Factorización de un polinomio por el método de evaluación.

Este caso consiste en descomponer en factores un polinomio aplicando el método de evaluación, consistente en la divisibilidad por x-a y luego se simplifica el resultado aplicando la factorización que corresponda.

Primero se encontrará los factores del término independiente del polinomio; para tomar éstos y probar si al aplicarlos por el método de evaluación se anula el término independiente y con ello formar un nuevo polinomio de grado menor al polinomio dado. Para luego factorizar la expresión y mostrar el resultado.

Ejemplos:

a) Descomponer por evaluación  x³+2x²-x-2

Factores de 2:  ±(1, 2)

Formando la regla práctica para la "División Sintética", tomando en cuenta los coeficientes del polinomio.

> Probando con el divisor (x+1)

1            2            -1            -2 |  x=-1 de (x+1)

.  1(-1)  -1  1(-1)  -1  -2(-1)  2

1             1            -2             0    (Si es divisible entre (x+1), porque se anuló el término independiente.

Entonces descomponemos el polinomio, con el divisor (x+1) y el cociente, que será de 2º grado (uno menos que el polinomio original)

(x+1)(x²+x-2)

Factorizándolo

 = (x+1)(x+2 )(x-1 )  Solución.

> Probando con el divisor (x-1)

1              2              -1              -2 | x=1  de (x-1)

.     1(1)    1   3(1)     3   2(1)      2

1               3               2               0  (Si es divisible entre (x-1)

Descomponiendo el polinomio:

(x-1)(x²+3x+2)

Factorizándolo:

= (x-1)(x+2)(x+1)  Solución.

Se debe probar también con los otros factores (2 y -2); aquí no los voy a desarrollar porque ya los probé y el polinomio no es divisible entre ellos.

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b) Descomponer por evaluación  x³-3x²-4x+12

Factores de 12:  ±(1, 2, 3, 4, 6, 12)

Prueba con (x-1)

1             -3            -4            12 |  x=1 si (x-1)

.   1(1)      1  -2(1)   -2  -6(1)  -6

1              -2            -6              6   (No es divisible entre (x-1)

Prueba con (x+1)

1              -3            -4            12 | x=-1 si (x+1)

.    1(-1)   -1  -4(-1)  4  0(-1)    0

1              -4              0            12   (No es divisible entre (x+1)

Prueba con (x-2)

1              -3            -4             12 |  x=2  si (x-2)

.     1(2)     2  -1(2)  -2  -6(2)  -12

1               -1           -6               0   (Si es divisible entre (x-2)

Descomponiendo el polinomio y factorizando:

(x-2)(x²-x-6) = .(x-2)(x-3)(x+2) Solución.

Prueba con (x+2)

1              -3              -4               12 | x=-2  si (x+2)

.    1(.2)   -2  -5(-2)   10   6(-2)  -12

 1             -5                6                0  (Si es divisible entre (x+2)

Descomponiendo el polinomio y factorizándolo:

(x+2)(x²-5x+6) = (x+2)(x-3)(x-2)  Solución.

Nota: En este ejercicio desarrollé 4 pruebas; pero en los incisos del Ejercicio 110, haré las pruebas pero solo mostraré una donde el binomio (x-a) sea divisible entre el polinomio dado. 

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c) Descomponer por evaluación x⁴-11x²-18x-8

En este caso debemos escribir el término que falta, que es 0x³ para poder procesar el método.

Como observarás, en el desarrollo, el primer cociente que resulta tendrá un primer término de tercer orden, x³; por lo que al resultado ya descompuesto, se debe aplicar nuevamente el método para tener un nuevo cociente con un primer término de 2º grado, x².

= x⁴+0x³-11x²-18x-8

Factores de 8:  ±(1, 2, 4, 8)

Probar con  x+1

1              0              -11              -18              -8 | x=-1 si (x+1)

.   1(-1)        -1(-1)      1  -10(-1)  10  -8(-1)    8

1             -1              -10                -8               0  (Si es divisible entre (x+1)

Descomponiendo el polinomio original:

(x+1)(x³-x²-10x-8)  (1) Primera descomposición.

Prueba con x+1 en el factor x³-x²-10x-8 

1               -1               -10              -8 |  x=-1  si (x+1)

.    1(-1)    -1   -2(-1)     2   -8(-1)    8

1               -2                -8                0   (Si es divisible entre (x+1)

Descomponiendo el nuevo polinomio

(x+1)(x²-2x-8)

Factorizado = (x+1)(x-4)(x+2)

Agregando el factor (x+1) de la primera descomposición 

= (x+1)(x+1)(x-4)(x+2)

= (x+1)²(x-4)(x+2)  Solución. 

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Ejercicio 110.

Descomponer por evaluación:

1)  x³+x²-x-1

Factores de 1:  ±(1, -1)

Prueba con (x-1)

1               1               -1               -1 | x=1  si  (x-1)

.    1(1)     1     2(1)     2    1(1)      1

1               2                 1                0  (si es divisible entre (x-1)

-> (x-1)(x²+2x+1) = (x-1)(x+1)(x+1) = (x-1)(x+1)²  Solución.

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2)  x³-4x²+x+6

Factores de 6: ±(1, 2, 3, 6)

Prueba con (x+1)

1               -4               1               6 | x=-1 si  (x+1)

.    1(-1)    -1   -5(-1)  5   6(-1)    -6

1               -5               6                0   (si es divisible entre (x+1)

-->  (x+1)(x²-5x+6) = (x+1)(x-3)(x-2)   Solución.

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3)  a³-3a²-4a+12

Factores de 12: ±(1, 2, 3, 6) 

Prueba con (a-2)

1               -3               -4               12 | a=2  si (a-2)

.    1(2)      2    -1(2)    -2   -6(2)   -12

1               -1                -6                0   (si es divisible entre (a-2)

--> (a-2)(a²-x-6) = (a-2)(a-3)(a+2)   Solución.

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4)  m³-12m+16

= m³ +0m²-12m+16

Factores de 16: ±(1, 2. 4. 8. 16)

Prueba con (m-2)

1               0               -12               16 | m=2 si (m-2)

.    1(2)     2    2(2)        4   -8(2)   -16

1               2                 -8                 0    (si es divisible entre (m-2)

--> (m-2)(m²+2m-8) = (m-2)(m+4)(m-2)  Solución.

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6)  a³+a²-13a-28

Factores de 28 ±(1, 2, 4, 7, 14, 28)

Prueba con (a-4)

1               1               -13               -28 |  a=4  si (a-4)

.     1(4)    4    5(4)      20    7(4)      28

1               5                  7                   0  (si es divisible entre (a-4)

-->  (a-4)(a²+5a+7) =  Solución.

NOTA: ( a²+5a+7) no tiene descomposición en factores, porque el término independiente es número primo)

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8) n³-7n+6

= n³+0n²-7n+6

Factores del 6: ±(1, 2, 3, 6)

Prueba con (n-1)

1               0               -7               6 |  n=1  si  (n-1)

.    1(1)      1    1(1)     1   -6(1)   -6  

1                1               -6              0   (Si es divisible entre (n-1)

--> (n-1)(n²+n-6) = (n-1)(n+3)(n-2)  Solución.

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11)  x⁴-4x³+3x²+4x-4

Factores de 4:  ±(1, 2, 4)

Prueba con (x-1)

1               -4               3               4               -4 |  x=1  si (x-1)

.    1(1)       1   -3(1)   -3   0(1)     0    4(1)      4

1               -3                0               4                0   (si es divisible entre (x-1)

-->  (x-1)(x³-3x²+0x+4)     (1)  Primera descomposición.

Como el factor x³-3x²+0x+4 es de grado 3, es necesario aplicar el método de evaluación, para dejarlo en grado 2 y poder realizar la factorización final.

Factores de 4: ±(1, 2, 4)

Prueba con (x+1)  y con coeficientes (1, -3, 0, 4)

1               -3                0                4 | x=-1  si (x+1)

.    1(-1)    -1   -4(-1)   4    4(-1)    -4

1               -4               4                  0  (Si es divisible entre (x+1)

->  (x+1)(x²-4x+4) 

= (x+1)(x-2)(x-2) = (x+1)(x-2)² Solución parcial

A esta solución debe agregársele el factor (x-1) de la primera descomposición (1):

= (x-1)(x+1)(x-2)²  Solución final.

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13)  a⁴-15a²-10a+24

= a⁴+0a³-15a²-10a+24

Factores de 24: ±(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)

 Prueba con (a-1)

1               0               -15               -10               24 |  a=1  si (a-1)

.     1(1)    1      1(1)      1   -14(1)  -14  -24(1)  -24

1               1              -14                -24                 0  ( Si es divisible entre (a-1)

-> (a-1)(a³+a²-14a-24)  Primera descomposición (1)

Aplicado descomposición de factores a: a³+a²-14a-24

Factores de 24: ±(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)

Prueba con (a+2)

1                1               -14               -24 | a=-2  si (a+2)

.    1(-2)   - 2   -1(-2)      2  -12(-2)   24                

1               -1               -12                  0  (Si es divisible entre (a+2)

->  (a+2)(a²-a-12) = (a+2)(a+3)(a-4) Solución parcial

Agregando el primer factor de la primera descomposición (1):

= (a-1)(a+2)(a+3)(a-4)  Solución final.

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19)  x⁵-21x³+16x²+108x-144

= x⁵+0x⁴-21x³+16x²+108x-144

Factores de 144:  ±(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144)

Prueba con (x+3)

1               0               -21               16                108                -144 | x=-3  si (x+3)

.    1(-3)   -3    -3(-3)     9  -12(-3)  36  52(-3)  -156   -48(-3)   144 

1              -3               -12               52               - 48                     0  (Si es divisible)

--> (x+3)(x⁴-3x³-12x²+52x-48)   (Primera descomposición (1)

Descomponiendo x⁴-3x³-12x²+52x-48

Factores de 48: ± (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48)

Prueba con (x-3)

1               -3               -12               52               -48 | x=3  si (x-3)

.     1(3)      3     0(3)      0  -12(3)  -36    16(3)    48

1                 0               -12               16                  0  (Si es divisible entre (x-3)

--> (x-3)(x³+0x²-12x+16)   (Segunda descomposición (2)

Descomponiendo x³+0x²-12x+16

Factores de 16: ±(1, 2, 4, 8, 16)

Prueba con (x-2)

1               0               -12               16 | x=2  si (x-2)

.     1(2)     2    2(2)       4   -8(2)   -16

1               2                 -8                 0  (Si es divisible entre (x-2)

--> (x-2)(x²+2x-8) = (x-2)(x+4)(x-2)= (x-2)²(x+4)

A esta última solución debe agregársele los primeros factores de las descomposiciones anteriores (1): (x+3) y (2): (x-3)

=  (x-2)²(x+4)(x+3)(x-3)

ó = (x-2)²(x-3)(x+3)(x+4)  Solución final.

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27) x⁶+6x⁵+4x⁴-42x³-113x²-108x-36

Factores de 36 ±(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36) 

Prueba con (x+1)

1              6              4              -42              -113              -108              -36 | x=-1

.    1(-1)  -1  5(-1)   -5  -1(-1)     1  -41(-1)     41 -72(-1)     72  -36(-1)  36

1              5             -1               -41                -72               -36                  0

--> (x+1)(x⁵+5x⁴-x³-41x²-72x-36)  (1ª descomposición) (1ª)

Factores de 36 ±(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36)

Prueba con (x+1)

1               5               -1               -41               -72               -36 | x=-1

.    1(-1)   -1   4(-1)   -4   -5(-1)       5  -36(-1)   36  -36(-1)   36

1               4               -5                -36               -36                  0

--> (x+1)(x⁴+4x³-5x²-36x-36)  (2ª descomposición) (2ª)

Factores de 36 ±(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36)

Prueba con (x+2)

1               4               -5               -36               -36 | x=-2

.    1(-2)   -2    2(-2)   -4    -9(-2)   18  -18(-2)   36

1               2               -9                -18                 0

--> (x+2)(x³+2x²-9x-18)  3ª descomposición) (3ª)

Factores de 18 ±(1, 2, 3, 6, 9, 18)

Prueba con (x+2)

1               2               -9               -18 | x=-2

.    1(-2)   -2   0(-2)     0   -9(-2)     18

1               0               -9                   0

--> (x+2)(x²-9) = (x+2)(x+3)(x-3)  Solución parcial.

Agregándole a la solución parcial los primeros factores de las descomposiciones anteriores: (1):(x+1); (2): (x+1); (3): (x+2)

= (x+1)(x+1)(x+2)(x+2)(x+3)(x-3)

= (x+1)²(x+2)²(x+3)(x-3)  Solución final.

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