Sistemas numéricos de dos ecuaciones enteras con dos incógnitas.

.                            

Para resolver un sistema numérico de dos ecuaciones enteras con dos incógnitas debemos de simplificar las ecuaciones para dejarlas de la forma ax±by=c; en donde x  y  y son las incógnitas y a, b y c son los valores conocidos.
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Ejemplos:

a) Resolver el sistema  3x-(4y+6) = 2y-(x+18)

.                                             2x-3 = x-y+4

Suprimiendo signos de agrupación:

3x-4y-6 = 2y-x-18

.    2x-3 = x-y+4

Trasponiendo términos y reduciéndolos:

3x+x-4y-2y = -18+6

.      2x-x+y = 4+3

=

4x-6y = -12

.  x+y =  7

Dividiendo la 1ª ecuación entre 2:

2x-3y = -6

.  x+y =  7     (Sistema simplificado)(1)

Resolviendo el sistema por el método de reducción:

Igualamos los coeficientes de “y” multiplicando la 2ª ecuación por 3, y sumamos verticalmente los términos semejantes:

2x -3y = -6

3x+3y = 21

5x       = 15

–> x= 3

Sustituimos el valor de x que es 3, en la segunda ecuación del sistema simplificado(1)

x+y=7

3+y=7

y=7-3 –> y=4

Solución: x = 3 ,  y = 4

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b)  Resolver el sistema  3(2x+y)-2(y-x) = -4(y+7)

.                                           3(2y+3x)-20 = -53

Efectuando las operaciones indicadas :

6x+3y-2y+2x = -4y-28

.    6y+9x -20 = -53

Trasponiendo y reduciendo términos semejantes:

6x +2x+3y-2y+4y = -28

.  9x+6y = -53+20

= 

8x+5y = -28

9x+6y = -33

Dividiendo entre 3 la 2ª ecuación para simplificarla al mínimo:

8x+5y = -28

3x+2y = -11       Sistema simplificado.

Resolviendo el sistema por el método de reducción:

Igualamos en el sistema simplicado; los coeficientes de “x” multiplicando la 1ª ecuación por -3, y la 2ª ecuación por 8; luego sumamos verticalmente los términos semejantes:

-24x -15y =  84

 24x +16y =-88

.              y =  -4

Sustituimos el valor de y que es 3, en la ecuación 3x +2y = -11

3x +2(-4) = -11

.   3x  – 8  = -11

.             x = -11+8 /3

.            x = -1

Solución: x = -1

.                y = -4

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Ejercicio 179.

Resolver los siguientes sistemas:

Ejercicio 1)  8x-5 = 7y-9

.                        6x = 3y+6

8x-7y = -9+5

6x-3y = 6

-->

8x-7y = -4

6x-3y = 6

-->

8x-7y = -4

2x- y = 2     Sistema simplicado.   

Aplicando método de eliminación:

.   8x-7y =   -4

-14x+7y = -14     (Se multiplicó la 2ª ecuación por -7, para eliminar las “y”)

->

.   8x-7y =   -4

-14x+7y = -14

.- 6x       = -18

x = -18/-6 –> x = 3

Sustituyendo el valor de “x” en 2x-y=2

2(3)-y = 2

6 -y = 2

-y= 2-6 –> -y=-4 –> y = 4

Solución: x = 3

.                y = 4

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Ejercicio 2)  x-1 = y+1

.                    x-3 = 3y-7

x +y =  1+1

x-3y = -7+3

->

x + y =  2

x -3y = -4       Sistema simplificado.

Aplicando método de eliminación:

-x - y = -2

x -3y = -4     (Se multiplicó la 1ª ecuación por -1 para eliminar las “x”)

->

-x + y = -2

. x-3y = -4

.   -2y = -6

y = -6/-2 –> y = 3

Sustituyendo el valor de “y” en   x -y = 2

x -(3) = 2

x -3 = 2  –> x = 2+3  –> x = 5

Solución:  x = 5

.                 y = 3

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Ejercicio 3)  3(x+2) = 2y

.                    2(y+5) = 7x

3x+6 = 2y

2y+10 = 7x

->

3x  -2y =  -6

-7x+2y = -10     Sistema simplificado.

Aplicando método de eliminación:

 3x  -2y = -6

-7x+2y = -10

-4x       = -16

x = -16/-4 –> x = 4

Sustituyendo el valor de “x” en   3x-2y = -6

3(4) -2y = -6

12 -2y = -6

-2y = -6-12

y = -18/-2 –> y = 9

Solución:  x = 4

.                 y = 9

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Ejercicio 4)  x-1 = 2(y+6)

.                    x+6 = 3(1-2y)

x -1 = 2y+12

x+6 = 3-6y

->

x-2y = 12+1

x+6y = 3-6

->

x -2y = 13

x+6y = -3      Sistema simplificado.

Aplicando método de eliminación:

-x+2y = -13

x +6y =  -3   (Se multiplicó la 1ª ecuación por -1 para eliminar las “x”.

->

-x+2y = -13

x +6y =  -3

.    8y = -16

y = -16/8 –> y = -2

Sustituyendo el valor de “y” en   x+6y = -3:

x +6(-2) = -3

x-12 = -3

x = -3+12 –> x = 9

Solución: x =  9

.                y = -2

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Ejercicio 5)  30-(8-x) = 2y+30

.                         5x-29 = x-(5-4y)

30-8+x = 2y+30

. 5x-29 = x-5+4y

->

x-2y = 30-30+8

5x-x-4y = -5+29

->

x-2y = 8

4x-4y = 24

->

x-2y = 8

x - y = 6     Sistema simplificado. (se dividió la 2° ecuación entre 4)

Aplicando método de eliminación:

x-2y = 8

-x+y = -6    (se multiplicó la 2ª ecuación por -1 para eliminar las “x”)

x  - 2y =  8

-x + y = -6

.      -y = 2

-> y = -2

Sustituyendo el valor de “y” en    x -y = 6:

x -(-2) = 6

x +2 = 6

x = 6-2 –> x = 4

Solución: x =  4

.                y = -2

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Ejercicio 6)  3x-(9x+y) = 5y-(2x+9y)

.                    4x-(3y+7) = 5y-47

3x-9x-y = 5y-2x-9y

4x-3y-7 = 5y-47

->

3x-9x+2x-y-5y+9y = 0

4x-3y-5y = -47+7

->

-4x+3y =   0

4x - 8y = -40     Sistema simplificado.

Aplicando método de eliminación:

-4x+3y =   0

. 4x -8y = -40

.      -5y = -40

y = -40/-5 –> y = 8

Sustituyendo el valor de y en   -4x+3y = 0:

-4x +3(8) = 0

-4x+24 = 0

-4x = -24

x =-24/-4 –> x = 6

Solución:  x = 6

.                 y = 8

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