Resolución por determinantes de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

.                          

Procedimiento: Teniendo un Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, lo plantearíamos así:

a₁x+b₁y = c₁

a₂x+b₂y = c₂

1)      Se forma la determinante del sistema  (D₂) con los coeficientes de “x” y de “y” de las 2 ecuaciones; dispuestas en una matriz cuadrada de 2 por 2. Donde “a” es el coeficiente de “x”; y “b” es el coeficiente de “y”

|a₁ b₁|

|a₂ b₂|  = (a₁)( b₂) – (a₂)( b₁) 

 El resultado de la diferencia de los productos será el denominador de la determinante de “x” y de “y”. 

2)      Para encontrar el valor de “x”, formamos una fracción cuyo numerador será la determinante que se forma sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de “x” por la columna de los términos independientes de las dos ecuaciones (c). Y cuyo denominador será la determinante del sistema

.     |c₁ b₁|

.     |c₂ b₂| =  (c₁)( b₂) – (c₂)( b₁) 
x = _____  = ________________

.     |a₁ b₁|  = (a₁)( b₂) – (a₂)( b₁)

.     |a₂ b₂| 

3)      Para encontrar el valor de “y”, formamos una fracción cuyo numerador será la determinante que se forma sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de “y” por la columna de los términos independientes de las dos ecuaciones(c)  Y cuyo denominador será la determinante del sistema.

.     |a₁c₁|

.     |a₂c₂|  = (a₁)(c₂)-(a₂)(c₁)
y = _____ = _____________

.     |a₁b₁|  = (a₁)(b₂)-(a₂)(b₂) 

.     |a₂b₂| 

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Ejemplo A)  Resolver por determinantes:

5x+3y=5

4x+7y=27

1)      Determinante del sistema:

.         |5     3|

D₂ = |4     7| = (5)(7)-(4)(3)= 35-12= 23

2)      Valor de “x”

.       |5      3|

.      |27   7|     (5)(7)-(27)(3)     35-81     -46  
x =  ______ = ___________ = _____ = ___ = -2

.       |5      3|            23                23         23

.       |4     7|

 3)      Valor de “y”

.        |5     5|

.        |4  27|     (5)(27)-(4)(5)     135-20     115  
y =    _____ = ___________ = ______ = ___ = 5

.        |5     3|             23                 23          23

.        |4     7|

 Solución:  x = -2 ,  y = 5

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Ejemplo B)  Resolver por determinantes:

x+1 /5 = y-2 /7

x+4 /3 = y-9 /6 = 8/3

 En este caso, antes de seguir los pasos es necesario realizar unas operaciones:

>> Quitando denominadores es =

7x+7 = 5y-10

2x+8-y+9 = 16

>> Transponiendo términos y reduciendo es =

7x-5y = -17

2x – y =  -1

1)      Determinante del sistema:

.         |7      -5|

D₂ = |2      -1| = (7)(-1) – (2)(-5)= -7+10= 3

 2)      Valor de “x”

.        |-17  -5|

.        |-1    -1|     (-17)(-1)-(-1)(-5)     17 – 5     12 
x =    ______ =  ______________ = _____ =  __  = 4

.        |7     -5|                  3                     3          3

.        |2     -1|

 3)      Valor de “y”

.        |7   -17|

.        |2     -1|     (7)(-1) – (2)(-17)     -7 +34      27 
y =    ______ = _____________  =  ______ = __  = 9      

.        |7     -5|         3                              3            3

.        |2     -2|

 Solución:  x = 4 , y = 9

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Ejercicio 184.

 1)  Resolver por determinantes:

7x+8y = 29

5x+11y = 26

1>      Determinante del sistema:

.        |7      8|

D₂ =  |5   11| = (7)(11)-(5)(8)= 77-40 = 37

2>      Valor de “x”

.       |29     8|

.       |26   11|     (29)(11)-(26)(8)    319-208    111 
x =    ______ = _____________ =  ______ = ___  = 3

.       |7       8|                37                    37        37

.       |5     11|

3>      Valor de “y”

.       |7     29|

.       |5     26|    (7)(26)-(5)(29)     182-145      37 
y =   ______ = ____________ = _______ = __  = 1

.       |7       8|               37                    37         37

.       |5     11|

Solución:  x = 3 ,  y = 1

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2)  Resolver por determinantes:

3x-4y=13

8x-5y=-5

1>      Determinante del sistema:

.         |3    -4|

D₂ =  |8    -5| = (3)(-5)-(8)(-4)= -15+32 = 17

2>     Valor de “x”

.       |13   -4|

.       |-5    -5|      (13)(-5)-(-5)(-4)    -65-20     -85 
x =   _______ = _____________ =  _____ = ___ = -5

.       |3      -4|               17                    17        17

.       |8      -5|

3>      Valor de “y”

.       |3    13|

.       |8    -5|      (3)(-5)-(8)(13)     -15-104      -119 
y =   ______ = ____________ = _______ = ____ = -7 

.       |3     -4|               17                    17           17

.       |8     -5|

Solución:  x = -5 , y = -7

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3)  Resolver por determinantes:

13x-31y=-326

25x+37y=146

1>      Determinante del sistema:

.        |13    -31|

D₂ =  |25     37| = (13)(37)-(25)(-31)= 481+775 = 1256

2>      Valor de “x”

.       |-326  -31|

.       | 146    37|   (-326)(37)-(146)(-31)    –12062+4526      -7536 
x =   ________ = _________________ = ____________ = _____ = -6

.       |13      -31|                 1256                          1256           1256

.       |25       37|

3>      Valor de “y”

.       |13    -326|

.       |25     146|     (13)(146)-(25)(-326)     1898+8150    10048  
y =   ________  = _________________ = _________ = _____ = 8

.       |13      -31|                 1256                       1256           1256

.       |25       37|

Solución:  x = -6 ,  y = 8

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4)  Resolver por determinantes:

15x-44y=-6

-27x+32y=-1

1>      Determinante del sistema:

.        |15   -44|

D₂ =  |-27   32| = (15)(32)-(-27)(-44)= 480-1188 = -708

2>      Valor de “x”

.       |-6    -44|

.       |-1     32|    (-6)(32)-(-1)(-44)    -192-44    -236      1
x =   _______ = ______________ = ______ = ____ = __

.       |15   -44|             -708                  -708       -708      3

.       |-27   32|

3>      Valor de “y”

.       |15     -6|

.       |-27   -1|     (15)(-1)-(-27)(-6)     -15-162      -177      1 
y =   _______ = ______________ = _______ = ____ = __  

         |15  -44| =           -708                  -708         -708     4

.       |-27  32|

Solución:  x = 1/3 ,  y = 1/4

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