Resolución de un sistema de 3 ecuaciones simultáneas con 3 incógnitas.

,                    

Procedimiento:

1) Se utilizan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas para obtener como resultado una ecuación con 2 incógnitas.

2) se utiliza una tercera ecuación con cualquiera de las dos ecuaciones utilizadas anteriormente y se elimina la misma incógnita que se eliminó en la combinación anterior, obteniendo otra ecuación con 2 incógnitas.

3) Se resuelve el nuevo sistema formado por las dos ecuaciones con dos incógnitas, para hallar el valor de las incógnitas. Utilizando el procedimiento visto en "Ecuaciones Simultáneas de 1° Grado con 2 Incógnitas".

4) Con los valores de las incógnitas obtenido se sustituyen en una de las tres ecuaciones dadas de tres incógnitas para encontrar el valor de la tercera incógnita.

Puedes utilizar cualquiera de los métodos de eliminación; pero aquí en los ejemplos y ejercicios utilizaré el método de Reducción o de Suma o Resta.

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Ejemplo a)  Resolver el sistema:

. x+4y-  z =  6  (1)

2x+5y-7z = -9 (2)

3x- 2y+ z =  2  (3)

>> Utilizamos las ecuaciones (1) y (2), para eliminar la x.

Multiplicamos la ecuación (1) por 2; y la ecuación (2) por -1; y quedaría el sistema así:

2x+8y-2z = 12

-2x-5y+7z =  9   (se le cambió signo a esta ecuación al multiplicar por -1)

.       3y+5z=21   ( 4) Ecuación con 2 incógnitas

>> Utilizamos la ecuación (3) y cualquiera de las otras del sistema dado, en este caso utilizaremos la ecuación (1), para eliminar la x.

Multiplicamos la ecuación (1) por 3 y la ecuación (3) por -1;  y quedaría el sistema así:

3x+12y-3z  =18

-3x+ 2y -  z = -2  (Se le cambio signo a la ecuación al multiplicar por -1)

.        14y-4z = 16   (5) Ecuación con dos incógnitas.

>> Tomamos las ecuaciones con 2 incógnitas y formamos un sistema:

. 3y+5z = 21  (4)

14y -4z = 16   (5)

>> Para resolverlo eliminamos la z multiplicando la ecuación (4) por 4 y la ecuación (5) por 5.

12y+20z = 84

70y-20z = 80  (aquí no fue necesario cambiar los signos)

82y         = 164

y = 164/82

y = 2  <-- Solución

>> Sustituimos el valor de "y" en la ecuación (5) para encontrar el valor de z:

14y-4z = 16

14(2)-4z =16

28-4z = 16

z = 16-28 /-4

z = -12/-4

z = 3 <-- Solución

>> Por último sustituimos el valor de "y" y el valor de "z" en cualquiera de las tres ecuaciones dadas, para este ejemplo en la ecuación (1); para a encontrar el valor de x.

x+4y-z = 6

x+4(2)-(3) = 6

x+8-3 = 6

x = 6-5

x = 1 <-- Solución

Solución General:   x = 1  ,   y = 2  ,  z = 3

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Ejemplo b)  Resolver el sistema

z-4 + 6x-19/5 = -y  (1)

10 - x-2z/8 = 2y-1   (2)

4z+3y = 3x-y      .    (3)

>> En este caso es necesario realizar algunas operaciones antes de proceder a hacer combinaciones.

>> Quitando denominadores:

5z-20+6x-19 = -5y

80-x+2z = 16y-8

4z+3y = 3x-y

>> Transponiendo términos:

6x+ 5y+5z  =  39  (1)

- x-16y+2z = -88  (2)

-3x+ 4y+4z =   0  (3)

>> Iniciamos las resolución de las ecuaciones utilizando la (1) y la (2)

para eliminar la x.  Multiplicamos la (1) por 1 , y la (2) por 6:

6x + 5y + 5z =    39

-6x-96y+12z = -528  (no fue necesario cambiar signo a la ecuación)

.    -91y+17z = -489  (4)  Ecuación con 2 incógnitas.

>> Utilizamos la ecuación (3) y la combinamos con la (2),

para eliminar la x.  Multiplicamos la (2) por -3:

3x +48y- 6z = 264  (Se le cambió signo a la ecuación, al multiplicar por -3)

-3x+  4y+4z =   0    

.     52y -2z = 264  (5)  Ecuación con 2 incógnitas.

>> Formamos un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas con la (4) y la (5)

-91y+17z = -489   (4)

. 52y - 2z =  264    (5)

>> Multiplicamos  la (4) por 4  y la (5) por 7:

- 364y+68z = -1956

. 364y -14z =  1848  (aquí no fue necesario cambiar el signo a la ecuación)

.           54z  =  -108

z = -108/54

z = -2  <-- Solución

>> Sustituimos el valor de "z" en la (5) para encontrar la otra incógnita:

52y-2z = 264

52y-2(-2) = 264

52y+4 = 264

y = 264-4 /52

y = 260/52

y = 5  <-- Solución

>> Por último sustituimos el valor de las incógnitas obtenidos, en la ecuación (3), para encontrar el valor de la última incógnita, que es x:

-3x+4y+4z = 0

-3x+4(5)+4(-2) = 0

-3x+20-8 = 0

-3x = -12

x = -12/-3

x = 4  <-- Solución

La solución General es    x = 4  ,  y = 5  ,  z = -2

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Ejemplo c)   Resolver el sistema

2x-5y =13  (1)

4y+z = -8   (2)

x-y-z = -2   (3)

>>En este sistema especial hay ecuaciones que no tienen las tres variables; en este caso se utilizan ecuaciones que tengan las mismas incógnitas; utilizaré la ecuación (2) y la ecuación (3):

.  4y+z = -8

x - y -z = -2

x+3y   = -10   (4) Ecuación de 2 incógnitas

>> Combinamos la ecuación (4) con la ecuación (1):

2x - 5y =   13 

.  x +3y = -10

>> Multiplicamos la segunda ecuación por -2 para igualar los coeficientes de x, pudiendo eliminar esta incógnita:

. 2x-5y = 13

-2x-6y = 20

.     -11y = 33

y = 33/-11

y = -3  <-- Solución.

>> Sustituimos el valor de "y" en la ecuación (1), para encontrar el valor de x:

2x-5y = 13

2x-5(-3) = 13

2x +15 = 13

x = 13-15 /2

x = -2/2

x = -1  <-- Solución.

>> Sustituimos el valor de las incógnitas obtenidos ( x,y) en la ecuación (3), que tiene tres incógnitas, para encontrar el valor de z:

x-y-z = -2

(-1)-(-3)-z = -2

-1+3-z = -2

-z = -2-2

-z = -4

z = 4 <--  Solución.

La Solución general es:   x = -1  ,  y = -3  ,  z = 4

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Ejercicio 186

1) Resolver el sistema 

x+y + z =  6   (1)

x -y+2z =  5   (2)

x -y -3z = -10 (3)

>> Utilizamos la ecuación (1) y (2)

x +y + z =  6

x -y +2z = 5

2x   +3z = 11   (4)  Ecuación con 2 incógnitas.

>> Utilizamos la ecuación (1) y (3)

x   +y + z =   6

x   - y -3z = -10

2x      -2z = - 4   (5)  Ecuación con 2 incógnitas.

>> Formamos un nuevo sistema con las ecuaciones de 2 incógnitas (4) y (5)

2x+3z = 11 (4)

2x -2z = -4  (5)

>> Multiplicamos toda la ecuación (5) por -1, y restamos para eliminar la x:

2x +3z = 11

-2x+2z = 4  (Aquí se cambió el signo a la ecuación al multiplicarla por -1)

.      5z = 15

z = 15/5

z = 3  <-- Solución

>> Sustituimos el valor de "z" obtenido, en la ecuación (4) para encontrar el valor de x:

2x+3z = 11

2x +3(3) = 11

x = 11-9 /2

x = 1  <--  Solución

>>Sustituimos los valores obtenidos de (x, z) en la ecuación (1)

x+y+z = 6

(1)+y+(3) = 6

y+4 = 6

y = 6-4

y = 2  <-- Solución

La Solución General es :  x = 1  ,  y = 2  ,  z = 3

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2)  Resolver el sistema

x+y+z = 12  (1)

2x-y+z = 7   (2)

x+2y-z = 6   (3)

>> Utilizamos la ecuación (1) y (2)

x  +y  +z = 12

2x -y  +z =  7

3x     +2z = 19  (4)  Ecuación con 2 incógnitas.

>> Utilizamos la ecuación (2) y (3)

2x-y+z = 7

x+2y-z = 6

>> multiplicamos la ecuación (2) por 2 para igualar los coeficientes de "y".

4x -2y +2z = 14

.  x+2y -  z =  6

5x        + z = 20  (5)  Ecuación con 2 incógnitas

>> Formamos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

3x+2z = 19  (4)

5x + z = 20  (5)

>> multiplicamos la (5) por -2 para poder eliminar la z.

.  3x+2z =  19

-10x-2z = -40 (se cambió signo a la ecuación al multiplicarla por -5)

- 7x        = -21

x = -21/-7

x = 3  <-- Solución

Sustituimos el valor de "x" en la ecuación (4)

para encontrar el valor de z:

3x+2z = 19

3(3)+2z = 19

z = 19-9 /2

z = 5  <-- Solución

>> Sustituimos los valores obtenidos (x, z ) en la ecuación (1)

para encontrar el valor de la incógnita "y":

x+y+z = 12

(3)+y+(5) = 12

y = 12-8

y = 4  <-- Solución

La Solución general es  x = 3  ,  y = 4  ,  z = 5

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3)  Resolver el sistema

x  - y  +z =  2  (1)

x  +y  +z =  4  (2)

2x+2y-z = -4  (3)

>> Utilizamos las ecuaciones (1) y (2) para eliminar la "y"

x   -y  +z = 2

x  +y  +z = 4

2x     +2z = 6  (4) Ecuación de 2 incógnitas.

>> Utilizamos las ecuaciones (1) y (3) para eliminar la "y", multiplicando la ecuación (1) por 2:

2x -2y +2z =  4

2x +2y -  z = -4

4x        +  z = 0  (5) Ecuación de 2 incógnitas.

>> Formamos un sistema con las dos ecuaciones de 2 incógnitas:

2x+2z = 6  (4)

4x+ z = 0   (5)

>> multiplicamos la ecuación (5) por -2 para eliminar la z:

2x +2z = 6

-8x -2z = 0

-6x       = 6

x = 6/-6

x = -1  <--  Solución

>> Sustituimos el valor de "x" obtenido, en la ecuación (4) para encontrar el valor de z:

2x+2z = 6

2(-1)+2z = 6

-2+2z = 6

z = 6+2 /2

z = 4  <--   Solución

>> Sustituimos en la ecuación (3) los valores obtenidos de (x, z ) para encontrar el valor de "y":

2x+2y-z = -4

2(-1)+2y-(4) = -4

-2+2y-4 = -4

-6+2y = -4

y = -4+6 /2

y = 2/2

y= 1  <-- Solución.

La Solución general es :  x =-1  ,  y = 1  ,  z = 4

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15) Resolver el sistema

x+y =  1   (1)

y+z =  -1   (2)

z+x = -6   (3)

>> Utilizamos las ecuaciones (1) y (2) y multiplicamos la (1) por -1 para eliminar la "y":

-x -y       = -1

.   +y +z = -1

-x      +z = -2  (4)  Ecuación con 2 incógnitas

>> Utilizamos las ecuaciones (3) y (4)

x  + z = -6

-x + z = -2

-    2z = -8

z = -8/2

z = -4  <-- Solución

>> Sustituimos el valor de z en la ecuación (2) para encontrar el valor de x:

y +z = -1

y +(-4) = -1

y -4 = -1

y = -1+4

y = 3  <-- Solución

>> Sustituimos los valores obtenidos de "y" en la ecuación (1) para encontrar el valor de x:

x+y = 1

x +(3) = 1

x = 1-3

x = -2  <-- Solución

La Solución general es:   x = -2  ,  y = 3  ,  z = -4

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