Término General de un Binomio a la n,

La fórmula del término general de un binomio elevado a la "n", nos permite hallar directamente cualquier término del desarrollo de un binomio elevado a una potencia "n"; sin necesidad de encontrar los términos anteriores.

Partiendo de la fórmula


se establece la fórmula para el término general, que es:



De acuerdo a las leyes vistas en el desarrollo de un Binomio de Newton, se hallará el término que ocupa el lugar de "r" en el desarrollo de (a+b)ⁿ.

1) El numerador del coeficiente del término "r" es n(n-1)(n-2) ... hasta que haya r-1 factores.
2) El denominador es una factorial (1)(2)(3) ... que tiene r-1 factores.
3) El exponente de "a" es el exponente del binomio "n" menos (r-1)
4) El exponente de "b" es r-1.

Veamos unos ejemplos:

a) Hallar el 5º término del desarrollo de (3a+b)⁷

r = 5 -> lo preceden 4 términos o sea que r-1=5-1= 4, y como el número de término del binomio es 7.

> Entonces nuestro numerador sería: n(n-1)(n-2)(n-2) = (7)(7-1)(7-2)(7-3)= (7)(6)(5)(4)

> Nuestro denominador sería la factorial de r-1 = 4:   4! = (1)(2)(3)(4)

> El exponente de a:   

> El exponente de b:   

Con esto ya podemos formar nuestra fórmula y simplificarla:





   que es la Solución.
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b) Hallar el 6º término del desarrollo de (x²-2y)¹⁰

Si:  r = 6   -> r-1 = 6-1 = 5   y   n = 10

-->





   Solución.
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Ejercicio 212.
Hallar el

2) El 4º término de (a-4b)⁷

n = 7  ;  r = 4 --> r-1 = 3






  Solución.
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3) El 5º término de (1+x)¹¹

n = 11  ; r = 5 ->  r-1 = 5-1 = 4





   Solución.
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6) El 6º término de (2a - b/2)⁸

n = 8  ;   r = 6 ->  r-1 = 6-1 = 5





   Solución.
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9) El 10º término de (a²+b)¹⁵

n = 15  ;  r = 10 -> r-1 = 10-1 = 9




   Solución.
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