Miscelánea de los Casos de Descomposición Factorial.

Ejercicio 106.

Descomponer en factores:

1) 5a²+a 

Caso I. Factor común polinomio.

=  a(5a+1)  Solución.

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2) m²+2mx+x²

Caso III. Trinomio cuadrado perfecto.

Raíz² de m² = m,  y   x² = x

-> = (m+x)²  Solución.

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3) a²+a-ab-b

Caso II. Factor común por agrupación de términos.

= (a²+a)-(ab+b) =  a(a+1)-b(a+1)

-> = (a+1)(a-b)  Solución.

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4) x²-36

Caso IV.  Diferencia de cuadrados perfectos.

Raíz² de x² = x,  y de 36 = 6

-> = (x+6)(x-6)   Solución.

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5) 9x²-6x+y²

 Caso VII. Trinomio de la forma ax²±bx±c

= 9(9x²-6x+y²) = 81x²-9(6x)+9y² = (9x)²-6(9x)+9y²

= [(9x-3y)(9x-3y)]/9 = [(9x-3y)/3][ (9x-3y)/3]

= (3x-y)(3x-y) = (3x-y)²  Solución.

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6) x²-3x-4

Caso VI. Trinomio de la forma x²±bx±c 

= Raíz² de x² = x

-> = (x-4)(x+1)  Solución.

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7) 6x²-x-2

Caso VII. Trinomio de la forma ax²±bx±c

= 6(6x²-x-2) =  36x²-6(x)-12 = (6x)²-1(6x)-12

= [(6x+3)(6x-4)]/6 = [(6x+3)/3(6x-4)/2]

= (2x+1)(3x-2)  Solución.

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8) 1+x³

Caso IX. Suma o diferencia de cubos perfectos.

Raíz³ de 1 = 1, y de x³ = x

-> = (1+x)(1²-1x+x²) = (1+x)(1-x+x²)  Solución.

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9) 27a³-1

Caso IX. Suma o diferencia de cubos perfectos.

Raíz³ de 27a³ = 3a,  y de 1 = 1

= (3a-1)[(3a)²+(3a)(1)+1²] = (3a-1)(9a²+3a+1)  Solución.

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10) x⁵+m⁵

Caso X. Suma o diferencia de potencias iguales.

Raíz⁵ de x⁵ = x, y de m⁵= m

-> x⁵+m⁵ / x+m = (x+m)(x⁴-mx³+m²x²-m³x+m⁴)  Solución.

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11) a³-3a²b+5ab²

Caso I. Factor común polinomio.

= a(a²-3ab+5b²)  Solución.

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12) 2xy-6y+xz-3z

Caso II. Factor común por agrupamiento de términos.

= (2xy-6y)+(xz-3z) = 2y(x-3)+z(x-3)

= (x-3)(2y+z)  Solución.

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13) 1-4b+4b²

Caso III. Trinomio cuadrado perfecto.

Raíz² de  1 = 1, y de 4b² = 2b

-> = (1-2b)²  Solución.

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14) 4x⁴+3x²y²+y⁴

Casos: 

V. Trinomio cuadrado perfecto por adicion y sustracción, 

VII. Trinomio de la forma ax²±bx±c,

y IV.  Diferencia de cuadrados perfectos.

->

Raíz² de 4x⁴ = 2x², y de y⁴ = y²

Determinando el 2º término = 2(2x²)(y²) = 4x²y²

->  4x²y² -3x²y² = x²y²

= 4x⁴+3x²y²+x²y²+y⁴-x²y² = 4x⁴+4x²y²+y⁴-x²y²

= (4x⁴+4x²y²+y⁴) - x²y² = [4(4x⁴+4x²y²+y⁴)]- (xy)²

= [(4x²)²+4x²y²+4y⁴]-  (xy)² = [(4x²+2y²)/2 (4x²+2y²)/2] - (xy)²

= [(2x²+y²)(2x²+y²)] - (xy)² = (2x²+y²)² - (xy)²

= (2x²+y²+xy)(2x²+y²-xy) 

= (2x²+xy+y²)(2x²-xy+y²)  Solución.

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15) x⁸-6x⁴y⁴+y⁸

Casos: 

V. Trinomio cuadrado perfecto por adicion y sustracción, 

VI. Trinomio de la forma x²±bx±c,

y IV.  Diferencia de cuadrados perfectos.

->

 Raíz² de x⁸ = x⁴ , y de y⁸ = y⁴

Determinando el 2º término del trinomio:

 -2(x⁴)(x⁴) = -2x⁴x⁴,  

-> -2x⁴x⁴ -(-6x⁴y⁴) = 4x⁴y⁴

= 
x⁸-6x⁴y⁴+y⁸ = x⁸-6x⁴y⁴+4x⁴y⁴+y⁸-4x⁴y⁴

= x⁸-2x⁴y⁴+y⁸-4x⁴y⁴

= (x⁸-2x⁴y⁴+y⁸) - (4x⁴y⁴) = (x⁴-y⁴)(x⁴-y⁴) - (-4x⁴y⁴)

= (x⁴-y⁴)² - (-2x²y²)²

= (x⁴-y⁴+2x²y²)(x⁴-y⁴-2x²y²) 

= (x⁴+2x²y²-y⁴)(x⁴-2x²y²-y⁴)  Solución.

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16) a²-a-30

Caso VI. Trinomio de la forma x²±bx±c 

Raíz² de a² = a ->

= (a-6)(a+5)  Solución.

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 17) 15m²+11m-14

Caso VII. Trinomio de la forma ax²±bx±c

= 15(15m²+11m-14) = 225m²+15(11m)-210

= (15m)²+11(15m)-210

 = [(15m+21)(15m-10)]/15 = [(15m+21)/3][(15m-10)/5]

= (5m+7)(3m-2)  Solución.

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18) a⁶+1

Caso IX. Suma o diferencia de cubos perfectos.

Raíz³ de a⁶ = a² , y de 1 = 1

= (a²+1)[(a²)²-(a²)(1)+1²]

= (a²+1)(a⁴-a²+1)  Solución.

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19) 8m³-27y⁶

Caso IX. Suma o diferencia de cubos perfectos.

Raíz³ de 8m³ = 2m y de 27y⁶ = 3y²

= (2m-3y²)[(2m)²+(2m)(3y²)+(3y²)²] 

= (2m-3y²)(4m²+6my²+9y⁴)  Solución.

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20) 16a²-24ab+9b²

Caso III.  Trinomio cuadrado perfecto.

Raíz² de 16a² = 4a , y de 9b² = 3b

= (4a-3b)²  Solución.

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21) 1+a⁷

Caso X. Suma o diferencia de potencias iguales.

= (1+a)(1)⁶-(1)⁵a+(1)⁴a²-(1)³a³+(1)²a⁴-(1)a⁵+a⁶)

= (1+a)(1-a+a²-a³+a⁴-a⁵+a⁶)  Solución.

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22)  8a³-12a²+6a-1

Caso XIII Cubo perfecto de binomios.

Raíz³ de 8a³ = 2a   ;    raíz³ de -1 = -1

->

2o. término sería: 3(2a)²(-1) =  -12a²

3o. término sería: 3(2a)(-1)² = 6a

Por lo tanto:

Solución es (2a-1)³

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