M.C.D. de dos polinomios por divisiones sucesivas.

Este es el método que se utiliza para hallar el m.c.d. de dos polinomios, que no pueden factorizarse fácilmente.

Regla para encontrar el m.c.d. de dos polinomios por divisiones sucesivas:

Se ordenan ambos polinomios con relación a una misma letra y se divide el de mayor grado entre el de grado menor. 

 

Cuando ambos son del mismo grado, cualquiera se toma como dividendo. 

Si la división no es exacta se divide el divisor entre el primer residuo, y así sucesivamente hasta llegar a un residuo cero.  El ultimo divisor será el m.c.d. buscado.

Cada división termina hasta que el grado del primer término del residuo sea menor que el grado del primer término del divisor. 

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Ejemplo a)
Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de 16x³+36x²-12x-18 y 8x²-2x-3

Dividiendo el polinomio de mayor grado entre el de menor:

.                2x+5                         .

8x²-2x-3  | 16x³+36x² -12x -18

.                -16x³+  4x² + 6x

.                           40x² -  6x -18

.                          -40x²+10x+15

.                                       4x -  3  Residuo

Dividiendo el divisor entre el residuo, de la primera división.

.          2x+1          .

4x -3  | 8x²- 2x -3 

.          -8x²+6x   

.                   4x -3

.                  -4x+3

.                       0

La división es exacta por lo tanto el m.c.d. es 4x -3

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Ejemplo b).

Hallar, por sucesiones sucesivas, el m.c.d. de

12x³-26x²+20x-12  y  2x³-x²-3x

Dividiendo el primer polinomio entre 6 y el segundo entre x:

= 6x³-13x²+10x-6 ÷  2x²-x-3

.             3x-5                              .

2x²-x-3 | 6x³-13x²+10x - 6

.             -6x³+ 3x²+  9x

.                    -10x²+19x- 6

.                     10x² -  5x-15

.                               14x-21

Dividiendo el residuo 14x-21 entre 7 = 2x-3                        

--> 2x²-x-3 ÷  2x-3

..        x+1           .

2x-3 | 2x² -  x-3

.        -2x²+3x

.                 2x -3

.                -2x+3

.                     0

La división es exacta por lo tanto el m.c.d. es 2x-3

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Ejemplo c)

Hallar, por divisiones sucesivas, el m.c.d. de 3x³-13x²+5x-4  y  2x²-7x-4

El 3x³ no es divisible entre 2x², entonces se multiplica el primer polinomio por 2 para que sea divisible:

=> la división sería:

6x³-26x²+10x-8 ÷  2x²-7x-4

.               3x                       .

2x²-7x-4 | 6x³-26x²+10x -8

.              -6x³+21x²+12x

.                      - 5x²+22x -8

Como -5x² no es divisible entre 2x², entonces le cambiamos el signo, y sería 5x²-22x +8 y lo multiplicamos por 2 para que sea divisible entre 2x², quedaría 10x²-44x +16

--> 10x²-44x +16 ÷  2x²-7x-4

.               5                      .

2x²-7x-4 | 10x²-44x +16

.              -10x²+35x+20

.                         - 9x+36

.Se cambia el signo al residuo y sería 9x-36 y lo dividimos entre 9 y quedaría x-4

--> 2x²-7x-4 ÷  x-4

.       2x+1              .

x -4 | 2x² -7x -4

.       -2x²+8x

.                  x -4

.                 -x+4

.                    0

La división es exacta, por lo tanto el m.c.d. es x -4. 

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Ejercicio 113.

Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de:

1) 12x²+8x+1  y  2x²-5x-3

.                6                  .

 2x²-5x-3 | 12x²+  8x+ 1

.               -12x²+30x+18

.                          38x+19  --> (38x+19) ÷19 = 2x+1

.         x-3         .

2x+1 | 2x²-5x-3

.         -2x² - x

.                -6x -3

.                 6x +3

.                     0

--> m.c.d. es  2x+1

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2) 6a²-2a-20  y  2a³-a²-6a

Se divide 2a³-a²+6a entre "a" y es 2a²-a-6

.             3             .

2a²-a-6 | 6a² -2a -20

.            -6a²+3a+18

.                        a- 2

.       2a+3      .

a -2 | 2a² - a -6

.      -2a²+4a

.               3a -6

.              -3a+6

.                  0

--> el m.c.d. es a-2.

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3) 5a³-6a²x+ax²  y  3a³-4a²+ax²

Sacando el factor común de ambos polinomios:

5a³-6a²x+ax² = a(5a²-6ax+x²)

3a³-4a²+ax²   = a(3a²-4ax+x²)

--> El primer factor común del m.c.d. de ambos polinomios es "a".

Por consiguiente los polinomios a determinar el m.c.d. son:

5a²-6ax+x²  y  3a²-4ax+x²

Antes multiplicamos 5a²-6ax+x² por 3, para poder dividirlos entre 3a²-4ax+x²:y es = 15a²-18ax+3x²:

.                  5                      .

3a²-4ax+x² | 15a²-18ax+3x²

.                  -15a²+20ax-5x²

.                               2ax-2x²   (Dividimos entre 2x para simplificarlo = (a-x)

.        3a -x         .

a -x | 3a² -4ax+x²

.       -3a²+3ax

.               - ax+x²

.                 ax -x²

.                     0

--> El segundo factor común de ambos polinomios es a -x

Por lo tanto el m.c.d. de los polinomios es a(a-x).

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4) 2x³+4x²-4x+6  y  x³+x²-x+2

.                 2                     .

x³+x²-x+2 | 2x³+4x²-4x+6

.                 -2x³-2x²+2x -4

.                         2x² -2x+2  (Dividimos entre 2 para simplificarlo = x²-x+1

.            x +2         .

x²-x+1 | x³+x² - x+2

.           -x³+x² - x

.                2x²-2x+2

.               -2x²+2x-2

.                      0

--> El m.c.d. de los polinomios es x²-x+1.

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5) 8a⁴-6a³x+7a²x²-3ax³  y  2a³+3a²x-2ax²

Sacando el factor común de ambos polinomios:

8a⁴-6a³x+7a²x²-3ax³ = a(8a³-6a²x+7ax²-3x³)

2a³+3a²x-2ax² =  a(2a²+3ax-2x²)

--> El primer factor común del m.c.d. de los polinomios es "a".

.                    4a-9x                      .

2a²+3ax-2x² | 8a³-  6a²x+  7ax²- 3x³ 

.                    -8a³-12a²x+  8ax²

.                          -18a²x+15ax²- 3x³

.                           18a²x+27ax²-18x³

.                                      42ax²-21x³  (Dividiendo entre 21x² para simplificarlo=2a-x

.         a+2x             .

2a -x | 2a²+3ax -2x²

.         -2a²+  ax

.                 4ax -2x²

.                -4ax+2x²

.                        0

El 2º factor común de los polinomios es 2a-x.

Por lo tanto, el m.c.d. de los polinomios es = a(2a-x)

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9) 2m⁴-4m³-m²+6m-3  y  3m⁵-6m⁴+8m³-10m²+5m

(3m5-6m⁴+8m³-10m²+5m)(2) = 6m⁵-12m⁴+16m³-20m²+10m

--> 

.                                3m                                        .

2m⁴-4m³-m²+6m-3 | 6m⁵ -12m⁴+16m³-20m²+10m

.                               -6m⁵+12m⁴+  3m³-18m²+  9m

.                                                    19m³-38m²+19m  ÷19 = m³-2m²+m

.                  2m                          .

m³-2m²+m | 2m⁴ -4m³-  m²+6m-3

.                  -2m⁴+4m³-2m²

.                                  -3m²+6m-3  ÷ -3 = m²-2m+1

.                m               .

m²-2m+1 | m³-2m²+m

.                -m³+2m²-m

.                        0

El m.c.d. de los polinomios es m²-2m+1

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