Método de eliminación por reducción.

Procedimiento:

1) Se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas de las ecuaciones:

> Se busca el m.c.m. de los coeficientes y este se divide entre cada uno de los coeficientes y los cocientes que resulten serán los números por los cuales se deberán multiplicar cada una de las ecuaciones respectivamente.

2) Modificada una o las dos ecuaciones se procede a sumarlas, para eliminar una de la incógnitas de las ecuaciones, lo que nos dará como resultado el valor de la otra incógnita.

3) Se sustituyen el valor de la incógnita obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones, para encontrar el valor de la otra incógnita.

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Ejemplo a) Resolver el sistema

5x+6y =  20¦

4x- 3y = -23¦

>> Igualando la incógnita "y",  para eliminarla después en la suma:

El m.c.m. de 3 y 6 es 6 --> 6 ÷ 3 = 2 , entonces multiplicamos la 2° ecuación por 2 para igualar el coeficiente de "y" en las dos ecuaciones.

(4x-3y = -23)(2)   (multiplicando por 2)

8x-6y = -46

>> Se suman la ecuación no modificada  y la que si modificamos:

5x+6y = 20

8x-6y = -46

13x      = -26  (Notarás que la "y" fue eliminada, porque +6-6 = 0)

x = -26/13

x = -2  <-- solución.

>> Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones el valor de x obtenido:

5x+6y = 20

5(-2)+6y = 20

-10+6y = 20

y = 20+10/6

y = 30/6

y = 5  <-- Solución.

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Ejemplo b)  Resolver el sistema

10x+9y =  8

8x -15y = -1

>> Igualando la x de las dos ecuaciones;

El m.c.m. de 10 y 8 es 40 --> dividimos 40 entre 10 = 4; y 40 entre 8 es = 5; entonces multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda ecuación por 5.

(10x+9y = 8)(4) --> sería igual a 40x+36y = 32

(8x-15y = -1)(5) --> sería igual a 40x-75y = -5

Como los dos coeficientes de x son positivos se le cambia signo a todos los términos de la segunda ecuación, para poder eliminar la x. = -40x+75y = 5

Las ecuaciones quedarían así, y se suman:

40x+ 36y = 32

-40x+75y = 5

.       111y = 37

y = 37/111

y = 1/3  <--  Solución

>> Sustituyendo el valor de "y" en la 2° ecuación original:

8x-15y = -1

8x-15(1/3) = -1

8x-5 = -1

x = -1+5/8

x = 1/2  <--  Solución.

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Ejercicio 178.

1) Resolver el sistema  

6x-5y =  - 9

4x+3y = 13

>> Igualamos los coeficientes de "y" en las dos ecuaciones:

El m.c.m. de  5  y  3 es  15 --> 15÷5 = 3   ;  15÷3 = 5

(3)(6x -5y= -9)  sería igual a 18x-15y = -27

(5)(4x+3y=13) sería igual a 20x+15y = 65

>> La suma de las ecuaciones quedarían así:

18x -15y = -27

20x+15y = 65

38x          = 38

x = 38/38

x = 1  <--  Solución

>> Sustituyendo el valor de x en la 2° ecuación original:

4x+3y = 13

4(1)+3y = 13

4+3y = 13

y = 13-4/3

y = 9/3

y = 3  <--  Solución.

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2)  Resolver el sistema

7x-15y = 1

-  x- 6y = 8

>> Igualando el coeficiente de x en la 2° ecuación.

(7)(-x-6y = 8) es igual a  -7x-42y = 56

>>La suma de las ecuaciones quedaría así:

7x -15y =  1

-7x-42y = 56

.     -57y = 57

y = 57/-57

y = -1  <--  Solución

>>sustituyendo el valor de "y" en la 2° ecuación original:

-x-6y = 8

-x-6(-1) = 8

-x +6 = 8

x = 8-6/-1

x = -2  <--  Solución.

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3)  Resolver el sistema

 3x - 4y = 41

11x+6y = 47

>> Igualando los coeficiente de "y" en las dos ecuaciones:

El m.c.m. de 4 y 6 es 12 -->  12÷4 = 3  y  12÷6 = 2,  entonces

(3)(3x-4y=41) es igual a  9x-12y = 123

(2)(11x+6y=47) es igual a  22x+12y = 94

>> La suma de las ecuaciones quedaría así:

9x - 12y = 123

22x+12y = 94

31x         = 217

x = 217/31

x = 7  <-- Solución

>>Sustituyendo el valor de x en la 2° ecuación original:

11x+6y = 47

11(7)+6y = 47

77+6y = 47

y = 47-77/6

y = -30/6

y = -5

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4)  Resolver el sistema

9x+11y = -14

6x  - 5y = -34

>> Igualando los coeficientes de "y" en las dos ecuaciones:

El m.c.m. de 11 y 5 es = 55 --> 55÷11 = 5   y  55÷5 = 11, entonces

(5)(9x+11y = -14) es igual a  45x+55y = -70

(11)(6x-5y = -34) es igual a  66x-55y = -374

>> La suma de las ecuaciones quedaría así:

45x+55y = - 70

66x - 55y = -374

111x        = -444

x = -444/111

x = -4  <--  Solución.

>> Sustituyendo el valor de x en la 2° ecuación original:

6x-5y =-34

6(-4)-5y = -34

-24-5y = -34

y = -34+24/-5

y = -10/-5

y = 2  <--  Solución.

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