Gráfica de una ecuación lineal.

Ecuaciones lineales se les llama a todas aquellas ecuaciones de primer grado con dos variables que están representadas por líneas rectas.

Las ecuaciones lineales se representan gráficamente de dos maneras:

1) Las ecuaciones con dos variables sin término independiente son aquellas en que las líneas rectas pasan por el origen.  Ej. 2x-3y=0  ⇒ -3y=-2x ⇒ 3y=2x  ⇒ y=2/3x

2) Las ecuaciones con dos variables con término independiente son aquellas en que las líneas rectas no pasan por el origen.

Ej. Sea la ecuación 4x-5y=10 ⇒ -5y=10-4x ⇒ 5y=4x-10 ⇒ y=4x-10 /5 ⇒ y=4/5x -2 

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Ejemplos.

1) Representar gráficamente la ecuación 5x-3y=0

Esta es una ecuación sin término independiente, por la que su línea recta si pasa por el origen.

5x-3y=0 ⇒ -3y=-5x ⇒ 3y=5x   ∴ y=5/3x

Dando un valor cualquiera (por ejemplo 3) a "x", para encontrar el valor de "y".

y = (5/3)(3) = 5    ⇒ x=3 , y=5    (3,5) 

El punto (3/5) es uno de los puntos de la recta y que al unirlo con el origen (0,0) determina una representación de una línea recta que pasa por el origen:

2) Representar gráficamente la ecuación 3x+4y=15

Esta es una ecuación con término independiente, por lo que su línea recta no pasa por el origen.  

Para encontrar los puntos para graficar basta con buscar los puntos de intersección en los ejes.  (0,y).(x,0)

y=15-3x /4       y    x=15-4y /3

Si x = 0  ⇒  y=15-3(0) /4  ⇒ y=15/4 ⇒ y=3 3/4 

Si y = 0 ⇒  x=15-4(0) /3⇒  x=15/3  ⇒  x=5

⇒ los puntos para graficar son ((0, 3³/₄)  y  (5, 0)

3) Representar gráficamente x-3 = 0

Si x-3 = 0 ⇒ x = 3

La ecuación quedaría así: x +0y = 3 ⇒ x = 3-0y

Si y = 0 ⇒ x=3-0(0) ⇒ x = 3     (3,0)

Si y =1  ⇒ x = 3-0(1) ⇒ x = 3   (3,1)

Si y =2  ⇒ x = 3-0(2) ⇒ x =3    (3,2)

Si y = n ⇒ x = 3-0(n) ⇒ x =3    (3,n)

Por lo tanto ( ∴ ) , para cualquier valor de "y" el valor de "x" siempre será el mismo; por lo que la representación gráfica de es una línea recta paralela al eje de las "y", (a la derecha)

Si la ecuación fuera x+2=0 ⇒ x=-2, por lo que su representación gráfica es una línea paralela al eje de las "y" (a la izquierda)

4) Representar gráficamente y -2 =0

y-2= 0,  ≈  0x-y=2 ⇒  y=2+0x

Si x = -1 ⇒ y = 2+0(-1)   ⇒  y = 2   (-1 , 2)

Si x = 0  ⇒  y = 2+0(0)  ⇒  y = 2     (0 , 2)

Si x = 1  ⇒  y = 2+0(1)  ⇒  y = 2      (1 , 2)

Por lo tanto ( ∴ ) , para cualquier valor de "x" el valor de "y" siempre será el mismo; por lo que la representación gráfica de es una línea recta paralela al eje de las "x", (arriba).

Si la ecuación fuera y+4=0 ⇒ y=-4, por lo que su representación gráfica es una línea paralela al eje de las "x", (abajo)

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Ejercicio 175.

Representa gráficamente las siguientes ecuaciones:

1) x -y = 0

x -y = 0  ⇒ x = y

Por lo tanto cualquier valor de x será igual al valor de y.

(x,y) = (-2,-2) ,  (0,0) , (2,2) 

2)  x +y = 5

x +y = 5 ⇒  x = 5-y

Si y = -1  ⇒ x = 5-(-1)  ⇒ x = 5+1 ⇒ x = 6    (6 , -1)

Si y = 0  ⇒ x = 5-(0)  ⇒ x = 5+0 ⇒ x = 5      (5 . 0)

Si y = 1  ⇒ x = 5-(1)  ⇒ x = 5-1 ⇒ x = 4        (4 , 1)

3)  x -1 = 0

x -1 = 0 ⇒ x +0y = 1

-> x = 1-0y

Si y = -1  ⇒  x = 0(-1)  ⇒ x = 0   (0 , -1)

Si y = 0  ⇒  x = 0(0)  ⇒ x = 0      (0 , 0)

Si y = 1  ⇒  x = 0(1)  ⇒ x = 0      (0 , 1)

4)  y +5 = 0

y +5 = 0 ⇒  0x +y = -5

y = -5 -0x

Si x = -1  ⇒  y = -5-0(-1)  ⇒ y = -5   (-1 , -5)

Si x = 0  ⇒ y = -5-0(0)  ⇒ y = -5       (0 , -5)

Si x =1  ⇒ y = -5-0(1)  ⇒ y = -5        (1 , -5)

7)  x -y = -4

x = -4+y

Si y = -2  ⇒  x = -4+(-2)  ⇒  x = -4-2  ⇒  x = -6   (-6 , -2)

Si y = 0  ⇒  x = -4+(0)  ⇒  x = -4-0  ⇒  x = -4      (-4 , 0)

Si y = 2  ⇒  x = -4+(2)  ⇒  x = -4+2  ⇒  x = -2      (-2 , 2)

 

10)  2x+3y=-2

x = -20 -3y / 2

Si y=-2  ⇒  x = -20-3(-2) /2  ⇒ x = -20+6 /2 ⇒ x = -14/2  ⇒ x = -7  (-7,-2)

Si y=0  ⇒  x = -20-3(0) /2  ⇒ x = -20+0 /2 ⇒ x = -20/2  ⇒ x = -10   (-10,0)

Si y=2  ⇒  x = -20-3(2) /2  ⇒ x = -20-6 /2 ⇒ x = -26/2  ⇒ x = -13    (-13,2)

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