División Sintética. Cociente y Residuo de la división de un polinomio entero en “x” entre “x±a” o “bx±a”(2a. Parte)

Ver Procedimiento en la Parte 1.

Ejercicio 75 del Libro.

Hallar por división sintética, el cociente y el resto o residuo de:

1) x^2 -7x +5   entre   x -3 –>

1             -7              + 5

1  (1)3 =  3   (-4)3= -12

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1            -4               – 7        –>  Cociente =  x –4,   Residuo -7

En este caso el factor para encontrar el cociente es el inverso del término independiente del divisor 

(x-3) = +3.

1º  término del cociente es : coef. ( 1 ) y variable x^(2-1) = x^1 = x –> 1x = x

2º  término del cociente es: coef. (-4) y variable x^(1-1) = x^0 = 1 –> -4(1) = -4

El último de los coeficientes ( -7) es el residuo. –>

La solución es  x -4   con residuo de -7

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3) x^3 -x^2 +2x -2   entre   x +1 –>

1              -1                   2                  -2

1   1(-1) = -1  (-2)(-1) =  2   (4)(-1) = -4

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1              -2                   4                  -6         –> Cociente = x^2 -2x +4  Residuo = -6

Factor : inverso de +1 = -1

1º término : coef. (1)  y  variable x^(3-1) = x^2 –>  1(x^2) = 1(x^2) = x^2

2º término:  coef. (-2)  y variable x^(2-1) = x^1 = x –> = -2x

3º término:  coef. (4)  y variable x^(1-1) = x^0 = 1 –>  4(1) = 4

Residuo : el último coeficiente del cociente = -6

Solución :  Cociente   x^2 -2x  +4  y Residuo  -6

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5) a^3  -3a^2  -6 entre a +3 –>

1               -3                     0                      – 6

1  1(-3) =  -3   (-6)(-3) = 18   (18)(-3) = -54

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1              -6                    18                   -60     Cociente = a^2-6a+18  Residuo = -60

Factor : inverso de +3 = -3

1º término: coef. (1)  y variable a^(3-1) = a^2  –> 1(a^2) = a^2

2º término: coef. (-6) y variable a^(2-1) = a^1 = a –>  -6(a) = -6a

3º término: coef. (18) y variable a^(1-1) = a^0 = 1  –> 18(1) = 18

Residuo : el último coeficiente del cociente = -60

Solución:  Cociente   a^2 -6a +18   Residuo  -60

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6) n^4 -5n^3 +4n -48   entre   n+2 –>

1          -5                    0                      4                  -48

1(-2)=  -2   (-7)(-2)= 14   (14)(-2)= -28   (-24(-2)= 48

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1          -7                   14                  -24                     0

Cociente = n^3 -7n^2 +14n -24   Residuo = 0

–> Factor: inverso de +2 = -2

1º término: coef . (1)  y variable n^(4-1) = n^3 –>  1(n^3) = n^3

2º término: coef. (-7) y variable n^(3-1) = n^2 –>  -7(n^2) = -7n^2

3º término: coef. (14) y variable n^(2-1) = n^1 = n –>  14(n) = 14n

4º término: coef. (-24) y variable n^(1-1) = n^0 = 1  –> -24(1) = -24

Residuo: el último coeficiente del cociente = 0

Solución :  Cociente   n^3 -7n^2 +14n -24      Residuo = 0

En este caso al escribir los coeficientes del polinomio a dividir; después de -5n^3, no tiene ningún término elevado al cuadrado, por lo que en la división sintética se coloca un cero (0), y se continua con el siguiente término que es 4n.   Además esta división es exacta, porque su residuo es cero (0).

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