Procedimiento:
1)
Se halla el valor de la determinante del
sistema (D3), por el método de Sarrus, que será el
denominador del valor de cada una de las incógnitas (x, y, z).
2)
Se halla el valor de “x”
3)
Se halla el valor de “y”
4)
Se halla el valor de “z”
5)
Se escribe la solución del sistema, que será las soluciones de “x”
,”y”, “z”
_________________________________________
Ejemplo a)
Resolver por determinantes el siguiente sistema:
x y z ti (variables x, y, z, ti = término independiente)
2x + y - 3 z = 12
2x + y - 3 z = 12
5x - 4y +7z = 27
10x +3y - z = 40
1)
Determinante del sistema (D3)
x y z
. |2 1 -3|
. |2 1 -3|
.
|5 -4 7|
D3 =
|10 3 -1| = (8-45+70)-(120+42-5) = 33-(157) = 33-15.7 = -124
.
|2 1 -3|
.
|5 -4 7|
2)
Hallar el valor de “x”:
ti y z
. |12 1 -3|
. |12 1 -3|
.
|27 -4 7|
(12)(-4)(-1)+(27)(3)(-3)+(40)(1)(7) - (-3)(-4)(40)-(7)(3)(12)-(-1)(1)(27)
=
x =
|40 3 -1| =
48-243+280-480-252+27 = -620
.
|12 1 -3| Entonces
-620/-124 = 5 <– Solución
.
|27 -4 7|
3)
Hallar el valor de “y”:
x ti z
. |2 12 -3|
. |2 12 -3|
.
|5 27 7|
(2)(27)(-1)+(5)(40)(-3)+(10)(12)(7) - (-3)(27)(10)-(7)(40)(2)-(-1)(12)(5)
=
y =
|10 40 -1| =
-54-600+840+810-560+60 = 496
.
|2 12 -3| Entonces
496/-124 = -4 <– Solución
.
|5 27 7|
4)
Hallar el valor de “z”:
x y ti
. |2 1 12|
. |2 1 12|
.
|5 -4 27|
(2)(-4)(40)+(5)(3)(12)+(10)(1)(27)-(12)(-4)(10)-(27)(3)(2)-(40)(1)(5)
=
z =
|10 3 40| =
-320+180+270+480-162-200 = 248
.
|2 1 12|
Entonces 248/-124 = -2 <– Solución
.
|5 -4 27|
Solución
del sistema es: x = 5 , y =-4 , z
= -2
______________________________________________
Ejemplo b)
Resolver por determinantes el siguiente sistema:
x y z ti
x + y + z = 4
x + y + z = 4
2x - 3y +5z = - 5
3x +4y + z = 10
1)
Determinante del sistema (D3)
x y z
. |1 1 1|
. |1 1 1|
.
|2 -3 5|
(1)(-3)(7)+(2)(4)(1)+(3)(1)(5)-(1)(-3)(3)-(5)(4)(1)-(7)(1)(2) =
D3 =
|3 4 7| =
-21+8+15+9-20-14 = –23
.
|1 1 1|
.
|2 -3 5||
2)
Hallar el valor de “x”:
ti y z
. |4 1 1|
. |4 1 1|
.
|-5 -3 5|
(4)(-3)(7)+(-5)(4)(1)+(10)(1)(5)-(1)(-3)(10)-(5)(4)(4)-(7)(1)(-5) =
x =
|10 4 7| =
-84-20+50+30-80+35 = -69
.
|4 1 1|
Entonces -69/-23 = 3 <– Solución
.
|-5 -3 5|
3)
Hallar el valor de “y”:
x ti z
. |1 4 1|
. |1 4 1|
.
|2 -5 5|
(1)(-5)(7)+(2)(10)(1)+(3)(4)(5)-(1)(-5)(3)-(5)(10)(1)-(7)(4)(2) =
y =
|3 10 7| =
-35+20+60+15-50-56 = -46
.
|1 4 1|
Entonces -46/-23 = 2 <– Solución
.
|2 -5 5|
4)
Hallar el valor de “z”:
x y ti
. |1 1 4|
. |1 1 4|
.
|2 -3
-5|
(1)(-3)(10)+(2)(4)(4)+(3)(1)(-5)-(4)(-3)(3)-(-5)(4)(1)-(10)(1)(2) =
z =
|3 4 10| =
-30+32-15+36+20-20 = 23
.
|1 1
4| Entonces 23/-23 = -1
<– Solución
.
|2 -3 -5|
Solución
del sistema es: x = 3 , y = 2 , z
= -1
______________________________________________
Ejercicio
188.
1) Resolver
por determinantes:
x y z ti
x + y + z = 11
x + y + z = 11
x - y +3z = 13
2x +2y - z = 7
a) Determinante del sistema (D3):
x y z
. |1 1 1|
. |1 1 1|
.
|1 -1 3|
D3 =
|2 2 -1| = 1+2+6+2-6+1 = 6
.
|1 1 1|
.
|1 -1 3|
b) Valor de “x” :
ti y z
. |11 1 1|
. |11 1 1|
.
|13 -1 3|
x = |7 2
-1| = 11+26+21+7-66+13 = 12
.
|11 1 1| Entonces 12/6 = 2
<– Solución
.
|13 -1 3|
c)
Valor de “y”
x ti z
. |1 11 1|
. |1 11 1|
.
|1 13 3|
y = |2
7 -1| = -13+7+66-26-21+11 = 24
.
|1 11 1| Entonces 24/6 = 4
<– Solución
.
|1 13 3|
d) Valor de “z” :
x y ti
. |1 1 11|
. |1 1 11|
.
|1 -1 13|
z = |2
2 7| = -7+22+26+22-26-7 = 30
.
|1 1 11| Entonces
30/6 = 5 <– Solución
.
|1 -1 13|
La Solución
del sistema es: x = 2 , y = 4 , z = 5
______________________________________________
2)
Resolver por determinantes :
x y z ti
x + y + z = -6
x + y + z = -6
2x+ y - z = -1
x -2y +3z = -6
a)
Determinante del sistema (D3) :
x y z
. |1 1 1|
. |1 1 1|
.
|2 1 -1|
D3 =
|1 -2 3| = 3-4-1-1-2-6 = -11
. |1
1 1|
.
|2 1 -1|
b)
Hallar valor de “x”:
ti y z
. |-6 1 1|
. |-6 1 1|
.
|-1 1 -1|
x = |-6
-2 3| = -18+2+6+6+12+3 = 11
.
|-6 1 1| Entonces 11/-11
= -1 <– Solución
.
|-1 1 -1|
c)
Hallar valor de “y”:
x ti z
. |1 -6 1|
. |1 -6 1|
. |2
-1 -1|
y = |1
-6 3| = -3-12+6+1-6+36 = 22
.
|1 -6 1| Entonces
22/-11 = -2 <– Solución
.
|2 -1 -1|
d)
Hallar el valor de “z”:
x y ti
. |1 1 -6|
. |1 1 -6|
.
|2 1 -1|
z = |1 -2
-6| = -6+24-1+6-2+12 = 33
.
|1 1 -6| Entonces
33/-11 = -3 <– Solución
.
|2 1 -1|
La Solución
del sistema es: x = -1 , y = -2 , z = -3
______________________________________________
3)
Resolver por determinantes:
x y z ti
2x+3y+4z = 3
2x+6y+8z = 5
4x+9y-4z = 4
a)
Determinante del sistema (D3):
x y z
x y z
. |2 3 4|
. |2 6 8|
D3 =
|4 9 -4| = -48+72+96-96-144+24
= -96
. |2 3 4|
. |2 6 8|
b)
Hallar valor de “x”:
ti y z
ti y z
.
|3 3 4|
.
|5 6 8|
x =
|4 9 -4| =
-72+180+96-96-216+60 = -48
.
|3 3 4|
Entonces -48/-96 = 1/2 <– Solución
.
|5 6 8|
c)
Hallar el valor de “y”:
x ti z
x ti z
.
|2 3 4|
.
|2 5 8|
y =
|4 4 -4| =
-40+32+96-80-64+24 = -32
.
|2 3 4|
Entonces -32/-96 = 1/3 <– Solución
.
|2 5 8|
d)
Hallar valor de “z”:
x y ti
x y ti
.
|2 3 3|
.
|2 6
5|
z =
|4 9 4| =
48+54+60-72-90-24 = -24
.
|2 3 3|
Entonces -24/-96 = ¼ <– Solución
.
|2 6 5|
La Solución
del sistema es: x = 1/2 , y = 1/3 , z = ¼
_______________________________________________
4)
Resolver por determinantes:
4x -y +z=4
2y-z+2x=2
6x+3z-2y=12
Se ordenan por
x,y,z:
. x y z ti
4x – y + z = 4
4x – y + z = 4
2x+2y – z = 2
6x-2y +3z = 12
a)
Determinante del sistema (D3):
x y z
. |4 -1 1|
. |4 -1 1|
.
|2 2 -1|
D3 =
|6 -2 3| = 24-4+6-12-8+6
= 12
.
|4 -1 1|
.
|2 2 -1|
b)
Hallar valor de “x”:
ti y z
. |4 -1 1|
. |4 -1 1|
.
|2 2 -1|
x = |12
-2 3| = 24-4+12-24-8+6 = 6
.
|4 -1 1| Entonces
6/12 = ½ <– Solución
.
|2 2 -1|
c)
Hallar valor de “y”:
x ti z
. |4 4 1|
. |4 4 1|
.
|2 2 -1|
y =
|6 12 3| =
24+24-24-12+48-24 = 36
.
|4 4 1|
Entonces 36/12 = 3 <– Solución
.
|2 2 -1|
d)
Hallar valor de “z”:
x y ti
. |4 -1 4|
. |4 -1 4|
.
|2 2 2|
z =
|6 -2 12| = 96-16-12-48+16+24 =
60
.
|4 -1 4|
Entonces 60/12 = 5 <– Solución
.
|2 2 2|
La Solución
del sistema es: x = ½ , y = 3 , z = 5
_____________________________________________
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