Cubo de un polinomio. Potenciación.

Regla: 

El cubo de un polinomio es igual a la suma de los cubos de cada uno de sus términos, más (+) el triplo del cuadrado de cada uno por cada uno de los demás, más (+) el séxtuplo de las combinaciones ternarias que pueden formarse con sus términos.

(a+b+c)³ 
= (a³ + (b)³ + (c)³ + 3(a)²(b) + 3(a)²(c) + 3(b)²(a) +3(b)²(c) + 3(c)²(a)  + 3(c)²(b) + 6(a)(b)(c) 
[3 cubos ( )³, 6 triplos de combinaciones binarias 3()²(), un séxtuplo de combinación ternaria 6()()()] = 10

(a+b+c+d)³ 
= (a)³ + (b)³ + (c)³ + (d)³ + 3(a)²(b) + 3(a)²(c) + 3(a)²(d) + 3(b)²(a) + 3(b)²(c) + 3(b²)(d) + 3(c)²(a) + 3(c)(a) +3(c)(b) + 3(c)(d) + 3(d)(a) + 3(d)(b) + 3(d)(c)+ 6(a)(b)(c) +6(a)(b)(d) +6(b)(c)(d)
[4 cubos ( )³, 12 triplos de combinaciones binarias 3()²(), 4 séxtuplos de combinaciones ternarias, 6()()()] = 20
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Ejemplos:

a) Elevar al cubo x² -2x +1

(x² -2x +1)³

= (x²)³ + (-2x)³ + (1)³ + 3(x²)²(-2x) + 3(x²)²(1) + 3(-2x)²(x²) + 3(-2x)²(1) + 3(1)²(x²) + 3(1)²(-2x) + 6(x²)(-2x)(1)

= x⁶ -8x³ +1 + (-6x⁵) + (3x⁴) + (12x⁴) + (12x²) + (3x²) + (-6x) + (-12x³)

= x⁶ -8x³ +1 - 6x⁵ + 3x⁴ + 12x⁴ + 12x² + 3x² - 6x -12x³

= x⁶ - 6x⁵ + 15x⁴ - 20x³ + 15x²  - 6x  +1  Solución.
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b) Elevar al cubo  x³ - x² +2x -3

(x³ - x² +2x -3)³

= (x³)³ + (-x²)³ + (2x)³ + (-3)³ + 3(x³)²(- x²) + 3(x³)²(2x) + 3(x³)²(-3) + 3(- x²)²(x³) + 3(- x²)²(2x) + 3(- x²)²(-3) + 3(2x)²(x³) + 3(2x)²(-x²) + 3(2x)²(-3) + 3(-3)²(x³) + 3(-3)²(-x²) + 3(-3)²(2x) + 6(x³)(-x²)(2x) + 6(x³)(-x²)(-3) + 6(x³)(2x)(-3) + 6(-x²)(2x)(-3)

= x⁹ - x⁶ + 8x³ -27 + (-3x⁸) + (6x⁷) + (-9x⁶) + (3x⁷) + (6x⁵) + (-9x⁴) + (12x⁵) + (-12x₄) + (-36x²) + (27x³) + (-27x²) + (54x) + (-12x⁶) + (18x⁵) + (-36x⁴) + (36x³)

= x⁹ - x⁶ + 8x³ -27 - 3x⁸ + 6x⁷ - 9x⁶ + 3x⁷ + 6x⁵ - 9x⁴ + 12x⁵ - 12x⁴ - 36x² + 27x³ - 27x² + 54x - 12x⁶ + 18x⁵ - 36x⁴ + 36x³

= x⁹ - 3x⁸ + 9x⁷ - 22x⁶ + 36x⁵ - 57x⁴ + 71x³ - 63x² + 54x - 27  Solución.
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Ejercicio 209.
Elevar al cubo:

1)  x² +x +1

(x² +x +1)³

= (x²)³ + (x)³ + (1)³ + 3(x²)²(x) + 3(x²)²(1) + 3(x)²(x²) + 3(x)²(1) + 3(1)²(x²) + 3(1)²(x) + 6(x²)(x)(1)

= x⁶ +x³ +1 +3x⁵ + 3x⁴ + 3x⁴ + 3x² +3x² +3x + 6x³

= x⁶ +3x⁵ + 6x⁴ +7x³ + 6x² + 3x +1  Solución.
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5)  x³ -2x² -4

(x³ -2x² -4)³

= (x³)³ + (-2x²)³ + (-4)³ + 3(x³)²(-2x²) + 3(x³)²(-4) + 3(-2x²)²(x³) + 3(-2x²)²(-4) + 3(-4)²(x³) + 3(-4)²(-2x²) + 6(x³)(-2x²)(-4)

= x⁹ -8x⁶ -64 +(-6x⁸) +(-12x⁶) +(12x⁷) +(-48x⁴) +(48x³) +(-96x²) +(48x⁵)

= x⁹ -6x⁸ +12x⁷ -20x⁶ +48x⁵ -48x⁴ +48x³ -96x² -64  Solución.
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9)  a³ -a² +a -1

(a³ -a² +a -1)³

= (a³)³ + (-a²)³ + (a)³ + (-1)³ + 3(a³)²(-a²) + 3(a³)²(a) + 3(a³)²(-1) + 3(-a²)²(a³) + 3(-a²)²(a) + 3(-a²)²(-1) + 3(a)²(a³) + 3(a)²(-a²) + 3(a)²(-1) + 3(-1)²(a³) + 3(-1)²(-a²) + 3(-1)²(a) + 6(a³)(-a²)(a) + 6(a³)(-a²)(-1) + 6(a³)(a)(-1) + 6(-a²)(a)(-1)

= a⁹ -a⁶ +a³ -1 + (-3a⁸) + (3a⁷) + (-3a⁶) + (3a⁷) + (3a⁵) + (-3a⁴) + (3a⁵) + (-3a⁴) + (-3a²) + (3a³) + (-3a²) + (3a) + (-6a⁶) + (6a⁵) + (-6a⁴) + (6a³)

= a⁹ -a⁶ +a³ -1 - 3a⁸ + 3a⁷ - 3a⁶ + 3a⁷ + 3a⁵ - 3a⁴ + 3a⁵ - 3a⁴ - 3a² + 3a³ - 3a² + 3a - 6a⁶ + 6a⁵ - 6a⁴ + 6a³

= a⁹ - 3a⁸ + 6a⁷ -10a⁶ + 12a⁵ - 12a⁴ + 10a³ - 6a² + 3a - 1  Solución.
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11)  x³ -4x² +2x -3

(x³ -4x² +2x -3)³

= (x³)³ + (-4x²)³ + (2x)³ + (-3)³ + 3(x³)²(-4x²) + 3(x³)²(2x) + 3(x³)²(-3) + 3(-4x²)²(x³) + 3(-4x²)²(2x) + 3(-4x²)²(-3) + 3(2x)²(x³) + 3(2x)²(-4x²) + 3(2x)²(-3) + 3(-3)²(x³) + 3(-3)²(-4x²) + 3(-3)²(2x) + 6(x³)(-4x²)(2x) + 6(x³)(-4x²)(-3) + 6(x³)(2x)(-3) + 6(-4x²)(2x)(-3)

= x⁹ -64x⁶ + 8x³ -27 + (-12x⁸) + (6x⁷) + (-9x⁶) + (48x⁷) + (96x⁵) + (-144x⁴) + (12x⁵) + (-48x⁴) + (-36x²) + (27x³) + (-108x²) + (54x) +  (-48x⁶) + (72x⁵) + (-36x⁴) + (144x³)

= x⁹ - 64x⁶ + 8x³ - 27 - 12x⁸ + 6x⁷ - 9x⁶ + 48x⁷ + 96x⁵ - 144x⁴ + 12x⁵ - 48x⁴ - 36x² + 27x³ - 108x² + 54x - 48x⁶ + 72x⁵ - 36x⁴ + 144x³

= x⁹ - 12x⁸ + 54x⁷ - 121x⁶ + 180x⁵ - 228x⁴ + 179x³ - 144x² + 54x - 27  Solución.
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Nota: En la sección de respuestas del libro el cuarto término dice -112x⁶ , pero lo correcto es -121x⁶.  Si quieres verificarlo revisa nuevamente las operaciones desde donde proviene los valores x⁶.
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