Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de 2 cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

Caso I) a^4-b^4 / a-b = a^³+a^²b+ab^²+b^³ ,             

.            a^5-b^5 / a-b = a^⁴+a^³b+a^²b^²+ab^³+b^⁴

Caso II)  a^4-b^4 /a+b = a^³-a^²b+ab^²-b^³    

Caso III) a^5+b^5 / a+b = a^⁴-a^³b+a^²b^²-ab^³+b^⁴

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Procedimiento: 

1) El cociente tendrá un número de términos igual al número de unidades que tienen los exponentes de las letras en el dividendo.

2) El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el exponente de "a" disminuye 1 en cada término.

3) El exponente de "b" en el segundo término del cociente es 1 y este exponente aumenta en 1 en cada término posterior a este.

4) Cuando el divisor es "a-b" todos los signos del cociente son +, y cuando el divisor es "a+b", los signos del cociente son alternativamente "+" y "-". 

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Ejercicio 71 del Libro.

1) x^4-y^4 / x-y      =     x^³ +x^²y +xy^² +y^³

Primer término: x /x = x -->  x^(4-1) = x^3

Segundo término: x^(3-1) = x^2;     y^1= y --> x^2y

Tercer término : x^(2-1) = x^1 = x ;    y^(1+1) = y^2 -->  xy^2

Cuarto término : x^(1-1) = x^0 = 1 ;  y^(2+1) = y^3

Observa que el segundo término del dividendo, o sea la "y" , se empieza a colocar a partir del segundo término del cociente, elevado a la potencia "1" ; pero toda potencia a la "1" es igual a su base : Ejemplo y^1 = y.

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3) a^5-n^5 / a-n         =       a^⁴ +a^³n +a^²n^² +an^³ +n^⁴

Primer término: a /a = a -->   a^(5-1) = a^4

Segundo término : a^(4-1) = a^3 ;   n^1 = n --> a^3n

Tercer término : a^(3-1) = a^2  ;   n^(1+1) = n^2 --> a^2n^2

Cuarto término : a^(2-1) = a^1 = a   ;  n^(2+1) = n^3 --> an^3

Quinto término : a^(1-1) = a^0 = 1   ;  n^(3+1) = n^4 --> 1n^4 = n^4

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4) x^6-y^6 / x+y     =      x^⁵ -x^⁴y +x^³y^² -x^²y^³ +xy^⁴ -y^⁵

Primer término: x/x = x --> x^(6-1) = x^5

Segundo término: x^(5-1) = x^4    ;  y^1 = y  --> x^4y

Tercer término :  x^(4-1) = x^3    ;    y^(1+1) = y^2 --> x^3y^2

Cuarto término:  x^(3-1) = x^2    ;    y^(2+1) = y^3 --> x^2y^3

Quinto término:  x^(2-1) = x^1 = x   ;  y^(3+1) = y^4 -->  xy^4

Sexto término:   x^(1-1) = x^0 = 1   ;  y^(4+1) = y^5 --> 1y^5 = y^5

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6) x^7+y^7 / x+y  =  x^⁶ –x^⁵y +x^⁴y^² –x^³y^³ +x^²y^⁴ –xy^⁵ +y^⁶

Primer término:  x/x = x  --> x^(7-1) = x^6

Segundo término: x^(6-1) = x^5   ;  y^1 = y  --> x^5y

Tercer término:    x^(5-1) = x^4  ;   y^1+1) = y^2   --> x^4y^2

Cuarto término:   x^(4-1) = x^3  ;   y^(2+1) = y^3  --> x^3y^3

Quinto término:   x^(3-1) = x^2  ;   y^(3+1) = y^4  --> x^2y^4

Sexto término :   x^(2-1) = x^1 = x  ;  y^(4+1) = y^5  --> xy^5

Séptimo término: x^(1-1) = x^0 = 1  ;  y^(5+1) = y^6 --> 1y^6 = y^6

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13) 1-n^5 / 1-n =

(1)^⁴ +(1)^³n +(1)^²n^² +1n^³ +n^⁴ = 1 +n +n^² +n^³ +n^⁴

Primer término: 1/1 = 1 --> 1^(5-1) = 1^4 = 1

Segundo término : 1^(4-1) = a^3 = 1  ;  n^1 = n --> 1n = n

Tercer término : 1^(3-1) = 1^2 = 1  ;  n^(1+1) = n^2 --> 1n^2 = n^2

Cuarto término : 1^(2-1) = 1^1 = 1  ;  n^(2+1) = n^3 --> 1n^3 = n^3 

Quinto término :  1^(1-1) = 1^0 = 1  ;  n^(3+1) = n^4 --> 1n^4 = n^4

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27) 64m^6-729n^6 / 2m+3n = (2m)^6-(3n)6 / 2m+3n

=(2m)^⁵–(2m)^⁴(3n)+(2m)^³(3n)^²–(2m)^²(3n)^³+(2m)(3n)^⁴–(3n)^⁵

= 32m^⁵ -48m^⁴n +72m^³n^² -108m^²n^³ +162mn^⁴ -243n^⁵

1er. término : (2m)^(6-1) = (2m)^5 = 32m^5

2° término : (2m)^(5-1) = (2m)^4 = 16m^4  ; (3n)^1 = 3n

--> (16m^4)(3n) = (16)(3)m^4n = 48m^4n

3er. término:(2m)^(4-1) =(2m)^3 =8m^3  ; (3n)^(1+1)=3n^2 =9n^2

--> (8m^3)(9n^2) = (8)(9)m^3n^2 = 72m^3n^2

4° término: (2m)^(3-1) =(2m)^2 =4m^2 ; (3n)^(2+1)= (3n)^3 =27n^3

--> (4m^2)(27n^3) = (4)(27)m^2n^3 = 108m^2n^3

5° término:(2m)^(2-1) = (2m)^1 = 2m  ;  (3n)^(3+1) = (3n)^4 =81n^4

--> (2m)(81n^4) = (2)(81)mn^4 = 162mn^4

6° término: (2m)^(1-1) =(2m)^0 = 1  ;  (3n)^(4+1) =(3n)^5 = 243n^5

--> (1)(243n^5) = 243m^5

Nota: El cociente original 64m^6-729n^6 se cambia por (2m)^6-(3n)^6, dado que 64m^2 es igual a (2m)^6 y 729n^6 es igual (3n)^6; --> se usan para el desarrollo los términos del divisor "2m" y "3n" , siguiendo los pasos que se han utilizado en el desarrollo de los anteriores casos.

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Recuerda:

El número de términos del cociente depende del exponente del dividendo.

Ej.  x^6 --> 6 términos.