Binomio de Newton. Potenciación.

El Binomio de Newton es una fórmula que sirve para calcular una potencia cualquiera de un binomio, cuyo exponente sea entero y positivo.

Se utilizan para este cálculo, los coeficientes de los términos del binomio; semejante a una sucesión de números combinatorios.
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Ver definiciones de apoyo sobre este tema en:
https://ejerciciosalgebrabaldor.blogspot.com/p/apoyos-la-tematica-de-algebra.html
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Para el desarrollo del binomio se deben cumplir las siguientes leyes:
Partiendo de (a+b)ⁿ

1) Cada desarrollo tiene un término más que el exponente del binomio.
2) El exponente de "a" en el primer término del desarrollo es igual al exponente del binomio, y en cada término posterior al primero disminuye 1.
3) El exponente de "b" en el segundo término del desarrollo es 1, y en cada término posterior a éste, aumenta en 1.
4) El coeficiente del primer término del desarrollo es 1 y el coeficiente del segundo término es igual al exponente de "a" en el primer primer término del desarrollo.
5) El coeficiente de cualquier término se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de "a" en dicho término anterior y dividiendo este producto por el exponente de "b" en ese mismo término aumentado en 1.
6) El último término del desarrollo es "b" elevado al exponente del binomio.
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Ejemplos:

a) Desarrollar (x+y)⁴

> Aplicando la ley del binomio:

1er. término: x⁴  (x elevada al exponente del binomio)
2º. término:  4x³y  (coeficiente igual al exponente del binomio; "x" elevada a 4-1=3 y "y " elevada a la 1.)
3er. término: 6x²y² (coeficiente igual a (4)(3)=12 /2 = 6; "x" a la 3-1=2 y "y" elevada 1 más 1= 2)
4º término:  4xy³  (coeficiente igual a (6)(2)=12 / 3= 4;  "x" a la 2-1=1 y "y" elevada a 2+1=3)
5º término: y⁴ (coeficiente igual a (4)(1)=4 / 4 = 1;  "x" elevada a la 1-1= 0 y  x⁰ es igual a 1; y "y" elevada a 3+1=4)

→ (x+y)⁴ = x⁴ + 4x³y +6x²y² +4xy³ +y⁴  Solución.
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b) Desarrollar  (a-2x)⁵

> Aplicando la ley del binomio:

(a-2x)⁵ = a⁵ - 5a⁴(2x) + 10a³(2x)² - 10a²(2x)³ + 5a(2x)⁴ - (2x)⁵

> Simplificando:

(a-2x)⁵ = a⁵ -10a⁴x + 40a³x² - 80a²x³ + 80ax⁴ -32x⁵  Solución.
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c) Desarrollar (2x² +3y⁴)⁵

> Aplicando la ley del binomio:

= (2x²)⁵ + 5(2x²)⁴(3y⁴) + 10(2x²)³(3y⁴)² + 10(2x²)²(3y⁴)³ + 5(2x²)(3y⁴)⁴ + (3y₄)⁵

> Simplificando:

= 32x¹⁰ +5(16x⁸)(3y⁴) + 10(8x⁶)(9y⁸) + 10(4x⁴)(27y¹²) + 5(2x²)(81y¹⁶) + 243y²⁰

= 32x¹⁰ +240x⁸y⁴ + 720x⁶y⁸ + 1080x⁴y¹² + 810x²y¹⁶ + 243y²⁰  Solución.
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d) Desarrollar (a⁵-b³/2)⁶

= (a⁵)⁶ - 6(a⁵)⁵(b³/2) + 15(a⁵)⁴(b³/2)² - 20(a⁵)³(b³/2)³ + 15(a⁵)²(b³/2)⁴ - 6(a⁵)(b³/2)⁵ + (b³/2)⁶

= a³⁰ - 6(a²⁵)(b³/2) +15(a²⁰)(b⁶/4) -20(a¹⁵)(b⁹/8) + 15(a¹⁰)(b¹²/16) -6(a⁵)(b¹⁵/32) + b¹⁸/64

= a³⁰ - 3a²⁵b³ +15/4 a³⁰b⁶ - 5/2 a¹⁵b⁹ + 15/16 a¹⁰b¹² - 3/16 a⁵b¹⁵ + 1/64 b¹⁸  Solución.
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Ejercicio 210.
Desarrollar:

4) (2x+5y)⁴

= (2x)⁴ + 4(2x)³(5y) + 6(2x)²(5y)² + 4(2x)(5y)³ + (5y)⁴

= 16x⁴ + 4(8x³)(5y) + 6(4x²)(25y²) + 4(2x)(125y³) + 625y⁴

= 16x⁴ + 160x³y + 600x²y² + 1000xy³ + 625y⁴  Solución.
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5) (a-3)⁶

= a⁶ - 6(a)⁵(3) + 15(a)⁴(3)² - 20(a)³(3)³ + 15(a)²(3)⁴ - 6(a)(3)⁵ + (3)⁶

= a⁶ - 18a⁵ + 135a⁴ - 540a³ + 1215a² - 1458a +729  Solución.
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7) (x²+2y³)⁵

= (x²)⁵ + 5(x²)⁴(2y³) + 10(x²)³(2y³)² +10(x²)²(2y³)³ + 5(x²)(2y³)⁴ + (2y³)⁵

= x¹⁰ + 5(x⁸)(2y³) +10(x⁶)(4y⁶) + 10(x⁴)(8y⁹) + 5(x²)(16y¹²) + 32y¹⁵

= x¹⁰ + 10x⁸y³ +40x⁶y⁶ + 80x⁴y⁹ + 80x²y¹² + 32y¹⁵  Solución.
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11) (2x-y/2)⁶

= (2x)⁶ - 6(2x)⁵(y/2) + 15(2x)⁴(y/2)² - 20(2x)³(y/2)³ + 15(2x)²(y/2)⁴ - 6(2x)(y/2)⁵ + (y/2)⁶

= 64x⁶ - 6(32x⁵)(y/2) + 15(16x⁴)(y²/4) - 20(8x³)(y³/8) + 15(4x²)(y⁴/16) - 6(2x)(y⁵/32) + 1/64y⁶

= 64x⁶ - 96x⁵y + 60x⁴y² - 20x³y³ + 15/4x²y⁴ - 3/8xy⁵ + 1/64y⁶   Solución.
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17) (x³-1)⁸

= (x³)⁸ - 8(x³)⁷(1) + 28(x³)⁶(1)² - 56(x³)⁵(1)³ + 70(x³)⁴(1)⁴ - 56(x³)³(1)⁵ +28 (x³)²(1)⁶ - 8(x³)(1)⁷ + (1)⁸

= x²⁴ - 8x²¹ + 28x¹⁸ - 56x¹⁵ + 70x¹² - 56x⁹ + 28x⁶ - 8x³ + 1  Solución.
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20) (¹/₂ x² + ²/³ y²)⁵

= (¹/₂ x²)⁵ + 5(¹/₂ x²)⁴(²/³ y²) +10 (¹/₂ x²)³(²/³ y²)² + 10(¹/₂ x²)²(²/³ y²)³ + 5(¹/₂ x²)(²/³ y²)⁴ + (²/³ y²)⁵

= ¹/₃₂ x¹⁰ + 5(¹/₁₆ x⁸)(²/³ y²) + 10(¹/⁸ x⁶)(⁴/₉ y⁴) + 10(¹/⁴ x⁴)(⁸/₂₇ y⁶) + 5(¹/₂ x²)(¹⁶/⁸₁ y⁸) + ³²/₂₄₃y¹⁰

= ¹/₃₂ x¹⁰ + ⁵/₂₄ x⁸y²) + ⁵/₉ x⁶y⁴) + ²⁰/₂₇ x⁴y⁶) + ⁴⁰/₈₁ x²y⁸) + ³²/₂₄₃ y¹⁰   Solución.
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