Factor común polinomio. Caso I

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Procedimiento:

1) Se copia el factor común de los polinomios y se escribe como primer factor de la solución.

2) Con los factores no comunes de los polinomios se forma el segundo factor de la solución.

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Ejemplos:

a) Descomponer x(a+b) + m(a+b) = (a+b)(x+m)

1º) Factor común (a+b)

2º) Factores no comunes "x" y "m" --> (x+m)

Solución:  (a+b)(x+m)

b) Descomponer 2x(a-1) - y(a-1) = (a-1)(2x-y)

1º) Factor común (a-1)

2º) Factores no comunes  "2x" y "-y" --> (2x-y)

Solución: (a-1)(2x-y)

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Ejercicio 90 del Libro.

Descomponer en factores:

1) a(x+1)+b(x+1) = (x+1)(a+b)

Factor común:  (x+1)   

Factores no comunes: "a"  y  "b" --> (a+b)

Solución:  (x+1)(a+b)

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2) x(a+1)-3(a+1) = (a+1)(x-3)

Factor común: (a+1)  

Factores no comunes: "x"  y  "-3" --> (x-3)

Solución: (a+1)(x-3)

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3) 2(x-1)+y(x-1) = (x-1)(2+y)

Factor común: (x-1) 

Factores no comunes: "2"  y  "y" --> (2+y)

Solución:  (x-1)(2+y)

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4) m(a-b) +(a-b)n = (a-b)(m+n)

Factor común: (a-b)  

Factores no comunes:  "m"  y  "n" --> (m+n)

Solución: (a-b)(m+n)

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5) 2x(n-1)-3y(n-1) = (n-1)(2x-3y)

Factor común: (n-1) 

Factores no comunes: "2x"  y  "-3y" --> (2x-3y)

Solución:  (n-1)(2x-3y)

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6) a(n+2)+n+2 = a(n+2)+(n+2) = (n+2)(a+1)

Factor común: (n+2)

Factores no comunes "a"  y  "1" --> (a+1)

Solución: (n+2)(a+1)

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7) x(a+1)-a-1 = x(a+1)-(a+1) = (a+1)(x-1)

Factor común: (a+1)

Factores no comunes: "x"  y  "-1" --> (x-1)

Solución: (a+1)(x-1)

En este caso los dos últimos términos  "-a-1" se introducen entre paréntesis, (con su signo cambiado) precedidos del signo menos -(a+1).  Y se inicia el procedimiento normal.

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8) a^2 +1 -b(a^2+1) = (a^2 +1)-b(a^2 +1) = (a^2 +1)(1-b)

Factor común: (a^2 +1) 

Factores no comunes: "1"  y  "-b" --> (1-b)

Solución:  (a^2 +1)(1-b)

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13) a^3(a-b+1)-b^2(a-b+1) = (a^3 -b^2)(a-b+1)

Factor común:  (a-b+1)  ;

Factores no comunes: "a^3"   y  "-b^2" --> (a^3 -b^2)

Solución: (a-b+1)(a^3 -b^2)

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16) (x+y)(n+1)-3(n+1)    =  (n+1)(x+y-3)

Factor común: (n+1)  ;

Factores no comunes:   "(x+y)"   ;   " -3 "    Estos se colocan dentro de paréntesis como un factor de la solución,   -->   quedaría así:   (x+y -3)

Solución: (n+1)(x+y -3)

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 20)  Factorar :    a(x-1)-(a+2)(x-1) = -2(x-1) 

Factor común:  (x-1)

Factores no comunes: "a"  y  -(a+2) que es igual a (-a-2); luego se colocan dentro de un mismo paréntesis como un factor de la solución, -->  (a-a-2) = (-2)

Solución:  (x-1)(-2), también se puede escribir así (-2)(x-1) ó -2(x-1)

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23) Factorar   (m+n)(a-2)+(m-n)(a-2)

Factor común:   (a-2)

Factores no comunes:  (m+n)+(m-n) =

= (m+n+m-n) <-- (Se eliminan +n  y -n y se suman las m) = 2m

Entonces (a-2)(2m) = 2m(a-2)  Solución.

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26) Factorar  (a+b-1)(a^2+1)  - a^2-1

> agrupando:

(a+b-1)(a^2+1) - (a^2+1)

[En este caso al poner entre paréntesis  -a^2-1, anteponemos al primer paréntesis el signo del primer término que vamos a agrupar, que es negativo " - " , entonces se debe cambiar el signo a los términos que irían entre los paréntesis  -(a^2+1).]

Al formar los factores de la solución quedaría así:

Factor Común (a^2+1)

Factores no comunes (a+b-1)+(-1) = (a+b-1-1) = (a+b-2)

Solución:  (a^2+1)(a+b-2)

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32)  (3x+2)(x+y-z)-(3x+2)-(x+y-1)(3x+2)

= (3x+2)(x+y-z)-(1)(3x+2)-(x+y-1)(3x+2)

[Todo factor que no tiene un coeficiente que le anteceda, se sobreentiende que está multiplicado por (1), que es el caso de -(3x+2), entonces es (1)(3x+2)]

> Ordenando:

(3x+2)(x+y-z)-(3x+2)(1)-(3x+2)(x+y-1)

> Factor común:  (3x+2)

> Factores no comunes: (x+y-z)-(1)-(x+y-1)=(x+y-z-1-x-y+1)=-z

(Se eliminó la x con la -x; la y con la -y; y -1 con +1; quedando solamente la -z, que forma el otro factor de la solución)

Entonces se forman los factores de la solución así:

(3x+2)(-z)

= (-z)(3x+2)

= -z(3x+2)   Solución.

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