
b²-4ac =
(-7)²-4(3)(2) = 49-24 = 25
-->
Como 25 es positivo; las raíces son reales y desiguales
(5, -5). Y como 25 es cuadrado perfecto; las raíces
son racionales (5*5 , ó -5*-5).
b) 3x²-2x-6
= 0
>
Desarrollando la discriminante:
b²-4ac =
(-2)²-4(3)(-6) = 4+72 = 76
--> Como 76
es positivo; las raíces son reales y desiguales.
Y como 76 no es cuadrado perfecto; las raíces son
irracionales.
c)
4x²-12x+9
>
Desarrollando la discriminante:
b²-4ac =
(-12)²-4(4)(9) = 144-144 = 0
--> Como es
cero (0); las raíces son reales e iguales.
d) x²-2x+3
>
Desarrollando la discriminante:
b²-4ac =
(-2)²-4(1)(3) = 4-12 = -8
--> Como -8
es negativo; las raíces son imaginarias.
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Ejercicio
276.
Determinar el
carácter de las siguientes ecuaciones, solamente por la
discriminante b²-4ac:
1) 3x²+5x-2
= 0
>
Desarrollando la discriminante:
(5)²-4(3)(-2)
= 25+24 = 49
--> Las
raíces son reales, desiguales y racionales.
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2) 2x²-4x+1
= 0
>
Desarrollando la discriminante:
(-4)²-4(2)(1)
= 16-8 = 8
--> Las
raíces son reales, desiguales e irracionales.
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3) 4x²-4x+1
>
Desarrollando la discriminante:
(-4)²-4(4)(1)
= 16-16= 0
--> Las
raíces son reales e iguales.
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4) 3x²-2x+5
= 0
>
Desarrollando la discriminante:
(-2)²-4(3)(5)
= 4-50 = -46
--> Las
raíces son imaginarias.
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5)
x²-10x+25= 0
>
Desarrollando la discriminante:
(-10)²-4(1)(25)
= 100-100 = 0
-->
Las raíces son reales e iguales.
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6) x²-5x+5
= 0
>
Desarrollando la discriminante:
(-5)²-4(1)(5)
= 25-20 = 5
--> Las
raíces son reales, desiguales e irracionales.
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