Suma o diferencia de cubos perfectos. Caso IX

.                         

1.  Regla  para la suma de cubos perfectos.

a³ +b³  =   (a+b)(a²-ab+b²)

La suma de dos cubos perfectos, es igual a la suma de sus raíces cúbicas, (a+b); multiplicado por el cuadrado de la 1° raíz cúbica, a², menos el producto de las dos raíces cúbicas, ab, más el cuadrado de la 2° raíz cúbica, b².

Ejemplo:

Factorar o descomponer en 2 factores 27m⁶ +64n⁹

Se encuentra las raíces cúbicas de

.      27m⁶ = 3m²      y     64n⁹ = 4n³

--> Desarrollando la Regla:

Suma de las raíces cúbicas:   (3m²+4n³)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (3m²)² = 9m⁴

Producto de las 2 raíces cúbicas:  (3m²)(4n³) = 12m²n³

Cuadrado de la 2° raíz cúbica: (4n³)² = 16n⁶

-->  27m⁶+64n⁹  =  (3m²+4n³)(9m⁴ -12m²n³ +16n⁶)   Solución.

2.  Regla para la diferencia de cubos perfectos.  

a³ -b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

La diferencia de dos cubos perfectos, es igual a la diferencia de sus raíces cúbicas, (a-b); multiplicado por el cuadrado de la 1° raíz cúbica, a^2, más el producto de las dos raíces cúbicas, ab, más el cuadrado de la 2° raíuz cúbica, b^2.

Ejemplo: 

Descomponer en 2 factores  8x³ -125

--> Se encuentra las raíces cúbicas de:

.     8x³  =  2x          y      125  =  5

--> Desarrollando la Regla:

Suma de las raíces cúbicas:  (2x -5)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (2x)²  =  4x²

Producto de las 2 raíces cúbicas: (2x)(5) = 10x

Cuadrado de la 2° raíz cúbica: (5)² = 25

--> 8x³ -125  =  (2x -5)(4x² +10x +25)  Solución.

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Ejercicio 103 del Libro.

Descomponer en 2 factores :

1)  1 +a³

Raíz cúbica de 1  =  1          Raíz cúbica de a³ =  a

Suma de las raíces cúbicas:  (1 +a)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (1)²  =  1

Producto de las raíces cúbicas:  (1)(a)  =  a

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a)²  =  a²

--> 1 +a³  =  (1 +a)(1 -a +a²)  Solución.

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2)  1 -a³

Raíz cúbica de 1  =  1       y       Raíz cúbica de a³  =  a

Diferencia de las raíces cúbicas:  (1 -a)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (1)²  =  1

Producto de las raíces cúbicas:  (1)(a) =  a

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a)²  =  a²

-->  1 -a³  =  (1 -a)(1 +a +a²)     Solución.

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3)  x³ +y³

Raíz cúbica de x³  =  x                      Raíz cúbica de y³ =  y

Suma de las raíces cúbicas:  (x +y)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (x)²  = x²

Producto de las raíces cúbicas:  (x)(y)  =  xy

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (y)² =  y²

-->  x³ +y³  =  (x +y)(x² -xy +y²)    Solución.

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14)  64 +a⁶

Raíz cúbica de 64  =  4               Raíz cúbica de a⁶  =  a²

Suma de las raíces cúbicas:  (4 +a²)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (4)²  = 16

Producto de las raíces cúbicas:  (4)(a²) =  4a²

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (a²)² = a⁴

-->  64 +a⁶  =  (4 +a²)(16 -4a² +a⁴)     Solución.

Recordatorio:

Para elevar una potencia a otra potencia;  Se eleva el coeficiente a la otra potencia, se copia la literal y se multiplican los exponentes:  (a²)² = a²*²= a⁴

Para encontrar la raíz cúbica de una potencia, se extrae la raíz cúbica del coeficiente, se copia la literal y se divide el exponente de la potencia entre el índice de la raíz cúbica (3) :  ∛8a⁶ = 2a⁶/³ = 2a².

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17)   8a³ +27b⁶

Raíz cúbica de 8a³  =  2a              Raíz cúbica de 27b⁶  =  3b²

Suma de las raíces cúbicas:  (2a +3b²)

Cuadrado de la 1° raíz cúbica:  (2a)²  =  4a²

Producto de las raíces cúbicas:  (2a)(3b²) = 6ab²

Cuadrado de la 2° raíz cúbica:  (3b²)²  =  9b⁴

-->   8a³ +27b⁶  =  (2a +3b²)(4a² -6ab² +9b⁴)    Solución.