Trinomio de la forma ax² ± bx ± c. Caso VII

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Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax² +bx +c:

– El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.

– El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

– El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1° y 2° términos.

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Procedimiento para el trinomio de la forma ax² +bx +c: 

–Antes de descomponer el trinomio en dos factores binomios, se procede así:
Ejemplo: 6x² -7x -3

1°) Se multiplica el coeficiente del primer término ” 6 ” por todo el trinomio, dejando el producto del 2° término indicado:

6(6x² -7x +3) = 36x² -6(7x) -18

2°)   Se ordena tomando en cuenta que 36x² = (6x)²    y  6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera:  (6x)² -7(6x) -18

3°) Luego se procede a factorar  (6x)² -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. con una variante que se explica en el Inciso 6°

4°) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio:  (6x- )(6x+ )

5°) Se buscan dos #s cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18 ; y esos #s son -9 y +2  porque:  -9 +2 = -7  y  (-9)(2) = -18 –>  =  (6x-9)(6x+2)

6°) Aquí está la variante:  Como al principio multiplicamos el trinomio por “6”, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre  “6”

(6x-9)(6x+2) / 6   ;  como ninguno de los binomios es divisible entre “6” entonces descomponemos el “6” en dos factores (3 y 2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así:  (6x-9) / 3    y  (6x+2) / 2 , y estos cocientes quedarían así:  (2x-3)(3x+1). que sería la Solución.

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Ejemplo:

a) Factorar    20x² +7x -6

>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente del 1° término (20):

20(20x² +7x -6) = 400x² +20(7x) -120, se ordena tomando en cuenta que 400x² = (20x)²  y  20(7x) = 7(20x),

quedaría así:   (20x)² +7(20x) -120

>> Se factoriza  (20x)² +7(20x) -120, como un Caso VI

Se encuentra dos factores binomios:  (20x +  )(20x-  )

Se buscan 2 #s cuya diferencia sea 7  y cuyo producto sea -120,

y estos son:  15 y -8, porque  15 -8 = 7   y  (15)(-8) = -120  –>

la Solución parcial sería :   (20x+15)(20x-8)

>> Aplicando la Solución   (20x+15)(20x-8) para el caso VII;

Como multiplicamos el trinomio original por 20, ahora dividimos la Solución por 20:
(20x+15)(20x-8)/20, 

como los binomios no son divisibles entre 20; –> descomponemos el 20 en 2 #s, tal que el 1° # divida a un factor binomio y el  2° # divida al otro factor:

y éstos son: 5 y 4 porque (20x+15) / 5 = (4x+3)  y  (20x-8) / 4 = (5x-2)

–> la Solución final es:  (4x+3)(5x-2) 

Bueno, pasemos a los problemas del Ejercicio 100

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Ejercicio 100 del Libro.

1) Factorar   2x² +3x -2

>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente de su 1° término:

2(2x² +3x -2) = 4x² +2(3x) -4 = (2x)² +3(2x) -4

>> Factorando (2x)² +3(2x) -4 , como un Caso VI:

(2x+  )(2x- ) y buscando 2 #s  que son: 4  y  -1

porque  4-1 = 3  y  (4)(-1) = -4

–> la Solución parcial es:  (2x+4)(2x-1)

>> Aplicando la Solución parcial al Caso VII, se procede así:

Como multiplicamos el trinomio original por 2; ahora dividimos la solución entre 2: (2x+4)(2x-1) / 2

Como los dos binomios no son divisibles entre 2, –> se descompone el # 2 en dos #s que son:  2 y 1  porque (2x+4) / 2 = (x+2)    y   (2x-1) / 1  = (2x-1)

–> la solución final es :  (x+2)(2x-1)  ó  (2x-1)(x+2) 

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2) Factorar   3x² -5x -2

>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente de su 1° término:

3(3x² -5x -2) = 9x² -3(5x) -6 = (3x)² -5(3x) -6

>> Factorando (3x)² -5(3x) -6 como un Caso VI:

(3x –  )(3x +  ) y buscando 2 #s  que son:  -6   y  +1  

porque -6 +1 = -5   y  (-6)(1) = -6

–> la Solución parcial es:  (3x-6)(3x+1)

>> Aplicando la Solución parcial al Caso VII, se procede así:

Como multiplicamos el trinomio original por 3; ahora dividimos la solución entre 3: (3x-6)(3x+1) /3

Como los dos binomios no son divisibles entre 3, –> se descompone el # 3 en dos #s  que son:  3  y  1 porque  (3x-6)  / 3 = (x-2)  y  (3x+1) / 1  = (3x+1)

–> la Solución final es:  (x-2)(3x+1)  ó  (3x+1)(x-2)

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3) Factorar   6x² +7x +2

>> Multiplicar el trinomio por el coeficiente de su 1° término:

6(6x² +7x +2) = 36x² +6(7x) +12 = (6x)² +7(6x) +12

>> Factorando (6x)² +7(6x) +12  como un Caso VI:

(6x+  )(6x+  )  y buscando 2 #s  que son :  4 y 3

porque 4 +3 = 7    y   (4)(3) = 12

–> la solución parcial es:  (6x+4)(6x+3)

>> Aplicando la Solución parcial al Caso VII :

Como multiplicamos el trinomio original por 6; ahora dividimos la solución entre 6: (6x+4)(6x+3)/ 6 

Como los dos binomios no son divisibles entre 6,  –>  se descompone el # 6 en dos #s que son : 2  y 3   porque (6x+4) / 2 = (3x+2)  y  (6x+3) / 3 = (2x+1)

–> la Solución final es: (3x+2)(2x+1) ó  (2x+1)(3x+2)

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4) Factorar    5x² +13x -6

>> Multiplicar el trinomio por el coeficiente de su 1° término:

5(5x² +13x -6) = 25x² +5(13x) -30 = (5x)² +13(5x) -30

>> Factorando (5x)² +13(5x) -30 como un Caso VI:

(5x+   )(5x-   )  y buscando 2 #s  que son:  15  y  -2

porque 15 -2 = 13   y    (15)(-2) = -30

–> la Solución parcial es:  (5x+15)(5x-2)

>> Aplicando la Solución parcial al Caso VII:

Como multiplicamos el trinomio original por 5; ahora dividimos la Solución entre 5: 

(5x+15)(5x-2)/ 5

Como los dos binomios no son divisibles entre 5, –> se descompone el # 5 en dos #s  que son: 5 y 1  porque  (5x+15) / 5  = (x+3)  y  (5x-2) / 1 = (5x-2)

–> la Solución final es : (x+3)(5x-2) ó (5x-2)(x+3)

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