Los gráficos de funciones o ecuaciones de segundo grado están representados por líneas curvas que forman figuras como parábolas, elipses, círculos, hipérbolas.
El procedimiento para graficar las funciones de segundo grado es:
a) Elaborar una tabla de valores de forma rectangular para "x", que inicien, por ejemplo, en -3 hasta 3, una segunda fila para los valores de "y" o sea los valores que resulten de la función dada. (eje. 2x+3).
b) Con los valores de "x" y "y" se forman las coordenadas (x, y) que son los puntos que se necesitan para graficar.
c) Elaborar la gráfica con los puntos encontrados.
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Ejemplos.
a) Gráfico de y = x²
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x²:
. .
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Coordenadas o puntos: (-3, 9) . (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2. 4), (3, 9)
Gráfica:
b) Gráfico de x²+y² = 16
Despejando la fórmula:
x²+y² = 16 -> y² = 16 -x² -> y = ±√(16 -x²)
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(16 -x²):
. .
| x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 0 | ±2.6 | ±3.4 | ±3.8 | ±4 | ±3.8 | ±3.4 | ±2.6 | 0 |
Toda ecuación de la forma x²+y² = r², por representa un círculo cuyo radio es r. En este caso
x²+y² = r² que es igual a x²+y² = 4² y esto es x²+y² = 16.
Sus coordenadas principales son : (-4, 0), (0, 4), (0, -4). (4, 0)
Gráfica:
c) Gráfico de 9x²+25y²=225
Despejando la fórmula:
9x²+25y²=225 -> y² = 225 -9x² /25 -> y = 225/25-9x² /25 -> y = 9- 9x² /25y = ±√(9 -9x² /25)
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(9 -9x² /25):
. .
| x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | 0 | ±1.8 | ±2.4 | ±2.6 | ±2.8 | ±3 | ±2.8 | ±2.6 | ±2.4 | ±1.8 | 0 |
Sus coordenadas principales son : (-5, 0), (0, 3), (0, -3). (5, 0)
Gráfica:
d) Gráfico de xy = 5 o y = 5/x
Formando la tabla de valores positivos de "x" y "y", siendo la función (5/x):
. .
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | . . . | ±∞ |
| y | ±∞ | 5 | 2.5 | 1.6 | 1.25 | 1 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | . . . | 0 |
Sus coordenadas principales son :
(1, 5), (2, 2.5), (3, 1.6), (4, 1.25), (5, 1), (6, 0.8), (7, 0.7), (8, 0.6)
Formando la tabla de valores negativos de "x" y "y", siendo la función (5/x):
. .
| x | 0 | -1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -6 | -7 | -8 | . . . | ± -∞ |
| y | ±∞ | -5 | -2.5 | -1.6 | -1.25 | -1 | -0.8 | -0.7 | -0.6 | . . . | 0 |
Sus coordenadas principales son :
(-1, -5), (-2, -2.5), (-3, -1.6). (-4, -1.25), (-5, -1), (-6, -0.8), (-7, -0.7), (-8, -0.6)
Gráfica:
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Ejercicio 170.
Hallar el gráfico de:
1) y = 2x²
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función 2x²:
. .
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 18 | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 18 |
Coordenadas o puntos: (-3, 18) . (-2, 18), (-1, 2), (0, 0), (1, 2), (2. 8), (3, 18)
Gráfica:
2) y = x²/2
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x²/2:
. .
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 9/2 | 2 | 1/2 | 0 | 1/2 | 2 | 9/2 |
Coordenadas o puntos: (-3, 9/2) . (-2, 2), (-1, 1/2), (0, 0), (1, 1/2), (2. 2), (3, 9/2)
Gráfica:
.png)
3) x² + y² = 25
Despejando la fórmula:
x² + y² = 25 -> y² = 25 -x² -> y = ±√(25 -x²)
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(25 -x²):
. .
| x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | 0 | ±3 | ±4 | ±4.6 | ±4.9 | ±5 | ±4.9 | ±4.6 | ±4 | ±3 | 0 |
Toda ecuación de la forma x²+y² = r², representa un círculo cuyo radio es r. En este caso
x²+y² = r² que es igual a x²+y² = 5² y esto es x²+y² = 25.
Sus coordenadas principales, cuando "x" y "y" son números reales:
(-5, 0), (-4, 3), (-3, 4), (-2, 4.6), (-1, 4.9), (0, 5), (1, 4.9), (2, 4.6), (3, 4), (4, 3), (5, 0) ,
(-4, -3), (-3, -4), (-2, -4.6), (-1, -4.9), (0, -5), (1, -4.9), (2, -4.6), (3, -4), (4, -3)
Gráfica:
%20x%C2%B2%20+%20%20y%C2%B2%20=%2025%20(1).png)
4) 9x²+16y² = 144
Despejando la fórmula:
9x² + 16y² = 144 -> 16y² = 144 -9x² -> y² = (144 -9x²)/16 -> y = ±√(144 -9x²)/16
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(144 -9x²)/16:
. .
| x | 0 | -3 | -4 | 3 | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 |
| y | -12 | -8 | 0 | -8 | 12 | 8 | 0 | -8 | -12 |
Sus coordenadas principales, cuando "x" y "y" son:
(0, -12), (-3, -8), (-4, 0), (3, 8-), (0, 12), (3, 8), (4, 0), (3, -8),
Gráfica:
%20x%C2%B2%20+%20%20y%C2%B2%20=%2025%20(2).png)
5) y = x² +1
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x² +1:
. .
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 10 | 5 | 2 | 1 | 2 | 5 | 10 |
Coordenadas o puntos: (-3, 10), (-2, 5), (-1, 2), (0, 1), (1, 2), (2. 5), (3, 10)
Gráfica:
6) y -x² = 2
y -x² = 2 -> y = x² +2
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x² +2:
. .
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 11 | 6 | 3 | 2 | 3 | 6 | 11 |
Coordenadas o puntos: (-3, 11), (-2, 6), (-1, 3), (0, 2), (1, 3), (2. 6), (3, 11)
Gráfica:
7) xy = 4
xy = 4 -> y = y = 4/x
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función 4/x:
. .
| x | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | -2/3 | -4/5 | -1 | -4/3 | -2 | -4 | 4 | 2 | 4/3 | 1 | 4/5 | 2/3 |
Coordenadas o puntos:
(-6, -2/3), (-5, -4/5), (-4, -1), (-3, 4/3), (-2, -2), (-1, -4),
(1, 4), (2, 2), (3, 4/3), (4, 1), (5, 4/5), (6, 2/3).
Gráfica:
.png)
8) x² +y² = 36
Despejando la fórmula:
x² + y² = 36 -> y² = 36 -x² -> y = ±√(36 -x²)
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(36 -x²):
. .
| x | 6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 0 | ±3.3 | ±4.5 | ±5.2 | ±5.7 | ±5.9 | ±6 | ±5.9 | ±5.7 | ±5.2 | ±4.5 | ±3.3 | 0 |
Sus coordenadas principales, cuando "x" y "y" son números reales:
(6, 0), (-5, 3.3), (-4, 4.5), (-3, 5.2), (-2, 5.7), (-1, 5.9), (0, 6), (1, 5.9), (2, 5.7), (3, 5.2), (4, 4.5), (5, 3.3), (6,0), y
(-5, -3,3), (-4, -4.5), (-3, -5.2), (-2, -5.7), (-1, -5.9), (0, -6), (1, -5.9), (2, -5.7), (3, -5.2), (4, -4.5), (5, -3.3)
Gráfica:
9) y = x² +2x
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x² +2x:
. .
| x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y | 8 | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 | 8 |
Coordenadas o puntos:
(-4, 8), (-3, 3), (-2, 0), (-1, -1), (0, 0), (1, 3), (2. 8)
Gráfica:
.png)
10) 36x² +25y² = 900
Despejando la fórmula:
36x² + 25y² = 900 -> 25y² = 900 -36x² -> y² = (900 -36x²)/25 -> y = ±√(900 -36x²)/25
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(900 -36x²)/25
. .
| x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | 0 | ±0.72 | ±0.96 | ±1.1 | ±1.17 | ±1.2 | ±1.17 | ±1.1 | ±0.96 | ±0.72 | 0 |
Sus coordenadas principales, cuando "x" y "y" son:
(-5, 0), (-4, 0.72), (-3, 0.96), (-2, 1.1 ), (-1, 1.17), (0, 1.2), (1, 1.17), (2, 1.1), (3, 0.96), (4, 0.72), (5,0).
(-5, 0), (-4, -0.72), (-3, -0.96), (-2, -1.1 ), (-1, -1.17), (0,-1.2), (1, -1.17), (2, -1.1), (3, -0.96), (4, -0.72), (5, 0).
Gráfica:
25(2).png)
11) x² + y² = 49
Despejando la fórmula:
x² + y² = 49 -> y² = 49 -x² -> y = ±√(49 -x²)
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función ±√(49 -x²):
. .
| x | -7 | -6 | -5 | -4 | 0 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| y | 0 | ±3.6 | ±4.9 | ±5.74 | ±7 | ±5.74 | ±4.9 | ±3.6 | 0 |
Sus coordenadas principales, cuando "x" y "y" son números reales:
(-7,0), (-6, 3.6), (-5, 4.9), (-4, 5.74), (0, 7), (4, 5.74), (5, 4.9), (6, 3.6), (7,0)
y
(-7,0), (-6, -3.6), (-5, -4.9), (-4, -5.74), (0, -7), (-4, -5.74), (5, -4.9), (6, -3.6), (7,0)
Gráfica:
.png)
12) y = x² -3x
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x²-3x
. .
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | 10 | 4 | 0 | -2 | -2 | 0 | 4 | 10 |
Coordenadas o puntos:
(-2,10), (-1, 4), (0,0), (1, -2), (2, -2), (3, 0), (4. 4), (5,10).
Gráfica:
25(2)%20(1).png)
13) xy = 6
xy = 4 -> y = 6/x
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función 6/x:
. _ .
| x | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | -1 | -1.2 | -3/2 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1.5 | 1.2 | 1 |
Coordenadas o puntos:
(-6, -1), (-5, -1.2), (-4, -1.5), (-3, -2), (-2, -3), (-1, -6)
(1, 6), (2, 3), (3, 2), (4, 1.5), (5, 1.2), (6, 1).
Gráfica:
25(2)%20(2).png)
14) y = x + x²/2
Formando la tabla de valores de "x" y "y", siendo la función x + x²/2:
. .
| x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 7.5 | 4 | 1.5 | 0 | -0.5 | 0 | 1.5 | 4 | 7.5 |
Coordenadas o puntos:
(-5, 7.5), (-4, 4), (-3, 1.5), (-2, 0), (-1, -0.5),
(0,0), (1, 1.5), (2, 4), (3, 7.5).
Gráfica:
25(2)%20(3).png)
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